Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

SEMI-INVERSE PROBLEM ON DEFORMATION OF A CYLINDRICAL BODY UNDER THE INFLUENCE OF TRAILER EFFORTS OF THE MOMENT THEORY OF ELASTICITY

Ilyukhin A.A. 1 Popov A.K. 1
1 Anton Chekhov Taganrog State Pedagogical Institute
В рамках моментной теории упругости в перемещениях построено решение задачи об исследовании поведения цилиндрического тела в результате воздействия на него торцевых усилий. Построенная модель упругого равновесия цилиндрического тела в математическом отношении сведена к построению решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Определены компоненты тензора напряжений, моментных напряжений, изгиба-кручения, удовлетворяющих в области занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии массовых сил, формулам закона Гука, рассматриваемым в рамках моментной теории упругости псевдоконтинуума Коссера, а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях стержня. Найдено среднее значение кручения поперечного сечения цилиндрического тела, отличное от решений задач [6, 7], в которых среднее значение кручения не зависит от площади поперечного сечения стержня. Показано, что взаимосвязь крутки и величины S привносит именно учет моментных напряжений. Граничная задача определения неизвестной функции сведена к задаче Неймана для уравнения Пуассона. Доказана математическая непротиворечивость сделанных выводов.
In the framework of moment theory of elasticity in displacements construct a solution of the problem of investigation of the behavior of a cylindrical body as a result of exposure to end the effort. The constructed model of elastic equilibrium of a cylindrical body in a mathematically reduced to the construction of solutions of differential equations in partial derivatives. The components of the stress tensor, the couple stress, bending – torsion, meet in a busy body, differential equations of equilibrium in the absence of body forces, equations of Hooke’s law, considered in the framework of the Cosserat pseudocontinuum Cosserat theory of elasticity and the boundary conditions on the lateral surface and grounds of the rod. We found the average cross-section of the torsion of a cylindrical body that is different from the solutions [6, 7], in which the average value of torsion does not depend on cross-sectional area of ​​the rod. It is shown that the relationship of S twists and brings it records the couples stress. The boundary value problem of the unknown function, reduced to the Neumann problem for Poisson’s equation. We prove the mathematical consistency of the findings.
moment the elasticity theory
a pseudo-continuum of Cosserat
model of elastic balance of a cylindrical body
1. Ajero Je.L., Kuvshinskij E.V. Osnovnye uravnenija teorii uprugosti sred s vrawatel’nym vzaimodejstviem chastic // FTT. 1960. T. 2. рр. 1399–1409.
2. Eremeev V.A., Zubov L.M. Osnovy mehaniki vjazkouprugoj mikropoljarnoj zhidkosti. Rostov-na-Donu: Izd-vo JuNC RAN, 2009. 128 р.
3. Iljuhin A.A., Popov A.K. Kruchenie sterzhnja v ramkah psevdokontinuuma Kossera. Vestnik TGPI. Taganrog: Izd. otdel GOUVPO «TGPI», 2011. no. 1. рр. 43–50
4. Iljuhin A.A., Popov A.K. Rastjazhenie mikropoljarnogo estestvenno zakruchennogo sterzhnja. Nauchno-technicheskij vestnik Povolzh’ja. no. 6 2011. Kazan’.
5. Iljuhin A.A., Timoshenko D.V. Matematicheskaja model’ zamknutyh molekul DNK. // Izvestija Saratovskogo Universiteta. 2008. T.8.vyp. 3. pp. 32–40.
6. Lur’e A.I., Dzhanelidze G.Ju. Zadacha Sen-Venana dlja sterzhnej, blizkih k prizmaticheskim. DAN, t. XXIV, no. 1–3, 1939.
7. Riz P.M. Deformacija estestvenno zakruchennyh sterzhnej. Doklady AN SSSR, 1939, t.3, no. 4, pp. 451.
8. Shkutin L.I. Chislennyj analiz razvetvlennyh form izgiba arok. // Prikladnaja mehanika i tehnicheskaja fizika. 2001. T. 42, no. 4. pp. 155–160.

При расчете напряженно-деформированного состояния, в том числе исследовании устойчивости конфигураций упругих тел и упруго-вязких жидкостей [1, 8] необходимо учитывать вращательное взаимодействие частиц. Общие теоретические положения моментной теории упругости начали разрабатываться со времен братьев Коссера и повторный интерес к описанию деформации тел на основе континуума Коссера в научных публикациях проявился во второй половине 20 века. В монографии В.А. Еремеева и Л.И. Зубова [2] достаточно полно описана история развития этого раздела теории упругости и приведены обширные литературные обзоры, указаны области приложения, в частности, при анализе устойчивости. В работе [5] показано, что учет моментных напряжений увеличивает жесткостные характеристики упругого тела и, естественно, в критических ситуациях может оказать существенное влияние на поведение упругого элемента. В рамках механической модели ДНК учет вращательных взаимодействий привел к достаточному совпадению конфигураций ДНК, полученных с помощью построенной в работе теории и тех, которые получены в ряде экспериментальных работ с помощью фотографирования с использованием электронных микроскопов. При определении рабочих характеристик элементов ряда точных приборов, нанотрубок, работающих в условиях упругой деформации, как показывает практика расчетов, должно учитываться вращательное взаимодействие их частиц.

Постановка задачи. Решение пространственных задач теории упругости нередко сводится к решению одной из канонических задач, к числу которых относятся задачи, описывающие деформацию призматических тел концевыми нагрузками. Одним из математических достоинств таких задач является возможность сведения ее к плоской задаче теории упругости. Кроме того, эти задачи представляют самостоятельный научный и практический интерес. Авторам работы не удалось найти как в монографиях, так и в научных статьях, решение этой задачи. Поэтому в данной работе предпринята попытка аналитического построения исследуемой задачи с целью восполнить пробел в исследовании деформации такого класса тел.

Пусть призматическое тело длиной L закреплено одним концом, а на свободном конце несет нагрузку, статически эквивалентную силе Р, перпендикулярную к оси тела, приложенную в произвольной точке торцевого сечения. Массовые силы и силы на боковой поверхности тела отсутствуют. Начало координат поместим в произвольной точке торцевого сечения. При этом ось направим параллельно оси тела, а ось – параллельно силе Р. Сечение исследуемого стержня предполагается односвязным. Задача об упругом равновесии стержня при указанных условиях сводится к нахождению компонент тензора напряжений и моментных напряжений μij, удовлетворяющих в области занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии массовых сил, формулам закона Гука, рассматриваемым в рамках моментной теории упругости, а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях стержня.

Решение в перемещениях поставленной задачи будем искать в виде:

Eqn79.wmf

Eqn80.wmf (1)

Eqn81.wmf

где φ(x1, x2) – некоторая функция, подлежащая определению, p = P/S.

Основные кинематические соотношения, закон Гука и уравнения равновесия в рамках моментной теории упругости представлены в виде [3]:

Eqn82.wmf

Eqn83.wmf

Eqn84.wmf Eqn85.wmf

Eqn86.wmf (2)

где ui, ωk – ковариантные компоненты вектора перемещений и микроповорота; γij, κji, σij, μij – компоненты тензоров деформации, изгиба-кручения, силовых и моментных напряжений; Eqn87.wmf – символы Кристоффеля второго рода; ∈skt – компоненты тензора Леви-Чивиты.

Решение поставленной задачи производится в декартовой прямоугольной системе координат. В результате кинематические соотношения (2) могут быть преобразованы к виду:

Eqn88.wmf

Eqn89.wmf Eqn90.wmf (3)

Для того чтобы удовлетворить двум группам уравнений равновесия:

Eqn91.wmf Eqn92.wmf, (4)

определим с учетом (1) значения компонент симметричного тензора деформаций:

Eqn93.wmf Eqn94.wmf

Eqn95.wmf

Eqn96.wmf (5)

Eqn97.wmf

Eqn98.wmf;

тензора изгиба – кручения:

Eqn99.wmf

Eqn100.wmf

Eqn101.wmf Eqn102.wmf (6)

Eqn103.wmf

Eqn104.wmf

Eqn105.wmf Eqn106.wmf

Eqn107.wmf

Если среда изотропная, то закон Гука принимает вид:

Eqn108.wmf

Eqn109.wmf (7)

где δij – символы Кронекера.

Учитывая значения компонент тензора деформаций (5) и первое равенство закона Гука (7), получим соответствующие значения компонент тензора силовых напряжений:

Eqn110.wmf

Eqn111.wmf

Eqn112.wmf

Eqn113.wmf

Eqn114.wmf

Eqn115.wmf (8)

С учетом значения компонент псевдотензора изгиба-кручения (4) компоненты тензора моментных напряжений, получаемые из закона Гука (8), представимы в виде:

Eqn116.wmf Eqn117.wmf Eqn118.wmf

Eqn119.wmf

Eqn120.wmf

Eqn121.wmf

Eqn122.wmf

Eqn123.wmf

Eqn124.wmf (9)

Первая группа уравнений равновесия (4) с учетом значений компонент тензора напряжений (8) и (9), преобразуется к виду:

Eqn125.wmf

Eqn126.wmf

Eqn127.wmf (10)

Аналогично записывается вторая группа уравнений равновесия (4):

Eqn128.wmf

Eqn129.wmf (11)

Третье уравнение второй группы уравнений равновесия (4) удовлетворяется тождественно.

Запишем граничные условия на основании x3 = L цилиндрического тела:

V1 = P; M1 = M2 = M3 = 0.

На основании вышеприведенных формул можно получить:

Eqn130.wmf

Eqn131.wmf(12)

Eqn132.wmf

Граничные условия на основании x3 = 0 цилиндрического тела:

Eqn133.wmf

Eqn134.wmf (13)

Eqn135.wmf

Из равенств (12) и (13) выполняются следующие равенства:

Eqn136.wmf

Eqn137.wmf

Eqn138.wmf (14)

Вычислив компоненты моментов внутренних сил в поперечном сечении, граничные условия (13) можно записать в виде:

Eqn139.wmf

Eqn140.wmf

Eqn141.wmf

Eqn142.wmf

Eqn143.wmf

Eqn144.wmf (15)

где Eqn145.wmf; S1 и S2 – статические моменты поперечного сечения стержня относительно осей x1 и x2; I11, I22 и I12 – моменты инерции сечения.

Компоненты единичного вектора нормали к боковой поверхности:

Eqn146.wmf Eqn147.wmf

Запишем граничные условия на боковой поверхности стержня с прямолинейной осью:

Eqn148.wmf

Eqn149.wmf k = 1, 2, 3. (16)

Учитывая независимость переменных x1, x2, x3,, друг от друга, константы, стоящие при соответствующих независимых переменных, также приравняем нулю:

Eqn150.wmf

Eqn151.wmf

Eqn152.wmf

Eqn153.wmf

Eqn154.wmf

Eqn155.wmf

Eqn156.wmf

Eqn157.wmf (17)

Eqn158.wmf

Eqn159.wmf

Eqn160.wmf

Eqn161.wmf

Третье равенство первой группы граничных условий на боковой поверхности стержня (16) с учетом равенства (17) представляется в виде условия Неймана:

Eqn162.wmf (18)

Аналогично для тождественного удовлетворения третьего равенства второго уравнения (16) компоненты тензора моментных напряжений μ13, μ23, достаточно положить равными нулю. Константы, стоящие при независимых переменных, также приравняем нулю:

Eqn163.wmf (19)

Проинтегрируем первые два равенства второго уравнения (16) вдоль контура L:

Eqn164.wmf (20)

Eqn165.wmf

где c1, c2 – константы, возникающие в результате интегрирования.

Условия Неймана (20), полученные из второй группы граничных условий, должны совпадать с условиями Неймана, полученными из первой группы граничных условий (18). Приравняем коэффициенты, стоящие при соответствующих переменных:

Eqn166.wmf

Eqn167.wmf Eqn168.wmf

Eqn169.wmf (21)

Eqn170.wmf

Интегрируя равенства (20) вдоль контура L и применяя формулу Остроградского, получим:

Eqn171.wmf

Eqn172.wmf

Преобразуем последние уравнения с учетом условия Неймана (20):

Eqn173.wmf

Eqn174.wmf

Eqn175.wmf

Eqn176.wmf

Eqn177.wmf K2 = 0 (22)

Из равенств (10), (14), (15), (17), (19), (21), (22) получаем взаимосвязи между константами:

Eqn178.wmf

Eqn179.wmf (23)

Eqn180.wmf Eqn181.wmf

Eqn182.wmf

Eqn183.wmf Eqn184.wmf

С учетом взаимосвязи (23) между константами третье уравнение (10) преобразуется к виду:

Eqn185.wmf (24)

Таким образом, граничная задача определения функции φ(x1, x2), является задачей Неймана (10) для уравнения Пуассона (24). Константы E11, E22, и их сумма E11 + E22 должны быть отличны от нуля, иначе решение поставленной задачи в перемещениях, представимое в виде (1), приведет к противоречиям, заключающимся в том, что константа K1 равна нулю.

В результате найденные компоненты вектора перемещений приобретают вид:

Eqn186.wmf Eqn187.wmf

Eqn188.wmf

Выпишем выражения для компонент симметричного тензора силовых напряжений:

Eqn189.wmf

Eqn190.wmf

Eqn191.wmf

и компонент тензора моментных напряжений:

Eqn192.wmf

Eqn193.wmf Eqn194.wmf

Eqn195.wmf

Eqn196.wmf Eqn197.wmf

Выводы. В сравнении со случаями исследования прямолинейного стержня [6, 7] депланацию поперечного сечения стержня вызывают не только компоненты тензора силовых напряжений σ13, σ23, но и компоненты тензора моментных напряжений μ11, μ22, μ12, μ21.

Среднее значение кручения поперечного сечения определяется формулой:

Eqn198.wmf (25)

из которой можно сделать вывод, что τ зависит от p и геометрических характеристик стержня (длины стержня L и осевого момента инерции I22) и не зависит от формы поперечного сечения тела. Значит, под действием силы P стержень будет закручиваться в направлении от оси Ox2 к оси Ox1, о чем и говорит минус, стоящий в формуле (25). Заметим, что в формуле (25), для p = 0 – τ равно нулю. В сравнении со случаем кручения прямолинейного стержня [3], в рамках которого среднее значение кручения τ зависит от крутящего момента Mk, аналога геометрической жесткости при кручении T, в исследуемой задаче τ зависит, в том числе, и от площади поперечного сечения стержня S: Eqn199.wmf. Следовательно, взаимосвязь крутки τ и величины S привносит именно учет моментных напряжений. Как и в случае кручения [3] и растяжения [4] микрополярного естественно-закрученного стержня:

Eqn200.wmf

Данная статья написана при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель – Илюхин Александр Алексеевич.

Рецензенты:

Куповых Г.В., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой физики Технологического института Южного федерального университета, г. Таганрог;

Антонов А.В., д.т.н., профессор, декан факультета кибернетики Обнинского института атомной энергетики Национального исследовательского ядерного университета МИФИ Министерства образования и науки Российской Федерации, г. Обнинск.

Работа поступила в редакцию 19.03.2012.