Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ABOUT INFINITE GROUPS WITH A SELF-NORMALIZED SUBGROUP

Яковлева Е.Н.
В данной работе изучается строение разрешимых конечных подгрупп,содержащих фиксированный элемент простого нечетного порядка, в группах с самонормализуемой подгруппой. Изучается строение силовских 2-подгрупп в фактор-группе конечной разрешимой подгруппы по ее нильпотентному радикалу. Частным случаем рассматриваемых в теореме групп являются бесконечные группы Фробениуса.
The structure of solvable finite sub-groups containing fixed element of simple odd order in groups with self-standardized sub-group is studied in this paper. Also the paper deals with the structure of power 2-groups in a factor-group of finite solvable sub-group according to its nilpotent radical. The particular case of considered groups in the theorem are infinite groups of Frobenius.

Исследования групп с заданными свойствами для системы подгрупп составляют одно из основных направлений в общей теории групп.

Группы с самонормализуемыми подгруппами изучались В.П.Шунковым, А.И.Созутовым [3].

Теорема. Пусть G – группа, H – ее подгруппа, обладающая конечной периодической частью, NG(H)=H, a – элемент простого порядка p≠2 из H и нормализатор любой нетривиальной (a)-инвариантной конечной подгруппы из H содержится в H. Тогда любая конечная разрешимая подгруппа K вида Tλ(a) из G, содержащая a и не принадлежащая H, имеет строение: , где L(K) – нильпотентный радикал группы K, M – силовская 2-подгруппа из K.

Для доказательства теоремы предварительно докажем ряд лемм. В конце работы приведены известные результаты, на которые имеются ссылки. Введем обозначения, которые не будут изменяться на протяжении всей работы: – нильпотентный радикал группы .

Пусть G – группа, H, K – ее подгруппы, a – элемент из H, удовлетворяющие условиям теоремы.

Лемма 1. Пересечение тривиально.

Доказательство. Нильпотентный радикал L(K) группы K не содержится в подгруппе H, иначе получаем, ввиду того, что L(K) – (a)-инвариантная подгруппа из H, по условию теоремы K<H, а это противоречит тому, что подгруппа K не принадлежит H.

Предположим, что . Очевидно, D – (a)-инвариантная подгруппа и по вышедоказанному . Так как L(K) – нильпотентная группа, то, ввиду нормализаторного условия в нильпотентных группах, каждая ее собственная подгруппа отлична от своего нормализатора. Тогда, так как по условию теоремы NL(K)(D)<H, получаем, что H пересекается с L(K) по подгруппе большей, чем группа D. Противоречие. Следовательно, . Лемма доказана.

Лемма 2. Группа является группой Фробениуса.

Доказательство. Предположим, что в L(K) существует неединичный элемент . Тогда и по условию теоремы NG((a))<H. Отсюда k є H, что противоречит лемме 1. Значит, элемент a действует на L(K) регулярно. Лемма доказана.

Лемма 3. Если V – (a)-инвариантная q-подгруппа из K и в ней существует нетривиальный элемент t из CK(a), то q не делит порядок группы L(K).

Доказательство. Возьмем (а)-инвариантную q-подгруппу V из K. Предположим, что порядок L(K) делится на q. Обозначим, , где U – силовская подгруппа из L(K). Группа U нормальна в Q. Так как нормальная подгруппа нетривиально пересекается с центром, то . Из того, что V и L(K) являются (a)-инвариантными подгруппами, легко увидеть, что N так же является (a)-инвариантной подгруппой.

По условию леммы в Q существует нетривиальный элемент t из CK(a) и так как N<Z(Q), то N<NK((t)). По условию теоремы CK(a)<H, следовательно, t є H и так как t – (a)-инвариантная подгруппа, то по условию теоремы NK((t))<H. Следовательно, N<H и так как N<L(K), то . Получаем противоречие с леммой 1. Значит q не делит порядок L(K). Лемма доказана.

Лемма 4. Если в нильпотентном радикале L() группы силовская 2-подгруппа нетривиальна, то ее центр Z() циклический и порядок группы L(K) нечетен.

Доказательство. Пусть – силовская 2-подгруппа из L(). Предположим, что порядок группы L(K) четен. Если действует регулярно на , то по лемме 2 (a) действует на полном прообразе S группы тоже регулярно. Следовательно, по теореме Хигмана-Томпсона, S - нильпотентная группа. Так как нормальная подгруппа в , то . Таким образом, S – нильпотентная нормальная подгруппа в K, строго содержащая L(K). Получаем противоречие с тем, что L(K) – нильпотентный радикал группы K. Значит, централизует некоторый неединичный элемент в .

Вернемся к полным прообразам. В подгруппе S найдется инволюция i, которая централизует элемент a. Тогда i централизует нетривиальный элемент m из силовской 2-подгуппы в L(K) [1]. Так как и по условию теоремы нормализатор любой нетривиальной (а)-инвариантной конечной подгруппы из Н содержится в Н, то CK(i)<H. Так как , то получаем, что . Это противоречит лемме 1. Значит порядок L(K) нечетен.

Докажем, что центр силовской 2-подгруппы из L() циклический. Предположим, что это не так. Обозначим через нижний слой центра . Он, очевидно, -инвариантен. Если действует на регулярно, то возвращаемся к полному прообразу R группы , он содержит L(K). Так как по лемме 2 (а) действует на L(K) регулярно, то по теореме Хигмана-Томпсона R – нильпотентная группа. Так как – характеристическая подгруппа в нильпотентном радикале L() группы , то . Тогда R является нильпотентной нормальной подгруппой из К, строго содержащей подгруппу L(K). Получаем противоречие с тем, что L(K) – нильпотентный радикал группы К. Следовательно, централизует нетривиальный элемент t в . Тогда по теореме Машке существует -инвариантное дополнение к группе (t)=T такое, что .

Пусть подгруппа – нециклическая. Рассуждая аналогично для группы вместо , получим , где – циклическая подгруппа из . Таким образом, и . Отсюда, так как выше доказано, что порядок L(K) нечетен, то переходя к прообразам найдется (a)–инвариантная элементарная абелева 2-подгруппа A из CK(a) и, значит, из H. Тогда по теореме Бернсайда некоторая инволюция из группы A, прообраза группы централизует нетривиальный элемент в L(K). Получаем . Противоречие с леммой 1. Следовательно, – циклическая группа.

Так как – (a)-инвариантная группа порядка 2, то и – элементарная абелева 2-группа из . Рассуждая для этой подгруппы как и для подгруппы снова получаем противоречие. Следовательно, получаем, что нижний слой циклический, а значит, и центр так же циклический. Лемма доказана.

Лемма 5. Если в нильпотентном радикале L() группы силовская 2-подгруппа нетривиальна, то все силовские q–подгруппы, , из циклические.

Доказательство. Пусть Q – (a)-инвариантная q-подгруппа из K, где q нечетно. Порядок L(K) не делится на q по лемме 3. Рассмотрим группу , где Q – q-подгруппа, (a)-инвариантный прообраз группы . Так как (a) действует на L(K) регулярно и CD(L(K))<L(K), то по лемме Подуфалова . Если Q – нециклическая группа, то в ней существует элементарная абелева q-подгруппа A порядка q2. Она централизуется элементом a. Тогда по теореме Бернсайда, неединичный элемент централизует нетривиальный элемент в L(K). Так как A<CK(a) и CK(a)<H, , то . Противоречие с леммой 1. Значит, Q – циклическая группа. Лемма доказана.

Лемма 6. Если в нильпотентном радикале L() силовская 2-подгруппа тривиальна, то все силовские q-подгруппы из L() циклические.

Доказательство. Пусть – силовская q-подгруппа из L() и , p. Тогда . Действительно, если это не так, то действует на регулярно, тогда (a) действует регулярно на полном прообразе Q, так как a действует регулярно на L(K) и по лемме 3 порядок L(K) не делится на q. По теореме Томпсона Q – нильпотентная группа. Так как , то . Получили противоречие с тем, что L(K) – нильпотентный радикал группы K. Значит, .

Теперь возьмем прообраз Q группы и рассмотрим группу . Так как (a) действует на L(K) регулярно и порядок L(K) не делится на q, то по лемме Подуфалова . Если Q – нециклическая, то, учитывая, что , в ней существует элементарная абелева q-подгруппа D порядка q2 [4]. Как доказано выше, элемент a централизует D. По теореме Бернсайда неединичный элемент централизует нетривиальный элемент в L(K), но a поэлементно перестановочен с D. Следовательно, . Противоречие с леммой 1. Значит Q – циклическая группа.

Рассмотрим случай, когда q=p. Возьмем прообраз Q группы и рассмотрим группу L(K)λQ. Если Q – нециклическая, то в ней найдется элементарная абелева p-подгруппа A порядка p2. По теореме Бернсайда неединичный элемент централизует нетривиальный элемент в L(K). Так как A<CK(a) и CK(a)<H, , то . Противоречие с леммой 1. Значит, Q – циклическая группа. Лемма доказана.

Лемма 7. Если в нильпотентном радикале L() силовская 2-подгруппа тривиальна, то все силовские q–подгруппы из циклические и .

Доказательство. Пусть – силовская q-подгруппа из . Предположим, что – нециклическая. Пусть группа неперестановочна с силовской -подгруппой из L(). Рассмотрим группу . Она является группой Фробениуса, так как – циклическая группа. Возвращаясь к прообразам, получаем, что группа – группа Фробениуса, так как (а) действует регулярно на L(K), а порядок группы Sa взаимно прост с порядком группы L(K). Группа Sa нильпотентна и нормальна, что противоречит определению нильпотентного радикала L(K). Если в L() есть p-подгруппа P и она не циклическая, то в ней содержится элементарная абелева p-подгруппа порядка p2, содержащая элемент a. Применяя теорему Бернсайда получим, что . Противоречие с леммой 1. Таким образом, перестановочна со всеми силовскими подгруппами из L(), т.е. .

Нетривиальный элемент централизует . Действительно, ввиду строения группы , группу можно взять -инвариантной по предложению 3. Если – 2´-группа, то ее прообраз – силовская примарная 2´-подгруппа Q нециклическая и в ней найдется элементарная абелева q-подгруппа A порядка p2, в которой по теореме Бернсайда найдется нетривиальный элемент, который централизует (а). Пусть – 2-группа. Из строения группы , если любой элемент из действует регулярно на , то вкладывается в группу автоморфизмов циклической группы. Противоречие. Следовательно, по лемме 3, q не делит порядок L(K).

Теперь возьмем прообраз Q группы и рассмотрим группу . Так как по лемме 2 (а) действует на L(K) регулярно и, учитывая строение группы К, на Q действует так же регулярно, то по лемме Подуфалова . Если Q – нециклическая и так как , то в ней существует элементарная абелева q-подгруппа D порядка q2. Она централизует элемент а. По теореме Бернсайда централизует нетривиальный элемент в L(K), но а перестановочно с D. Следовательно, . Противоречие с леммой 1. Значит, Q – циклическая группа. Лемма доказана.

Доказательство теоремы.

Пусть – силовская 2-подгруппа из L(), – силовская 2-подгруппа из . Возможны три случая:

1) т.е. ;

2) < L(), т.е. =;

3) не является подгруппой L(), но .

Докажем теорему для случаев 1) – 3).

Пусть . По лемме 7 силовские q-подгруппы из циклические. По предложению 4 группа – метациклическая. Переходя к прообразам, получим , причем, по лемме 8 .

Если силовская 2-подгруппа из содержится в L(), т.е. совпадает с , то по лемме 5 все силовские q-подгруппы, , из циклические. Так как фактор-группа -группа, то она метациклическая. Теперь переходим к прообразам. В качестве прообраза группы в группе К возьмем силовскую 2-подгруппу М. Получаем , где – 2’-группа. По лемме 4 центр Z() силовской 2-подгруппы из нильпотентного радикала L() циклический. Так как по лемме 4 порядок L(K) нечетен, то прообраз центра Z() в подгруппе М будет также центром в М и тоже будет циклическим.

Рассмотрим случай, когда подгруппа , но M не является подгруппой L(). Рассмотрим фактор-группу Нильпотентный радикал L() – циклическая группа нечетного порядка. Предположим, что это не так. Пусть в L() есть 2-элементы, тогда в есть силовская 2-подгруппа Q>. Тогда – нильпотентная нормальная подгруппа. Противоречие с максимальностью L(). Цикличность силовских подгрупп из нильпотентного радикала L() показывается так же как в лемме 8. Тогда нильпотентный радикал L() разлагается в прямое произведение силовских подгрупп нечетного порядка и L() циклическая группа. Так как L() – нильпотентный радикал группы , то . Фактор-группа вкладывается в подгруппу группы автоморфизмов группы L(). А так как группа автоморфизмов циклической группы сама циклическая, то и фактор-группа тоже циклическая. Переходя к прообразам, получаем . Теорема доказана.

Теорема Хигмана-Томпсона. Всякая конечная группа, обладающая регулярным автоморфизмом простого порядка p, нильпотентна и длина ее верхнего центрального ряда ограничена числом, зависящим только от p [6], [7].

Лемма Подуфалова. Пусть конечная группа , где Q – нормальная q-подгруппа, x – элемент порядка p, q и p – различные простые числа. Если группа G действует точно на неединичной конечной {p, q}’–группе так, что элемент x действует регулярно,то либо G – нильпотентная группа, либо q=2 [2].

Теорема Бернсайда. Пусть G – конечная группа вида , где В – нетривиальная р-группа, L – элементарная абелева q-группа порядка q2 и p≠q. Тогда для некоторого элемента a порядка q пересечение [5].

Если силовские подгруппы конечной группы G порядка g все цикличны, то G – метациклическая группа, порожденная двумя элементами a и b с определяющими отношениями: am=bn=1, b-1ab=ar, mn=g, [(r-1), mn]=1, rn≡1(mod m). Обратно, группа, заданная этими определяющими отношениями, обладает только циклическими силовскими подгруппами [4].

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.

2. Подуфалов Н.Д. Конечные простые группы без элементов порядков 6 и 10 // Алгебра и логика. – 1975. – Т.14, N1. – С. 79 – 85.

3. Созутов А.И. О существовании в группе f- локальных подгрупп // Алгебра и логика. – 1997. – Т. 36, N5. – С. 573 – 598.

4. Холл М. Теория групп. – М.: Иностр. Лит., 1962.

5. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980.

6. Higman G. Groups and rings having automorphisms without nontrivial fixed points. J. London Math. Soc. – 1957. – N32. – P. 321-334.

7. Thompson J.G. Finite groups with fixed point free automorphisms of prime order. Proc. Nat. Amer. Sci. USA. – 1959. – N45. – P. 578-581.