Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

PARALLEL NUMERICAL SOLUTION TWO-PHASE INCOMPRESSIBLE FLUID PENETRATION TASK BASED ON AN IMPROVED ALTERNATING TRIANGULAR METHOD

Sukhinov A.I. 1 Timofeeva E.F. 2 Grigoryan L.A. 2 Tebueva F.B. 2 Nikitina A.V. 3 Khachunts D.S. 4
1 Federal State Educational Institution of Higher Professional Education «Don State Technical University»,
2 Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Professional Education «North- Caucasian Federal University»
3 GOU VO Public Educational Institution «Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems named after Acad. A.V. Kalyaev»
4 GOU VO Public Educational Institution «Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems named after Acad. A.V. Kalyaev»
Oil production occurs in most cases by displacing it into the porous space of the productive layers by water or gas. This process is used for oil mining in natural way as well as for artificial maintained value pressure in oil production layers by means of gas or water injection. Problem of increasing oil outcome is of great practical value and leads to numerous solving of such kind of problems. This, in turn, requires for design development of oil fields, to develop and implement parallel algorithms, providing high scalability and efficient solution for parallel computing. In this paper improved variant of the iteration alternating triangular method has been presented; it takes into account the specific features of two-phase flow problem statements in natural variables «pressure-water saturation», as well as its parallel implementation on a high performance computer system, installed in Taganrog in Southern Federal University has been presented.
two-phase penetration problem modelling
improved iterative alternating triangular method (improved ssor method)
parallel algorithms
1. Buzalo N.S., Ermachenko P.A., Procenko E.A., Hachunc D.S., Chistjakov A.E. Trehmernaja matematicheskaja model dinamiki zhidkosti i koncentracii vozdushnyh puzyrkov v karuselnom ajepotenke // Sovremennye problemy nauki i obrazovanija. 2015. no. 1. рр. 1789.
2. Gushhin V.A., Matjushin P.V. Matematicheskoe modelirovanie i vizualizacija transformacii vihrevoj struktury techenija okolo sfery pri uvelichenii stepeni stratifikacii zhidkosti // Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki. 2011. T. 51, no. 2. рр. 268–281.
3. Konovalov A.N. Zadachi filtracii mnogofaznoj neszhimaemoj zhidkosti. Novosibirsk: Nauka, 1988. 166 р.
4. Konovalov A.N. Metod skorejshego spuska s adaptivnym poperemenno-treugolnym pereobuslovlivatelem // Differencialnye uravnenija. 2004. T. 40, no. 7. рр. 953.
5. Petrov I.B., Favorskaja A.V., Sannikov A.V., Kvasov I.E. Setochno-harakteristicheskij metod s ispolzovaniem interpoljacii vysokih porjadkov na tetrajedralnyh ierarhicheskih setkah s kratnym shagom po vremeni// Matematicheskoe modelirovanie. 2013. T. 25, no. 2. рр. 42–52.
6. Samarskij A.A., Nikolaev E.S. Metody reshenija setochnyh uravnenij. M.: Nauka, 1978. рр. 592.
7. Suhinov A.I. Modificirovannyj poperemenno-treugolnyj metod dlja zadach teploprovodnosti i filtracii // Vychislitelnye sistemy i algoritmy. 1984. рр. 52–59.
8. Suhinov A.I., Nikitina A.V., Chistjakov A.E., Semenov I.S. Matematicheskoe modelirovanie uslovij formirovanija zamorov v melkovodnyh vodoemah na mnogoprocessornoj vychislitelnoj sisteme // Vychislitelnye metody i programmirovanie: novye vychislitelnye tehnologii. 2013. T. 1, no. 1. рр. 103–112.
9. Suhinov A.I., Hachunc D.S., Chistjakov A.E. Matematicheskaja model rasprostranenija primesi v prizemnom sloe atmosfery i ee programmnaja realizacija na mnogoprocessornoj vychislitelnoj sisteme // Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviacionnogo tehnicheskogo universiteta. 2015. T. 19, no. 1. рр. 213–223.
10. Suhinov A.I., Chistjakov A.E. Adaptivnyj poperemenno-treugolnyj metod dlja reshenija setochnyh uravnenij s nesamosoprjazhennym operatorom // Matematicheskoe modelirovanie. 2012. T. 24, no. 1. рр. 3–20.
11. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Procenko E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnoj zone melkovodnyh vodoemov // Matematicheskoe modelirovanie. 2013. T. 25, no. 12. рр. 65–82.
12. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Timofeeva E.F., Shishenja A.V. Matematicheskaja model rascheta pribrezhnyh volnovyh processov // Mat. modelirovanie. 2012. T. 24, no. 8. рр. 32–44.
13. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Fomenko N.A. Metodika postroenija raznostnyh shem dlja zadachi diffuzii-konvekcii-reakcii, uchityvajushhih stepen zapolnennosti kontrolnyh jacheek // Izvestija Juzhnogo federalnogo universiteta. Tehnicheskie nauki. 2013. no. 4 (141). рр. 87–98.
14. Suhinov A.I., Shishenja A.V. Povyshenie jeffektivnosti poperemenno-treugolnogo metoda na osnove utochnennyh spektralnyh ocenok// Matematicheskoe modelirovanie. 2012. T.24, no. 11. рр. 10–22.
15. Chetverushkin B.N., Morozov D.N, Trapezniko va M.A., Churbanova N.G., Shilnikov E.V. Obodnoj sheme dlja reshenija zadach filtracii // Matematicheskoe modelirovanie. 2010. T. 22, no. 4. рр. 99–109.

Постановка начально-краевой задачи и разностная схема

Развитию вычислительных методов решения задач фильтрации многофазных жидкостей посвящены работы [3, 15], в том числе параллельному численному решению данного класса задач – публикации [7]. В случае плоско-параллельного характера фильтрации в пластах сравнительно небольшой мощности, уравнения, описывающие фильтрацию двухфазной несжимаемой жидкости в отсутствие капиллярных и гравитационных сил и при наличии источников и стоков, имеют вид [7]

suhinov01.wmf (1)

suhinov02.wmf (2)

где s = s(x, y) – водонасыщенность; p = s(x, y, t) – давление; f1(s), f2(s) – относительные фазовые проницаемости для нефти и воды соответственно; H – мощность пласта; m –пористость пласта; ?1, ?2 – вязкость нефти и воды соответственно; k(x, y) – проницаемость пласта; ?(s) – так называемая функция Баклея – Леверетта

suhinov03.wmf suhinov04.wmf (3)

с помощью которой может быть определена доля фазы воды в суммарном потоке. Функции q1 и q2, моделирующие работу скважин будут приведены при описании разностной схемы. Здесь мы отметим следующее: на эксплуатационных скважинах отбор фаз происходит пропорционально их подвижностям, а на нагнетательных – поток нефти равен нулю. Будем считать, что на скважинах задаются либо дебиты, либо забойные давления. В качестве функциональных зависимостей для задания f1(s), i = 1, 2 будем использовать полиномы третьего порядка

suhinov05.wmf suhinov06.wmf (4)

а также

suhinov07.wmf (5)

где suhinov08.wmf suhinov09.wmf – постоянные – так называемые предельные значения водонасыщенности, например suhinov10.wmf suhinov11.wmf ai, bi i = 0, 1, 2, 3 – постоянные коэффициенты. Разностная схема для данной задачи получена интегроинтерполяционным методом [13].

Усовершенствованный алгоритм модифицированного попеременно-треугольного метода

В настоящей статье рассматривается параллельное численное решение системы разностных уравнений усовершенствованным модифицированным попеременно-треугольным методом, имеющим высокую скорость сходимости в случае сильно неоднородных пластов и применения подробных пространственных сеток [1, 2, 5, 11, 12].

Решение системы (1), (2) сводится к решению задачи, которую можно представить в операторном виде:

suhinov12.wmf suhinov13.wmf x ? ?;

suhinov14.wmf x ? ?;

suhinov15.wmf

suhinov16.wmf

suhinov17.wmf

Схема итерационного двухслойного модифицированного попеременно-треугольного метода имеет вид [4, 6, 10, 14]:

suhinov18.wmf

где

suhinov19.wmf

suhinov20.wmf

Параллельная реализация попеременно-треугольного метода и результаты численных экспериментов

Для решения задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости использован адаптивный МПТМ минимальных поправок. При параллельной реализации использованы методы декомпозиции сеточных областей для вычислительно трудоемких задач диффузии-конвекции, учитывающие архитектуру и параметры многопроцессорной вычислительной системы ЮФУ, в г. Таганроге. Пиковая производительность МВС составляет 18.8 TFlops. В качестве вычислительных узлов используется 128 однотипных 16-ядерных Blade-серверов HP ProLiant BL685c, каждый из которых оснащен четырьмя 4-ядерными процессорами AMD Opteron 8356 2.3 GHz и оперативной памятью в объеме 32ГБ.

Для параллельной реализации усовершенствованного МПТМ использованы методы декомпозиции области по одному направлению [8, 9]. Результаты использования многопроцессорных технологий для расчета полей течений приведены в таблице.

Количество ядер

Время, с 

Ускорение

Эффективность

1

1447,415

1

1

2

734,728

1,97

0,985

4

387,009

3,74

0,935

8

199,643

7,25

0,906

16

109,653

13,2

0,825

32

62,659

23,1

0,722

64

36,643

39,5

0,617

Получены теоретические оценки ускорения и эффективности параллельного алгоритма, зависящие от времени выполнения арифметической операции, времени передачи данных и латентности, согласующиеся с приведенными выше экспериментальными данными (таблица).

На рис. 1–4 представлены результаты численного моделирования фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. На рис. 1–2 приведена функция, описывающая распределение давления в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.

pic_48.tif

Рис. 1. Функция распределения давления в начальный момент времени

pic_49.tif

Рис. 2. Функция распределения давления через 750 суток

На рис. 3–4 приведена функция, описывающая распределение функции водонасыщенности в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.

pic_50.tif

Рис. 3. Функция распределения водонасыщенности в начальный момент времени

pic_51.tif

Рис. 4. Функция распределения водонасыщенности через 750 суток

Заключение

В статье для численного решения модельной задачи фильтрации двухфазной жидкости, описывающей процесс вытеснения нефти водой, для вычисления функции давления в пласте построен усовершенствованный модифицированный попеременно-треугольный метод, учитывающий специфику сеточных аппроксимаций задач такого типа – наличие функции источников, имеющей значительные величины в относительно небольшом числе узлов сетки, совпадающих с местоположением скважин. Построена и протестирована параллельная версия данного алгоритма на многопроцессорной системе ЮФУ в г. Таганроге, имеющая приемлемые показатели ускорения и эффективности для числа ядер при их изменении в диапазоне 4–256. Данный метод может найти применение при решении реальных задач проектирования разработок нефтяных месторождений в научно-исследовательских, проектных и технологических организациях нефтегазового профиля, эксплуатирующих относительно недорогие параллельные многоядерные системы с числом ядер до нескольких сотен.

Работа выполнена при частичной поддержке проектов Программы № 43 фундаментальных исследований Президиума РАН по стратегическим направлениям развития науки «Фундаментальные проблемы математического моде лирования».