Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

PROGRAM REALIZATION OF DISCRETE MATHEMATICAL MODEL OF COASTAL WAVE PROCESSES CALCULATION BASED ON EXPLICIT SCHEMES REGULARIZED BY B.N. CHETVERTUSHKIN IS PERFORMED ON COMPUTING SYSTEM WITH MASSIVE PARALLELISM

Chistyakov A.E. 1 Khachunts D.S. 1 Timofeeva E.F. 2 Fomenko N.A. 3 Kuznetsova I.Y. 4
1 GOU VO Public Educational Institution «Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems named after Acad. A.V. Kalyaev of Southern Federal University
2 Moscow State Technical University named after N.E. Bauman
3 Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow
4 GOU VO «Engineering and Technological Academy of the Southern Federal University»
Рассматривается непрерывная математическая модель расчета выхода волны на берег и ее разрушения, учитывающая такие физические параметры, как турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, трение о дно. Для этой модели построен эффективный алгоритм ее реализации, учитывающий динамическое изменение уровня возвышения жидкости. Разработан метод построения сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области. Построен алгоритм решения задачи диффузии-конвекции на основе явных регуляризованных схем и выполнена его параллельная реализация. Разработан программный комплекс, предназначенный для визуализации двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования волновых процессов в прибрежных акваториях, на основе которого получены поля течений водной среды, согласующиеся с реальным физическим процессом.
Continuous mathematical model of calculation of wave exit to the shore and its destruction taking into account such physical parameters as turbulent exchange, complex geometry of the bottom and the coastline, bottom friction is under consideration. An effective algorithm of its realization taking into account a dynamic level change of liquid elevation is constructed. The method of construction of grids with dynamically changing geometry of rated operating conditions is developed. The algorithm of problem solving of diffusion convection on the basis of the explicit regularized schemes is constructed and its parallel realization is performed. Program complex intended for the visualization of two-dimensional velocity field of aquatic environment movement in case of mathematical modeling of wave setup and its breaking-down to the shore, as well as for wave processes forecasting in offshore strip is developed, on the basis of which the fields of aquatic environment course consistent with real physical process is derived.
hydrodynamics
mathematical model
hydrodynamic wave processes
the set of equations by navier – stockes
bottom contour
numerical experiment
1. Vasilev V.S., Suhinov A.I. Precizionnye dvumernye modeli melkih vodoemov// Matematicheskoe modelirovanie. 2003. T. 15, no. 10. рр. 17.
2. Samarskij A.A. Teorija raznostnyh shem. M.: Nauka, 1989. 616 р.
3. Samarskij A.A., Nikolaev E.S. Metody reshenija setochnyh uravnenij. M.: Nauka, 1978. 532 р.
4. Suhinov A.I., Nikitina A.V., Chistjakov A.E. Modelirovanie scenarija biologicheskoj reabilitacii Azovskogo morja // Matematicheskoe modelirovanie. 2012. T. 24, no. 9. рр. 3–21.
5. Suhinov A.I., Nikitina A.V., Chistjakov A.E., Semenov I.S. Matematicheskoe modelirovanie uslovij formirovanija zamorov v melkovodnyh vodoemah na mnogoprocessornoj vychislitelnoj sisteme // Vychislitelnye metody i programmirovanie: novye vychislitelnye tehnologii. 2013. T. 14, no. 1. рр. 103–112.
6. Suhinov A.I., Hachunc D.S., Chistjakov A.E. Matematicheskaja model rasprostranenija primesi v prizemnom sloe atmosfery pribrezhnoj zony i ee programmnaja realizacija // Zhurnal vychislitelnoj matematiki i matematicheskoj fiziki. 2015. T. 55, no. 7. рр. 1238.
7. Suhinov A.I., Hachunc D.S., Chistjakov A.E. Parallelnye algoritmy dlja prognoza sostojanija vozdushnoj sredy rekreacionnyh zon pribrezhnyh sistem Vestnik kompjuternyh i informacionnyh tehnologij. 2015. no. 5 (131). рр. 55–60.
8. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Procenko E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnoj zone melkovodnyh vodoemov // Matematicheskoe modelirovanie. 2013. T. 25, no. 12. рр. 65–82.
9. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Timofeeva E.F., Shishenja A.V. Matematicheskaja model rascheta pribrezhnyh volnovyh processov // Matematicheskoe modelirovanie. 2012. T. 24, no. 8. рр. 32–44.
10. Suhinov A.I., Chistjakov A.E., Fomenko N.A. Metodika postroenija raznostnyh shem dlja zadachi diffuzii-konvekcii-reakcii, uchityvajushhih stepen zapolnennosti kontrolnyh jacheek // Izvestija Juzhnogo federalnogo universiteta. Tehnicheskie nauki. 2013. no. 4 (141). рр. 87–98.
11. Chetverushkin B.N. Predely detalizacii i formulirovka modelej uravnenij sploshnyh sred // Matematicheskoe modelirovanie. 2012. T. 24, no. 11. рр. 33–52.

Для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предопределения строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии рассматривается математическая модель процесса наката и обрушения волны на берег. В данной работе для предложенной математической модели прибрежных волновых процессов приведено описание реализации разработанных алгоритмов.

Постановка задачи. При описании задачи волновой динамики жидкости исходными уравнениями являются:

– уравнения Навье – Стокса:

chistyak01.wmf (1)

chistyak02.wmf (2)

– уравнение неразрывности:

chistyak03.wmf (3)

Уравнение (3) в случае несжимаемой жидкости примет вид

chistyak04.wmf (4)

Уравнения (1)–(4) рассматриваются при следующих граничных условиях:

– на дне области:

chistyak05.wmf chistyak06.wmf

chistyak07.wmf (5)

– на поверхности жидкости:

chistyak08.wmf chistyak09.wmf

chistyak10.wmf chistyak11.wmf (6)

– на боковой границе:

chistyak12.wmf chistyak13.wmf

chistyak14.wmf (7)

где V = {u, v} – вектор скорости движения водной среды; P – давление; ?, ? – коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно; g – ускорение свободного падения; ? – плотность жидкости; ?x, ?y – составляющие тангенциального напряжения на дне жидкости; ? – поток вектора скорости через боковую поверхность; L – расстояние от поверхности жидкости до дна (глубина жидкости с учетом возвышения уровня) на боковой границе.

Дискретная модель

Расчетная область представляет собой прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи волновой гидродинамики вводится равномерная сетка [2, 3]:

где ? – шаг по времени; hx,hy – шаги по пространству; Nt – верхняя граница по времени; Nx, Ny – границы по пространству.

Применяется непосредственная аппроксимация. В результате аппроксимации уравнений (1), (2) по временной переменной, вводя промежуточный слой n + ? согласно MAC-методу и расщепляя уравнения по физическим процессам, уравнения приводятся к следующему виду [1, 5, 9]:

chistyak16.wmf

chistyak17.wmf (8)

chistyak18.wmf chistyak19.wmf (9)

Продифференцировав уравнения (9) и преобразовав с учетом уравнения неразрывности (4), получим

chistyak20.wmf (10)

Расчет задач гидродинамики по данному методу «поправок к давлению» осуществляется в три этапа. На первом этапе на основе уравнений (8) считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление по уравнению (10). На третьем этапе из соотношений (9) уточняется поле скоростей по давлению.

Программная реализация

Для демонстрации визуализации процесса выхода и обрушения волны на берег с учетом особенностей рельефа дна прибрежной акватории и суши было разработано экспериментальное программное обеспечение «Waves» на базе ЭВМ. Программа «Waves» предназначена для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предопределения строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии. Разработанное экспериментальное программное обеспечение на базе ЭВМ предназначено для математического моделирования и демонстрации визуализации процесса выхода и обрушения волны на берег с учетом особенностей рельефа дна прибрежной акватории и суши.

Программный компонент «Waves» включает в себя следующие блоки: управляющий блок (в данном блоке содержится цикл по временной координате и вызываются функции: расчет поля скорости без учета давления, расчет давления, расчет двумерного поля скорости, расчет заполненности ячеек водной средой и функции ввода-вывода данных); блок ввода начальных данных для расчета течений и давления (задаются начальные распределения поля скорости и давления, а также маски граничных условий и начальные значения заполненности ячеек); блок построения сеточных уравнений для поля скорости без учета давления в соответствии с конечно-объемной схемой (считаются и записываются в массив коэффициенты и правая часть соответствующего сеточного уравнения, представленного в канонической форме); блок построения сеточных уравнений для поля давления; блок расчета заполненности ячеек [4, 10]; блок расчета поля скорости с учетом давления (результатом работы данного блока является расчет значений поля двумерного вектора скоростей на следующем временном слое); блок расчета пятидиагональных сеточных уравнений адаптивным попеременно-треугольным методом скорейшего спуска; блок вывода значений поля скоростей, давления и заполненности ячеек.

Результаты численных экспериментов

Математическая постановка решаемой задачи может быть сформулирована следующим образом: слой идеальной несжимаемой жидкости подходит к откосу с изломом на урезе, сопряженному с ровным дном. В этом случае откос приурезовой области нельзя считать плоским, откос и берег расположены под разными углами. Предполагается, что в начальный момент времени жидкость находится в состоянии покоя. На некотором расстоянии от берега в точке x = 0 задается возмущение. Источником возмущения служит приложенный к боковой границе рассматриваемой области жидкости импульс давления. Требуется определить последующее движение воды.

После разработки программы «Waves» были проведены тестирования ее на соответствие уже имеющимся результатам, которые были получены другими научными работами и опытным путем. Анализ показывает, что приближенная математическая модель выхода волны на берег и ее разрушение в прибрежной зоне водоема с определенной точностью согласуется с существующими данными.

Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды в прибрежной акватории представлены на рисунке, где изображено изменение профиля волны набегающей на берег в различный период времени. При этом программа отражает векторы поля скорости.

Из рисунка видно, что в прибрежной акватории при накате волны на берег происходит ее обрушение, образуется зона заплеска. Первая волна при откате назад «встречается» со следующей волной и «сбивает» ее. Полученные численные результаты процесса наката волн на берег дают возможность провести оценки силового воздействия волн на береговые объекты. Данная математическая модель построена для прогнозирования возможных сценариев развития ситуаций при использовании береговых зон.

pic_58.tif

Динамика изменения профиля уровня возвышения жидкости в случае наличия искусственного препятствия (волнореза)

chistyak15.wmf

Данные о времени счета, ускорении и эффективности

Количество ядер

Время, с

Ускорение

Эффективность

1

1215

1

100

2

623,1

1,95

97,5

4

319,7

3,8

95

8

164,2

7,4

92,5

16

85,6

14,2

88,8

32

46,2

26,3

82,2

64

25

48,6

75,9

Параллельная реализация задачи. Для параллельной реализации поставленной задачи будем использовать регуляризованные по Б.Н. Четверушкину явные схемы [11], при этом уравнение диффузии-конвекции [6–8]

chistyak21.wmf

с учетом слагаемых регуляризаторов запишется в виде [11]:

chistyak22.wmf

Следует отметить, что условием устойчивости для задачи диффузии-конвекции является chistyak23.wmf а в случае использования слагаемых регуляризаторов данное ограничение запишется в виде

chistyak24.wmf

Обратим внимание на то, что полученные с учетом ограничения минимальных масштабов дополнительные члены, по сути, не меняют решений, использующих классические постановки. Они выступают лишь в качестве физически обоснованных регуляризаторов, сглаживающих физически необоснованные эффекты, получающиеся при численном решении. В этой связи конкретное значение величин, входящих в виде коэффициентов в регуляризирующие члены, уже не играет особой роли. Важно, чтобы они находились в правильном диапазоне лишь по порядку величины. Этот факт существенно облегчает практическое использование указанного подхода. При параллельной реализации использованы методы декомпозиции сеточных областей для вычислительно трудоемких задач диффузии-конвекции, учитывающие архитектуру и параметры многопроцессорной вычислительной системы РОЦ НИТ ЮФУ. Пиковая производительность МВС составляет 18,8 TFlops. В качестве вычислительных узлов используются 128 однотипных 16-ядерных Blade-серверов HP ProLiant BL685c, каждый из которых оснащен четырьмя 4-ядерными процессорами AMD Opteron 8356 2,3 GHz и оперативной памятью в объеме 32 ГБ.

Результаты использования многопроцессорных технологий для решения уравнения диффузии-конвекции на основе явных регуляризованных схем приведены в таблице.

Заключение

В работе дан эффективный алгоритм для решения задач волновой гидродинамики, учитывающий динамическое изменение уровня возвышения жидкости, и методика построения сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области. Решение задач волной гидродинамики осуществляется с применением адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода вариационного типа, который позволяет минимизировать время расчета сеточных уравнений с несамосопряженной матрицей коэффициентов по сравнению с другими итерационными методами.

Разработан алгоритм решения задачи диффузии-конвекции на основе явных регуляризованных схем и выполнена его параллельная реализация. Построен программный комплекс, предназначенный для визуализации двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования волновых процессов в прибрежных акваториях, на основе которого получены поля течений водной среды, согласующиеся с реальным физическим процессом.

Работа выполнена при частичной поддержке Задания №2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.