Приведем исходные для нас определения и обозначения.
Полукольцом называется алгебра ⟨S, +, ⋅, 0, 1⟩, такая, что ⟨S, +, 0⟩ - коммутативный моноид, ⟨S, ⋅, 1⟩ - моноид, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно x⋅0 = 0⋅x = 0. Полукольцо с делением с ненулевой единицей 1, не являющееся кольцом, называется полутелом. В любом полутеле S сумма ненулевых элементов отлична от 0, поэтому S\{0} c теми же операциями сложения и умножения образует алгебру, которую также будем называть полутелом. Полуполе - это коммутативное полутело.
Пусть X - топологическое пространство, P (R+) - множество положительных (неотрицательных) действительных чисел с обычной топологией, U(X) - полуполе непрерывных функций из X в P с поточечными операциями сложения и умножения. Непустое множество A ⊆ U(X) будем называть подалгеброй, если A ⋅ A ⊆ A, A + A ⊆ A и P ⋅ A ⊆ A. Простейшими примерами подалгебр служат подалгебра констант P, подалгебра AY = {f ∈ U(X): f |Y - константа}, где Y ⊆ X. В частности, AX = P.
Обозначим через A(U(X)) решетку всех подалгебр полуполя U(X) с добавленным пустым множеством («пустой» подалгеброй) относительно включения ⊆ (символ ⊂ в работе означает строгое включение), а через A1(U(X)) ее подрешетку, состоящую из всех подалгебр с единицей. Решеточными операциями в A(U(X)) служат A ∧ B = A ∩ B и A ∨ B = A + B + AB, где AB = {конечная сумма Σ figi: fi ∈ A, gi ∈ B}. Наименьшую подалгебру A ⊆ U(X), содержащую функцию f, назовем однопорожденной и обозначим ⟨f ⟩. Она состоит из всевозможных многочленов от f без свободных членов с коэффициентами из R+. Подалгебру [f] = ⟨f ⟩∨P c единицей также будем называть однопорожденной.
В 1997 г. Е.М. Вечтомов [1] доказал, что для произвольных компактов (компактных хаусдорфовых пространств) X и Y изоморфность решеток A(U(X)) и A(U(Y)) подалгебр колец C(X) и C(Y) непрерывных действительнозначных функций равносильна гомеоморфности пространств X и Y. Им же в совместной с В. В. Сидоровым статье [2] была установлена справедливость аналогичного результата для полуколец непрерывных функций.
В связи с развитием теории полуполей непрерывных функций возникла
Гипотеза. Для произвольных компактов X и Y решетки A(U(X)) и A(U(Y)) изоморфны тогда и только тогда, когда пространства X и Y гомеоморфны.
В данной статье мы установим справедливость этой гипотезы в случае конечных компактов, а именно докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть X и Y - произвольные компакты.
1. Если решетки A(U(X)) и A(U(Y)) изоморфны, то пространства X и Y конечны или бесконечны одновременно.
2. Для произвольных конечных компактов (дискретных топологических пространств) X и Y изоморфизм решеток A(U(X)) и A(U(Y)) влечет гомеоморфизм X и Y, то есть пространства X и Y содержат одно и то же число точек.
Отметим, что справедливость гипотезы для бесконечных компактов пока не установлена.
Приступим к доказательству теоремы. На X пока не накладывается никаких ограничений.
Лемма 1. Подалгебра A минимальна в U(X) ⇔ A = P.
Доказательство. Ясно, что подалгебра P - минимальная. Пусть A - произвольная минимальная подалгебра. Выберем f∈A и рассмотрим подалгебру ⟨f 2⟩ ⊆ A. Тогда А = ⟨f 2⟩ в силу минимальности А. Следовательно, f = f 2g для некоторой функции g ∈ R+ [f]. Откуда fg = 1 ∈ A, то есть P ⊆ A. В силу минимальности A это означает, что A = P. Лемма доказана.
Будем говорить, что в решетке имеется решеточная характеризация некоторого свойства, если данное свойство можно описать в терминах этой решетки. Важно, что при изоморфизмах решетки свойства, имеющие в ней решеточную характеризацию, сохраняются. Например, лемма 1 позволяет утверждать, что в А(U(X)) имеется решеточная характеризация подалгебры констант P.
Непосредственным следствием правила знаков Декарта (см. [4, c. 249]) является
Лемма 2. Для произвольной функции f∈U(X), |Im f | ≥ 3, и показателя k ∈ N (при k = 1 достаточно |Im f | ≥ 2) имеем: f k = a0 + a1f + … + anf n ⇔ ak = 1 и ai = 0 при i ≠ k.
Выясним, когда равны однопорожденные подалгебры.
Лемма 3. Для произвольных функций f, g ∈ U(X), |Im f | ≥ 3, |Im g | ≥ 3, имеем:
⟨f⟩ = ⟨g⟩ ⇔ [f] = [g] ⇔ f и g пропорциональны.
Доказательство. Очевидно, пропорциональность функций f и g из U(X) влечет равенства ⟨f⟩ = ⟨g⟩ и [f] = [g] соответствующих им однопорожденных подалгебр.
Пусть |Im f | ≥ 3, |Im g | ≥ 3 и [f] = [g]. Равенство подалгебр означает, что f = q(g) и g = p(f) для некоторых многочленов q ∈ R+ [g] и p ∈ R+ [f]. Поэтому f = q(p(f)). Если многочлены q и p не мономы первой степени, то многочлен q(p(f)) также не моном первой степени. Поэтому по лемме 2 равенство f = q(p(f)) противоречит |Im f | ≥ 3. Значит, q и p - мономы первой степени, что и означает пропорциональность функций f и g.
Пропорциональность функций f и g в случае, когда ⟨f⟩ = ⟨g⟩, доказывается аналогично.
Замечание 1. Несложно показать, что для пропорциональных функций f, g ∈ U(X), |Im f | ≥ 2, |Im g | ≥ 2, равенство ⟨f⟩ = ⟨g⟩ равносильно пропорциональности функций f и g.
Замечание 2. Пусть Im f = {r1,…, rn}, где r1 > … > rn > 0. Тогда открыто-замкнутые множества Xi = f–1(ri) образуют разбиение X, и любая функция g ∈ [f]\P является константой на каждом Xi, причем если g(Xi) = {ti}, то t1 > … > tn > 0. Используем это наблюдение следующим образом: функции, отличные от констант и задающие подалгебры из [f], иногда будем записывать n-ками своих значений, упорядоченными так же, как значения функции f, причем нормированными, то есть наибольшие значения, которые функции принимают на X1, считать равными единице. Например, если f = 2 на X1 и f = 1 на X\X1, то [f] = [(1, 1/2)], [f + 1] = [(1, 2/3)].
Обозначим через Af подрешетку решетки A1(U(X)), образованную всеми подалгебрами с единицей, включенными в [f].
Предложение 1. Для произвольной функции f ∈ U(X) верны следующие утверждения:
1) f ∈ P ⇔ Af = {P};
2) Im f = {r1, r2}, r1 > r2 > 0 ⇔ Af - двухэлементная цепь P ⊂ [f];
3) |Im f | ≥ 3 ⇔ Af - бесконечная решетка.
Доказательство. Утверждение (1), очевидно, верно. Пусть Im f = {r1, r2}, r1 > r2 > 0. Докажем, что [g] = [f] для произвольной функции g ∈ [f]\P. Для этого достаточно установить включение [f] ⊆ [g]. Не ограничивая общности, можно считать, что g = (1, a) и f = (1, b), где 1 > a > 0, 1 > b > 0. Если a = b, то [f] = [g]. Пусть a > b. Выберем n ∈ N так, чтобы an ≤ b. Тогда
(a – an)f = (b – an)g + (a – b)gn.
Откуда [f] ⊆ [g].
Случай a < b сводится к предыдущему. Для этого выберем число r > 0 так, чтобы у нормированной функции (g + r)/(1 + r) = (1, c) значение c было больше b (с ростом r число с стремится к 1). Тогда, как было установлено ранее, [f] ⊆ [g + r]. Следовательно, [f] ⊆ [g], так как [g] ⊆ [g + r].
Получается, что все подалгебры из [f], отличные от P, совпадают с [f]. Значит, Af - двухэлементная цепь P ⊂ [f].
Наконец, если |Im f | ≥ 3, то по лемме 3 включение [f n] ⊆ [f 2n] строгое для всех n∈N, а потому число элементов решетки Af бесконечно. Предложение доказано.
Элемент A решетки называется ∨-неразложимым, если из того, что A = B∨C для некоторых элементов B и C этой решетки, следует A = B или A = C.
Следствие 1. Если решетка Af конечна, то все ее элементы являются однопорожденными ∨-неразложимыми подалгебрами.
Предложение 2. Однопорожденные подалгебры решеток A(U(X)) и A1(U(X)) - это в точности ∨-неразложимые компактные их элементы.
Доказательство. Компактность однопорожденных подалгебр очевидна. Докажем их ∨-неразложимость. Предположим, напротив, имеется однопорожденная подалгебра [f ], которая ∨-неразложима, то есть [f ] = A ∨ B для некоторых подалгебр A, B ⊂ [f ]. Функция f как элемент подалгебры A ∨ B имеет вид f = p1(f)q1(f) + … + pm(f)qm(f) = p(f), где pi ∈ A ⊆ R+ [f], qi∈B ⊆ R+ [f] - многочлены, отличные от мономов первой степени, так как иначе A = [f ] или B = [f ]. Поэтому deg p ≥ 2. Таким образом, по лемме 3 равенство f = p(f) влечет |Im f | ≤ 2. Согласно предложению 1 это означает конечность решетки Af, что невозможно ввиду следствия 1 и нашего предположения о ∨-неразложимости подалгебры [f ].
∨-неразложимость подалгебры ⟨f ⟩ доказывается аналогично.
Для завершения доказательства осталось заметить, что в решетках A(U(X)) и A1(U(X)) компактность подалгебры равносильна ее конечнопорожденности, и если любая система образующих конечнопорожденной подалгебры содержит больше одного элемента, то такая подалгебра ∨-разложима. Предложение доказано.
Следующая лемма является аналогом теоремы Стоуна - Вейерштрасса для полуполей непрерывных положительных функций.
Лемма 4. Пусть X - компакт и A - подалгебра U(X), для которой выполняются следующие условия:
1) 1 ∈ A;
2) 1- f∈A для любой f ∈ A, f < 1;
3) для любой пары точек x ≠ y ∈ X найдется функция f ∈ A, что f(x) ≠ f(y).
Тогда подалгебра А всюду плотна в U(X) относительно супремум-нормы.
Доказательство. Следует из центральной теоремы работы [3].
Предложение 3. Пусть X - компакт и подалгебра A - максимальная среди собственных подалгебр U(X), для которых выполняются следующие условия:
1) P ⊆ A;
2) для любых подалгебр ⟨f ⟩ ⊆ A и ⟨g ⟩ ⊆ U(X) из ⟨f ⟩ ⊂ (⟨f ⟩ ∨ ⟨g ⟩) ∩ A следует ⟨g ⟩ ⊆ A.
Тогда A всюду плотна в U(X) (относительно супремум-нормы) или A = A{x, y} для некоторых x, y ∈ X.
Доказательство. Пусть для подалгебры A выполняются условия (1) и (2). Докажем, что тогда выполняются условия (1) и (2) леммы 4.
Справедливость (1) очевидна. Установим (2). Если f∈A - константа и f < 1, то 1 – f ∈ P ⊆ A. Допустим, f ∉ P. Тогда ⟨f ⟩ ⊂ (⟨f ⟩ ∨ ⟨1 – f ⟩) ∩ A, так как 1 = f + (1 – f)∈(⟨f ⟩ ∨ ⟨1 – f ⟩) ∩ A. Следовательно, 1 – f ∈A по условию (2).
Таким образом, если для подалгебры A выполняются условия (1) и (2) и условие (3) леммы 4, то она всюду плотна в U(X) по лемме 4. Если же условие (3) леммы 4 не выполняется, то A ⊆ A{x, y} для некоторой пары точек x, y ∈ X. В силу максимальности подалгебры A среди подалгебр со свойствами (1) и (2) для завершения доказательства остается показать, что условия (1) и (2) выполняются для подалгебры A{x, y}.
Первое, очевидно, верно. Пусть подалгебры ⟨f ⟩ ⊆ A{x, y} и ⟨g ⟩ ⊆ U(X) таковы, что ⟨f ⟩ ⊂ (⟨f ⟩ ∨ ⟨g ⟩) ∩ A{x, y}. Если, скажем, g(x) > g(y), то h(x) > h(y) для любой функции h из (⟨f ⟩ ∨ ⟨g ⟩)\⟨f ⟩. Поэтому ⟨f ⟩ = (⟨f ⟩ ∨ ⟨g ⟩) ∩ A{x, y}. Противоречие. Значит, g ∈ A{x, y}.
Лемма 5. В полуполе U(X), где X конечно, всюду плотные подалгебры совпадают с U(X).
Доказательство. Пусть подалгебра A всюду плотна в U(X). Тогда для любой точки x ∈ X найдется функция ex ∈ A, принимающая в точке x значение 1, а в остальных точках строго меньшие значения. Остается воспользоваться леммой из статьи [5].
Доказательство основной теоремы теперь получается из предложения 3 и леммы 5. Достаточно заметить, что число подалгебр вида A{x, y} в полуполе U(X) конечно тогда и только тогда, когда само X конечно, и равно n(n – 1)/2, если |X| = n.
Рецензенты:
Вечтомов Е.М., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров;
Чермных В.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров.
Работа поступила в редакцию 30.04.2014.