I. ВВЕДЕНИЕ
1. Основные сведения.
В основу этого исследования положена работа автора [1]. Следуя обозначениям этой работы, рассмотрим следующую задачу:
(I.2)
В начальной задаче (I.1), (I.2) введены следующие обозначения:
σ ≥ 0 - некоторый заданный параметр;
x – независимая переменная функции y=y(x),
- некоторые заданные полиномы степени не выше третьей от своих аргументов со следующим свойством: при x = 0
(I.3)
полином b(x) в общем случае
(I.4)
2. Некоторые основные свойства начальной задачи.
При 
из уравнения (I.1) получим
. (I.5)
Из формул (I.1), (I.5) следует, что уравнение (I.5) является по своей сути предельным уравнением для уравнения (I.1).
Начальная задача (I.5), (I.2) может иметь особую точку в своем решении y=y(x). Это связано с нулевыми ограничениями (I.2), (I.3) и условием (I.4). Чтобы удовлетворить выражению (I.4) для решения y=y(x) должно выполняться условие
(I.6)
что означает
при 
(I.7)
Если в задаче (I.1), (I.2) σ малый параметр, то эта задача имеет характер сингулярно возмущенной со следующим свойством: при малом параметре σ = 0 , порядок уравнения (I.1) не понижается, само уравнение (I.5) приобретает особую точку. Такой класс уравнений ввел в рассмотрение С.А. Ломов и сейчас активно исследуется его учениками.
3. Обобщенный степенной ряд.
Формально определим обобщенный степенной ряд (ряд Пюизё)
(I.8)
В некоторых задачах из [1]:
(I.9)
II. ВЫВОДЫ И СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ
1. Решения многих прикладных задач можно получить из начальной задачи (I.5), (I.2) уравнения Эйлера - Лагранжа в качестве экстремалей.
2. Эти решения в явном виде имеют вид обобщенного степенного ряда (I.9).
3. Эти решения имеют особую точку в начальной точке со свойством (I.7).
4. В силу свойства (I.7) получить аналитические решения на основе систем аналитических вычислений таких, как Maple, MathCad, в действительной области практически невозможно.
5. Стандартные численные методы (Рунге Кутта и т.д.) и процедуры (RKF45 и т.д.) для решения задачи Коши в окрестности особой точки не применимы
6. Предложенный автором метод можно использовать при численном решении подобных задач в качестве разгона.
Пусть приняты обозначения 
и заданы начальные условия (I.2). При 
строим решение вида (I.8).
Из формулы (I.8) получим
7. Конечные значения (II.1) можно использовать в качестве начальных условий численного решения задачи Коши для уравнения (I.5).
III. ВВЕДЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
1). Определение (Математическая энцикло едия, m.V)
Пограничного слоя теория - асимптотическое приближение решения граничных задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных (сингулярных за дач) в подобластях с существенным влиянием членов со старшими производными на решение.
2). Применение.
Уравнение (I.1) - ОДУ второго порядка является существенно нелинейным. Из него нельзя получить, как частный случай, линейное даже при определенном подборе параметров. Существование особой точки связано с нарушением усиленного условия Лежандра. В зависимости от значения параметра σ возможно существование следующих типов задач.
1. При конечном значении σ>0 это уравнение поддается исследованию классическими методами (аналитическими, численными и т. д.).
2. Автором подробно исследован случай 
Задача Коши (I.5), (I.2) и ее решение имеют особую точку.
3. При
это уравнение имеет характер сингулярно возмущенного со следующим свойством: при малом параметре равном нулю порядок уравнения не понижается, само уравнение становится с особой точкой.
Из процесса исследования автором затрону той проблемы можно сделать следующий вывод: окрестность особой точки формирует математический пограничный слой. В этом пограничном слое решение задач Коши при
может быть представлено в виде ряда Пюизё (I.8).
IV. ПРИЛОЖЕНИЯ
Все исследования автора по затронутой теме можно классифицировать следующим образом.
1. Математика.
1.1. Непрерывность.
1. Вариационное исчисление.
2. Связь с теорией сингулярно возмущенных задач.
3. Плоские кривые с точкой возврата (брахи стохрона, парабола Нейля и т.д.).
1.2 Дискретность.
1. Гомоморфизм.
2. Структура алгебры элементов уравнения Эйлера-Лагранжа.
3. Групповой анализ.
2. Прикладная механика.
2.1. Теоретическая механика.
1. Прямолинейное движение тела перемен ной массы.
2. Теорема об изменении кинетического мо мента механической системы с переменным мо ментом инерции.
2.2. Техника.
1. Определение оптимальной формы тела в гиперзвуковом невязком потоке.
2. Движение тела переменной массы в случае нулевых начальных условий.
3. Вращательное движение твердого тела с переменным моментом инерции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Святсков В. А. Уравнение Эйлера - Лагран-жа в пограничном слое и его приложения: моно графия. 2-е изд., исправ. - Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008. - 135 с.