Scientific journal

Fundamental research

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

В условиях современной рыночной экономики одной из важнейших областей хозяйственной деятельности любой организации является инвестиционное планирование [4, 5].

В настоящее время проблема выбора оптимального сбалансированного портфеля становится особенно актуальной в связи с расширением инвестиционной активности банковского сектора, появлением паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов и развитием экономики в целом [3].

В качестве прототипа была выбрана математическая модель с дополнительными ограничениями. Описанная модель позволяет сформировать инвестиционный портфель с ограничениями сверху, когда доля активов в общей структуре может составлять не более заданной величины [2]. Теория оптимального портфеля позволяет сформировать инвестиционный пакет финансовых активов, риск которого минимален по сравнению со всеми другими возможными портфелями, составленными из этих же активов. В качестве меры риска портфеля рассматривается стандартное отклонение (или дисперсия), характеризующее вероятность отклонения доходности портфеля от ожидаемого значения. Любой портфель характеризуется двумя параметрами: ожидаемой эффективностью и риском.

Известно, что закономерность нахождения оптимальной структуры портфеля имеет следующий вид [1]:

?

при ограничениях:

где V_p - вариация эффективности портфеля; V_ij - ковариации эффективностей ценных бумаг i-го и j-го вида; m_j - математическое ожидание эффективности ценной бумаги j-го вида; m_р - заданная эффективность портфеля; x_j - доля капитала, вложенного в ценные бумаги j-го вида.

Условие неотрицательности переменных в данной постановке задачи является необходимым. Если x_j > 0, это означает рекомендацию вложить долю x_j наличного капитала в ценные бумаги вида j. Если x_j < 0, то это означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве - x_j.

Оценочная стоимость акций (облигаций, векселей) одного хозяйственного общества может составлять не более δ_j процентов стоимости активов.

В описанной модели не учитываются ограничения снизу, когда доля актива должна быть не менее заданной величины. Ограничения снизу выполняют две функции: могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть актива и в то же время как условие минимальной цены лота того или иного актива.

Цель работы заключается в модификации описанной методики с помощью ввода дополнительных ограничений на минимальные значения долей активов в портфеле. Установление минимальной цены лота для каждого актива повышает точность математической модели, и, одновременно, разрешает использование модели при малых объемах инвестиционного портфеля, то есть в тех случаях, когда получаемые рекомендуемые доли активов меньше или равны минимально возможному объему покупки (неделимой цене лота).

Исходная задача представляет собой проблему квадратичного программирования, для решения которой разработаны специальные численные методы. Для проведения вычислительного эксперимента случайным образом было отобрано 10 видов ценных бумаг - акций и облигаций, которые котируются на российской фондовой бирже (табл. 1). Первичная обработка данных сводится к нахождению статистических характеристик портфеля - математического ожидания и среднего квадратического отклонения эффективности ценной бумаги и корреляционной матрицы между ними (табл. 2 и 3).

Отобранные акции и облигации для вычислительного эксперимента

Таблица 2

Среднее значение (m_j) и стандартное отклонение (σ_j) доходности активов (в%)

Минимальное возможное значение риска для рассматриваемого экспериментального портфеля составляет 10% при отсутствии пороговых ограничений при условии, что доля каждой ценной бумаги не может быть более 35% (табл. 4). При малой эффективности в портфель включаются наиболее эффективные облигации в максимальных долях (пороговое ограничение 35%). Например, при заданной эффективности в 10% облигации составляют 98% всего портфеля инвестора.

Преобладающая доля облигаций в портфеле объясняется тем, что облигации традиционно считаются менее рисковым активом, чем акции. Акции корпораций являются не только менее надежными, но и более доходными ценными бумагами. Поэтому невысокая требуемая доходность обеспечивается в основном за счет облигаций, почти без добавления акций, при этом достигается минимизация риска.

С увеличением эффективности постепенно понижается доля облигаций в портфеле, и возрастает доля акций. Для максимальной эффективности (65%) следует вложить капитал в акции, которые обладают высокой доходностью, и в облигации с низким риском - x₃, x₄, x₅, x₇, x₉.

Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг

Таблица 4 Результаты решения задачи оптимального портфеля

Процесс перераспределения капитала между акциями и облигациями показан на рис. 1 и 2.

Далее рассмотрим поведение каждого актива в отдельности. Отобранные для вычислительного эксперимента акции компаний обладают разными уровнями риска и доходности. При увеличении эффективности портфеля акции x₅, x₃ и x₄ увеличиваются, при этом доля бумаги x₅ достигает ограничения в 35%. В то же время бумаги x₁ и x₂ вообще не учавствуют в формировании инвестиционного портфеля. Это объясняется тем, что бумаги x₁ и x₂ обладают малым уровнем доходности и при этом являются более рисковыми, чем x₅, x₃ и x₄.

Отобранные для эксперимента облигации ведут себя схожим образом. Облигация x₄ обладает хорошей доходностью и при этом минимальным риском. Поэтому в инвестиционном портфеле ее доля максимальна до порога 50% эффективности. Для достижения прибыли более 50% бумаги x₄ замещаются акциями и компенсируются активом x₇.

Облигация x₉ обладает средними характеристиками «доходность-риск», поэтому выполняет балансирующую роль в инвестиционном портфеле, позволяя достигать требуемого уровня эффективности. Облигации x₈ и x₁₀ не участвуют в формировании портфеля из-за низких характеристик доходности по отношению
к риску.

Полученные доли ценных бумаг в инвестиционном портфеле соответствуют классическим распределениям активов при рыночной стратегии минимизации рисков. Таким образом, полученные значения распределения долей могут быть использованы для формирования реального инвестиционного портфеля организации с действующими ограничениями.

• Галушкин А.И., д.т.н., профессор, начальник лаборатории «Интеллектуальные информационные системы» ФГНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти», г. Москва;
• Сидоренко С.В., д.э.н., начальник Отдела по интеграции науки и образования РАН, г. Москва.

Работа поступила в редакцию 01.03.2012.