Различные примеси, поступающие в речную сеть, имеют значительные периоды распада [1], что позволяет рассматривать их во многих задачах переноса как консервативные. Характерной особенностью речных потоков является их распластанность при ширине, многократно превышающей глубину. Это приводит к сравнительно быстрому выравниванию концентрации по глубине потока, что позволяет рассматривать процесс переноса как двумерный и производить расчет в рамках плановой задачи. Уравнения переноса в этом случае имеют вид [2]:
(1)
где С – средняя по глубине концентрация примеси; Сn, Cs – концентрация примеси соответственно у поверхности и вблизи дна; h = Hср – z0; w – гидравлическая крупность взвеси; s, n, z – криволинейные координаты соответственно продольная, поперечная и вертикальная; 
– поток примеси через свободную поверхность и дно соответственно; e – коэффициент турбулентной диффузии.
Два указанных механизма рассеяния примесей действуют одновременно и, как обычно считается, независимо один от другого. Эта независимость является в достаточной степени условной, поскольку неравномерность распределения скоростей по поперечному сечению потока тесно связана с его турбулентной структурой. Трудность анализа процесса переноса в трехмерной и даже в двухмерной постановке часто заставляют принимать одномерную модель явления и с использованием гипотезы Буссинеска суммировать эффект этих двух механизмов с помощью так называемого суммарного или эффективного коэффициента диффузии [3]
De = Dк + Dт1, (2)
где Dк – слагаемое, связанное с конвективной дисперсной; Dт1 – коэффициент турбулентной диффузии.
Процесс конвективного переноса примеси в широком канале был рассчитан Дж. Элдером [4], причем установлено, что составляющая Dк коэффициента эффективной диффузии при этом значительно превосходит Dт1. По результатам исследований Дж. Эйлера было установлено, что D = 6,1u*h. Однако экспериментальные исследования показали, что числовой множитель в этом соотношении не остается постоянным, а изменяется в широких пределах от 6 до 25 и более. На величину этого коэффициента оказывает влияние не только вертикальный профиль скорости, но также плановое распределение скорости и интенсивность возникающих вторичных течений. Возможно, именно неустойчивость вторичных течений рождает наиболее крупномасштабные нерегулярности течения в потоке. В тех случаях, когда относительная ширина потока 
становится небольшой, система вторичных течений изменяется в зависимости от 
, что сказывается существенно на процессах переноса. Отмечается также [5], что и коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий процесс переноса импульса, начинает зависеть от относительной ширины потока при 
. Влияние относительной ширины потока особенно сильно проявляется в условиях большой шероховатости, заметной неоднородности дна и боковых частей русла, а также при наличии поворотов потока. Наличие поворотов, неодинаковость шероховатости по смоченному периметру, влияние боковых поверхностей трения приводит к образованию интенсивных циркуляций в потоке, связанных с искривлением траекторий движущихся жидких частиц с отклонением их от направления осредненного течения.
Рассмотрим динамическое равновесие элемента потока, движущегося на повороте русла стационарно с радиусом кривизны r. Уравнение равновесия в проекции на ось x2, совпадающую с радиусом кривизны, имеет вид
(3)
где v – радиальная компонента скорости течения; 
– поперечный уклон свободной поверхности потока; 
– поперечная компонента сил трения.
При этой записи уравнения баланса сил геометрия сечения в поперечном направлении считается не изменяющейся. Учитывая пропорциональность между 
и 
, и заменяя производную по х2 ее оценкой, преобразуем уравнение баланса к виду
(4)
Считая, что радиус кривизны соизмерим с шириной потока r ~ B имеем
(5)
Отсюда уравнение баланса сил находим в критериальном виде
(6)
Таким образом, при наличии интенсивных поперечных циркуляций (вторичных течений) подобие сил определяется не только числом Фруда, но также и дополнительным критерием 
, что согласуется с позицией В.М. Ляхтера и А.М. Прудовского по данному вопросу [5].
При анализе данных по коэффициенту эффективной диффузии обычно сопоставляют безразмерный комплекс 
с величиной 
. С учетом полученных выше результатов был выполнен анализ лабораторных и натурных данных по величине продольного коэффициента эффективной диффузии. Использованы данные Таллиннского политехнического института [6, Пааль] и данные других авторов. Результаты обобщения данных в координатах 
представлены на рис. 1.
Рис. 1. Данные Таллинского политехнического института [6]: (лабораторные данные)
— шероховатость малая;
— шероховатость средняя;
— шероховатость большая;
⊗ — незаросшие чистые русла;
+ — русла, заросшие на 10 % и менее
Данные по естественным водотокам отобраны лишь те, которые относятся к чистым и слабозаросшим руслам. Результаты лабораторных и натурных исследований (см. рис. 1) удовлетворительно аппроксимируются зависимостью
(7)
которая может быть записана и в иной форме:
(8)
Зависимость получена по опытным данным в диапазоне изменения 
. Можно предполагать, что при увеличении 
степень зависимости 
от 
будет ослабевать, однако надежных количественных данных, подтверждающих это предположение, пока не имеется.
Перенос примеси в поперечном направлении также характеризуется эффективным коэффициентом поперечной диффузии D2e, который равен сумме коэффициентов поперечной дисперсии и поперечной турбулентной диффузии. Как показывают расчеты и экспериментальные исследования, интенсивность поперечного переноса значительно более низкая по сравнению с переносом в продольном направлении. По данным исследования М. Бансала [7], обобщившего обширные натурные данные, эффективный коэффициент поперечной диффузии определяется относительной шириной русла (рис. 2).
Данные могут быть аппроксимированы следующей зависимостью:
(9)
Следует отметить также, что зависимость 
от 
при весьма больших значениях 
(вплоть до 
) представляется труднообъяснимой.
Ряд исследователей указывает на существенное влияние извилистости русла [8]. При извилистом русле массы жидкости на повороте находятся под действием центробежных сил, направленных по радиусу кривизны r
(10)
где m = ρh∙1∙1 – рассматриваемая масса жидкости.
Рис. 2. ◊— р. Миссисипи; 
— р. Канзас; △— р. Смуки Хилл; y— р. Салина; — р. Соломон; □ — р. Биг Блю; ● — р. Миссури; ╳— р. Патуксент; ■ — р. Патомак; ▲ — р. Грин; * — р. Саут Платт
Одновременно масса жидкости участвует в продольном движении и находится под действием продольных касательных напряжений τ0. Сопоставим величину напряжений, возникающих от действия центробежных сил с продольными касательными напряжениями. Найдем напряжения от действия центробежных сил в виде
(11)
где 
– продольная динамическая скорость.
Тогда
(12)
Эти напряжения равны по величине, если
(13)
При среднем значении 
– это соотношение определяет кривизну потока, при которой продольные касательные напряжения и центробежные напряжения равны. При 
центробежные напряжения превышают продольные касательные напряжения. Можно предположить, что поперечные составляющие пульсации скорости в этих случаях будут связаны с неустойчивостью криволинейного движения и будут определяться величиной центробежных напряжений:
(14)
Поскольку вторичные течения захватывают всю ширину потока, очевидно, что масштаб турбулентности, определяющий эффективный массоперенос в этом случае, будет пропорционален ширине потока В. Тогда эффективный коэффициент диффузии оказывается связанным с интегральными параметрами потока следующим соотношением:
(15)
где 
– отношение поперечного масштаба к ширине русла.
Таким образом, находим, что
(16)
Как известно, радиус кривизны потока r для естественных водотоков может задаваться произвольно лишь в условиях лаборатории. В условиях естественного водотока r ~ K2B, причем для равнинных условий величина K2 = 5...10 [9]. Следует отметить, что величина масштаба L2e пропорциональна ширине потока, по-видимому, лишь при B/h < 20...30. При большей относительной ширине потока связь между масштабом возмущений и шириной потока должна теряться. (Известно, что при В/h > 20 процесс переноса импульса перестает зависеть от B/h). Поэтому в дальнейшем при обработке экспериментальных данных величина K1 принималась равной 1 при B/h < 30. Если величина r не была известна, то она принималась по соотношению r = K2B при K2 = 7,5В. Результаты обработки экспериментальных данных ряда авторов [10] в координатах 
представлены на рис. 3.
Рис. 3. + — данные Беатлоса (р. Атабаска); ⊕— данные Энгманна (р. Лессерслейс); ○— данные Сэйра (р. Миссури); ╳ — данные Йоцукури (р. Миссури); ⊗ — данные Гловера (р. Колумбия). Лабораторные криволинейные каналы: ●— данные Фишера; 
— данные Энгманна; 
— данные Энгманна (ледовый режим); 
— данные Кришнапанна
Поскольку для имевшихся натурных данных не были известны значения r, при их обработке учитывалось, что
С достаточной для натурных измерений точностью данные, приведенные на рис. 3, могут быть аппроксимированы соотношением:
(17)
которое справедливо для 
.
Выполненная обработка натурных данных с последующим сравнением результатов с данными лабораторных измерений позволили установить их отчетливую качественную схожесть. Количественное совпадение достигалось подбором К1 при среднем значении К2 = 7,5. Общая сводка результатов обработки, представленная на рис. 3, позволяет отметить хорошее согласие результатов лабораторных и натурных измерений, в том числе и для потоков с относительной шириной В/h > 25...30 при выборе К1 = 0,01. Это указывает на то, что в условиях очень широкого русла масштабы возмущений, ответственных за перенос веществ в поперечном направлении, составляют (1...2)∙h. Приведенная выше аппроксимационная зависимость показывает, что при 
центробежные напряжения становятся близкими к продольным касательным напряжениям и интенсивность возмущений и их масштаб определяются в основном параметрами продольного течения. В этих условиях поперечный перенос будет носить практически чисто диффузионный характер. Согласно имеющимся данным [10], коэффициент поперечной турбулентной диффузии в этом случае 
, что отвечает 
При 
значение коэффициента поперечной турбулентной диффузии согласуется с данными, приведенными на рис. 3.
Полученные зависимости для эффективных коэффициентов продольной и поперечной диффузии позволяют осуществлять расчеты переноса примесей в речных потоках с использованием одномерных и двумерных идеализаций явления.
Рецензенты:
Боровков В.С., д.т.н., профессор кафедры гидравлики Московского государственного строительного университета, г. Москва;
Скворцов Л.С., д.т.н., генеральный директор ООО «Экотех-Москва», г. Москва.
Работа поступила в редакцию 16.04.2013.