Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

OPTIMAL ESTIMATION OF SIGNALS IN HARTMANN SENSOR ON POISSON BACKGROUND NOISE

Bezuglov D.A. 1 Reshеtnikova I.V. 2 Yuhnov V.I. 3 Engibaryan I.A. 3
1 Rostov branch of the Russian Customs Academy
2 FGBOU VPO Rostov state University of transport communications
3 SKF Moscow technical University of communications and Informatics
1923 KB
As part of the cumulant approach to the description of the statistical properties of Poisson noise signals and a rigorous analysis of the photodetection in Hartmann sensor. The analytical expression for the characteristic function and distribution density of the random variable describing the processes occurring in the system. Calculated the likelihood ratio, as well as obtain optimal estimates of the local slopes of the phase front. The properties of the density distribution. It should be emphasized that the proposed approach is optimal only in the case of registration of photodetectors weak signals, when the mixture of signal and noise is well approximated by the Poisson distribution. In case of differences between the distribution density of the mixture of signal and noise from the Poisson possible to obtain similar expressions for the optimal estimates on the basis of the proposed approach cumulants analysis of relevant variables and processes.
adaptive optical phase conjugation system
the Hartmann sensor
1 Bezuglov D.A. Optika i spektroskopija, 1996, T. 80, no. 6, pp. 995–1000.
2. Bezuglov D.A. Optika atmosfery i okeana, 1996, no. 1, pр. 78.
3. Bezuglov D.A. Avtomatika i vychislitel’naja tehnika, 1996, no. 4, pp. 15–23.
4. Bezuglov D.A., Mishhenko E.N., Mishhenko S.E. Optika atmosfery i okeana, 1996, T. 9, no. 3, рp. 44.
5. Bezuglov D.A., Saharov I.A., Reshetnikova I.V. Optika atmosfery i okeana, 2008, T. 21, no.11, pp. 998–1003.
6. Bezuglov D.A., Saharov I.A., Reshetnikova I.V. Izvestija Juzhnogo federalnogo universiteta. Tehnicheskie nauki, 2008, no. 3(80), pp. 140–149.
7. Bezuglov D.A., Skljarov A.V. Izmeritelnaja tehnika, 1999, no. 9, pр. 38.
8. Bezuglov D.A., Skljarov A.V., Zabrodin R.A., Reshetnikova I.V. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Serija: Estestvennye nauki, 2005, no. 4, pp. 99–106.
9. Bezuglov D.A., Skljarov A.V., Zabrodin R.A., Reshetnikova I.V. Izmeritelnaja tehnika, 2006, no. 10, pp.14–17.
10. Bezuglov D.A., Cugurjan N.O. Sovremennye informacionnye tehnologii, 2005, no. 1 (1), pp. 73–78.
11. Bezuglov D.A., Shvidchenko S.A. Vestnik kompjuternyh i informacionnyh tehnologij, 2011, no. 6 (84), pp. 42–45.
12. Kalienko I.V., Bezuglov D.A., Reshetnikova I.V. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Serija: Estestvennye nauki, 2006, no. 3, pp. 10–14.

Одним из основных элементов адаптивной оптической системы фазового сопряжения является датчик Гартмана. Проводя суммарно-разностную обработку сигналов с выхода квадрантных фотоприемников датчика, получают сигналы, пропорциональные локальным наклонам фазового фронта вида:

bezug02.wmf, bezug03.wmf, (1)

где S(x, у) – распределение фазы на апертуре оптической системы.

В данной работе на базе математического аппарата кумулянтного анализа получены выражения для плотности распределения и характеристической функции исследуемых случайных величин. Получено выражение для оптимальной оценки величин U^ и V^ на фоне пуассоновских шумов [6, 7, 8, 9].

Пусть на квадрантный фотоприемник одного канала датчика Гартмана падает сфокусированный линзой световой поток малой интенсивности. При наличии наклона фазового фронта для вычисления его величины предполагается суммарно-разностная обработка сигналов:

bezug04.wmf

bezug05a.wmf

bezug05b.wmf (2)

где тi – аддитивные пуассоновские шумы; иi – полезный пуассоновский сигнал, соответствующий i-му квадранту фотоприемника.

С учетом того, что как тi так и иi являются пуассоновскими, в дальнейшем целесообразно рассмотреть выражение (2), представленное в виде

bezug06.wmf

bezug07.wmf (3)

где ni = тi + иi – пуассоновская случайная величина. Примем следующие обозначения:

bezug08.wmf,

bezug09.wmf, (4)

где Ni – пуассоновская случайная величина с параметром l.

При этом было учтено, что при отсутствии локального наклона на субапертуре гартмановского датчика интенсивность оптического поля на всех квадрантах фотоприемника одного канала будет равна [1, 2, 3, 4, 5]. Математические ожидания величин nx и ny будут равны:

bezug10.wmf,

bezug11a.wmf

bezug11b.wmf, (5)

где М – символ математического ожидания.

Начальные моменты после несложных преобразований с учетом соотношения (5) запишутся в следующем виде:

bezug12.wmf,

bezug13a.wmf

bezug13b.wmf, (6)

где k1 – коэффициент корреляции случайных величин Ni .

Учитывая природу пуассоновских шумов, коэффициент корреляции необходимо положить равным 0. При дальнейшем рассмотрении нижний индекс случайных величин nx, ny опустим и будем рассматривать случайную величину n.

Моменты случайной величины n порядка k запишутся в следующем виде:

bezug14a.wmf

bezug14b.wmf

bezug14c.wmf , (7)

где bezug15.wmf – совместные моменты случайных величин N1 и N2 порядка k–p, p.

Здесь и в дальнейшем при обозначении порядка моментов и кумулянтов случайных величин нижние индексы будут соответствовать их порядку, а верхние обозначать соответствующую случайную величину.

Из (7) видно, что все нечетные моменты bezug16.wmf случайной величины п равны нулю. Значения совместных моментов случайных величин N1 и N2 bezug17.wmf, входящие в состав выражения (7), для четных bezug18.wmf не могут быть определены в общем случае как нулевые.

В случае независимости двух случайных величин N1 и N2 все их совместные кумулянты будут равны нулю, чего нельзя сказать однозначно о соответствующих совместных моментах. Именно такой случай имеется в рассматриваемой физической задаче. В силу того что регистрация потока фотоэлектронов осуществляется различными фотоприемниками, величины N1 и N2 можно считать независимыми. Поэтому в дальнейшем целесообразно перейти к рассмотрению системы кумулянтов случайной величины n. Они могут быть найдены на основе свойства линейности и инвариантности [3] из выражения (7):

bezug19.wmf bezug20.wmf (8)

где bezug21.wmf – кумулянты порядка k случайной величины n, bezug22.wmf – совместные кумулянты случайных величин N1 и N2.

Основываясь на вышеизложенном относительно значений совместных кумулянтов, нетрудно прийти к выводу, что случайная величина n описывается системой только четных кумулянтов:

bezug23.wmf bezug24.wmf (9)

Запишем выражение для характеристической функции искомого распределения плотности вероятности:

bezug25.wmf. (10)

С учетом (9) выражение (10) запишется в следующем виде:

bezug26.wmf. (11)

Суммируя ряд в квадратных скобках, получим

θ(iv) = exp[2λ(ch(iυ) – 1] =

= exp[2λ(cos(υ) – 1]. (12)

Для получений аналитического выражения плотности распределения преобразуем по Фурье характеристическую функцию (12):

bezug28.wmf. (13)

С учетом известного выражения для разложения показательной функции в ряд

bezug29.wmf, (14)

где Jk(z) – функция Бесселя k-го порядка, после несложных преобразований получим

bezug30.wmf, (15)

где ln(2λ) – модифицированные функции Бесселя k-го порядка, δ – дельта-функция.

Так как случайная величина n принимает только дискретные значения ± n, окончательное выражение для искомой плотности запишется в следующем виде:

bezug31.wmf. (16)

Легко видеть, что полученная плотность (16) нормирована с весом 1. Просуммировав выражение (16) по всем индексам k, получим

bezug32.wmf. (17)

Очевидно, что в случае наличия наклона фазового фронта кружок Эйри на квадрантном фотоприемнике будет смещен, при этом параметры пуассоновских распределений, соответствующих случайным величинам N1 и N2, не равны

bezug33.wmf, (18)

где λ – параметр распределения случайной величины N1, μ – параметр распределения случайной величины N2. В этом случае

bezug34a.wmf

bezug34b.wmf. (19)

Для системы кумулянтов случайной величины n в общем случае будет верно выражение (8). Все совместные кумулянты в силу независимости оптических сигналов в каналах датчика Гартмана равны нулю. Нечетные кумулянты x2k–1 равны λ – μ, четные кумулянты x2n равны λ + μ. Это связано с тем, что (– 1)k при четных k и выражении (8) дает только положительные члены, а при нечетных k – знакочередующиеся. С учетом этого характеристическая функция такого распределения запишется в следующем виде:

bezug35.wmf. (20)

С учетом разложения функций cos u и sin u в степенной ряд запишем

bezug36.wmf. (21)

Используя известные соотношения для функций Бесселя [4], будем иметь

bezug37.wmf. (22)

Для нахождения аналитического выражения для плотности распределения случайной величины п преобразуем по Фурье полученную характеристическую функцию (22):

bezug38.wmf. (23)

В результате интегрирования этого выражения получим

bezug39.wmf. (24)

Для фиксированных значений случайной величины n, а именно этот случай нас интересует в конечном итоге, исходя из физической постановки задачи при p – m = k, имеем

bezug40.wmf. (25)

Для получения оптимальной оценки величины λ – μ необходимо вычислить логарифм отношения правдоподобия. Для этого преобразуем полученную плотность (25) в соответствии с теоремой умножения функций Бесселя:

bezug41.wmf. (26)

Положим, y = i(λ/μ)0,5, z = 2μ, тогда

bezug42a.wmf

bezug42b.wmf

bezug43.wmf. (27)

Для определения отношения-правдоподобия разобьем интервал регистрации сигнала на выходе датчика Гартмана t на ряд элементарных подинтервалов длительностью ti, i = 1,…r. Процесс появления фотоэлектронов на отдельных подинтервалах является статистически независимым. Совместное распределение на всем интервале τ можно представить в виде произведения соответствующих одномерных плотностей распределения. Многомерную плотность распределения запишем в следующем виде [10, 11, 12]:

bezug44a.wmf

bezug44b.wmf. (28)

Оптимальную оценку λ + μ получим из решения уравнения вида

bezug45.wmf, (29)

где

bezug46.wmf.

При λ, μ < 0 функции Бесселя можно представить в виде:

bezug47.wmf. (30)

Тогда, подставив (28), (30) в выражение (29), после несложных преобразований получим

bezug48.wmf, (31)

где ki – отсчеты фотоэлектронов в i-й момент времени на выходе датчика Гартмана.

Вместо λ и μ можно использовать их оценки. Так как λ и μ по определению являются пуассоновскими величинами, то их оценки могут быть получены известными методами.

Выводы

В результате проделанных аналитических выкладок получено выражение (31) для оптимальной в статистическом смысле оценки сигналов на выходе датчика Гартмана адаптивной оптической системы фазового сопряжения. Плотность распределения сигнала на выходе датчика Гартмана в случае отсутствия наклона фазового фронта является симметричной и унимодальной. Однако при этом она существенно отличается от гауссовой вследствие неравенства нулю высших кумулянтов. При регистрации в обоих каналах сигналов различной интенсивности плотность распределения остается унимодальной, однако смещается по оси абсцисс, и оптимальная оценка сигнала на выходе системы должна находиться в виде (31).

Рецензенты:

Звездина М.Ю., д.ф.-м.н., доцент, заведующая кафедрой «Радиоэлектроника», Минобрнауки России, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону;

Габриэльян Д.Д., д.т.н., профессор, заместитель начальника научно-технического комплекса «Антенные системы» по науке, Федеральный научно-производственный центр ФГУП «РНИИРС», г. Ростов-на-Дону.

Работа поступила в редакцию 15.04.2015.