Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

INVARIANT APPROXIMATION OF DISPLACEMENT IN FEM TO ACCOUNT FOR THE DISPLACEMENT OF THE FINITE ELEMENT AS A RIGID BODY

Gureeva N.А. 1 Kiselev A.P. 1 Kiseleva R.Z. 1 Nikolaev A.P. 1
1 Volgograd State Agricultural University
The algorithm of formation of the stiffness matrix hexahedron hexagonal finite element shell of revolution with nodal unknown in the form of displacements and their derivatives is shown that the use of invariant approximation of displacements provides a solution well – known problem of the FEM – accounting displacement as a rigid body. Approximation of the displacement of the inner points of finite element was performed in two variants: with the use of the scalar approximation the component of the displacement vector; by using our invariant approximation of displacement fields. In strength calculations in curvilinear coordinate systems scalar approximation is incorrect, as it does not contain parameters describing the used curvilinear coordinate system. Hence arises the problem of the displacement of the finite element as a rigid body, which is developed by vector approximation of the desired quantities.
FEM
three-dimensional hexahedron finite element
the nodal unknowns
invariant approximation of displacement
displacement as a rigid body
1. Gureeva N.A. Raschet mnogoslojnoj obolochki s ispolzovaniem obemnogo konechnogo jelementa / N.A. Gureeva, A.P. Kiselev, R.Z. Kiseleva // Izvestija VolgGTU. 2010. no. 4. рр. 125–128.
2. Kiselev A.P. Vektornaja approksimacija polej peremeshhenij ob#emnogo shestigrannogo konechnogo jelementa // Stroitelnaja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. 2007. no. 1. рр. 21–24.
3. Kiseljov A.P. Ispolzovanie trjohmernyh konechnyh jelementov v raschjotah prochnosti mnogoslojnyh panelej / A.P. Kiselev, N.A. Gureeva, R.Z. Kiseljova // Stroitelnaja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. 2009. no. 4. рр. 37–40.
4. Kiseleva R.Z. Raschet mnogoslojnyh obolochek vrashhenija i plastin s ispolzovaniem ob#jomnogo konechnogo jelementa / R.Z. Kiseljova, A.P. Kiselev, N.A. Gureeva // Izv. Vuzov, ser. «Stroitelstvo». 2010. no. 1. рр. 106–112.
5. Sedov A.I. Mehanika sploshnoj sredy. M:. Nauka, 1976. t. 1. 535 р.
6. Nikolaev A. The finite elements of a quadrilateral shape for analysis of shells taking into consideration a displacement of a body with rigid body modes / A. Nikolaev, A. Kiselyev, Yu. Klochkov // Stroitelnaja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. 2011. no. 3. рр. 49–59.

Геометрия оболочки вращения

В декартовой системе координат оxуz положение точки М срединной поверхности оболочки вращения определяется радиус-вектором

Gureeva01.wmf (1)

где r – радиус вращения точки М относительно оси ox; Gureeva02.wmf – орты декартовой системы координат; θ – угол, отсчитываемый от вертикального диаметра против часовой стрелки.

Векторы локального базиса точки М определяются выражениями

Gureeva03.wmf

Gureeva04.wmf

Gureeva05.wmf (2)

где r,s = r,xx,s – производная радиуса вращения по дуге меридиана s.

Cсоотношение (2) можно представить в матричном виде:

Gureeva06.wmf Gureeva07.wmf (3)

где Gureeva08.wmf Gureeva09.wmf

Дифференцированием (1) при использовании (3) можно получить производные векторов (2) в базисе этих же векторов

Gureeva10.wmf

Gureeva11.wmf (4)

Радиус-вектор произвольной точки оболочки Mς, отстоящей на расстоянии ς от срединной поверхности имеет вид

Gureeva12.wmf (5)

Базисные векторы точки Mς определяются дифференцированием (5) с учетом (4)

Gureeva13.wmf

Gureeva14.wmf (6)

Gureeva15.wmf

Точка Mς под действием на оболочку заданной нагрузки займет положение Mς*, которое определяется вектором Gureeva16.wmf, представляемым компонентами в базисе точки M

Gureeva17.wmf (7)

Производные вектора (7) определяются дифференцированием с учетом (4):

Gureeva18.wmf

Gureeva19.wmf

Gureeva20.wmf (8)

где Gureeva21.wmf

Gureeva22.wmf Gureeva23.wmf

Gureeva24.wmf – функции компонент вектора перемещения и их производных.

Ковариантные компоненты тензора деформации определяются выражениями [5]

Gureeva25.wmf (9)

где Gureeva26.wmf – ковариантные компоненты метрических тензоров в деформированном и исходном состояниях.

С использованием (6) и (8) соотношение (9) можно представить в матричном виде

Gureeva27.wmf (10)

где Gureeva28.wmf

Gureeva29.wmf [L] – матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

Закон Гука

Соотношения между напряжениями и деформациями принимаются в виде [3]

Gureeva30.wmf (11)

где σmn – контравариантные компоненты тензора напряжений; εmn – ковариантные компоненты тензора деформаций; λ, μ – параметры Ламе; amn – контравариантные компоненты метрического тензора; I1(ε) = εmn amn – первый инвариант тензора деформаций.

Соотношение (11) можно записать в матричном виде

{σ} = [D]{ε}, (12)

где {σ}T = {σ11 σ22 σ33 σ12 σ13 σ23}.

Матрица жесткости шестигранного конечного элемента

Объёмный конечный элемент, принимается в координатной системе x, θ, ς в виде шестигранника с узлами i, j, k, l на нижней грани по координате ς и узлами m, n, p, h по верхней грани [1–4, 6]. Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами a, b, c, изменяющимися в пределах –1 ≤ a, b, c ≤  1, с использованием трилинейных функций

Gureeva31.wmf Gureeva32.wmf

Gureeva33.wmf (13)

где Gureeva34.wmf

Gureeva35.wmf

Gureeva36.wmf – матрицы-строки глобальных координат узлов шестигранника.

Дифференцированием (13) определяются производные глобальных координат в локальной системе x,a, x,b, x,c, θ,a, θ,b, θ,c, ς,a, ς,b, ς,c и локальных координат в глобальной системе a,x, a,θ, a,ς, b,x, b,θ, b,ς, c,x, c,θ, c.

Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента определяется выражением

Gureeva37.wmf (14)

Аппроксимация компонент вектора перемещения (14) через узловые неизвестные выполнялась в двух вариантах.

Скалярная аппроксимация компонент вектора перемещения

Узловые неизвестные конечного элемента перемещения и их производные представляются в локальной и глобальной системах матрицами-строками

Gureeva38.wmf

Gureeva39.wmf

t = 1, 2, 3. (15)

Узловые величины (15) связаны матричной зависимостью

Gureeva40.wmf (t = 1, 2, 3), (16)

где элементами матрицы [T] являются производные глобальных координат x, θ, ς в локальной системе a, b, c для узловых точек конечного элемента.

Каждая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые значения этой же компоненты матричным выражением

Gureeva41.wmf (17)

где {ψ}T – аппроксимирующая матрица, элементами которой являются полиномы Эрмита третьей степени.

На основе скалярной аппроксимации (17) выражение (10) представляется в матричном виде

Gureeva42.wmf (18)

где Gureeva43.wmf – строка узловых неизвестных шестигранного конечного элемента;

Gureeva44.wmf

Векторная аппроксимация перемещений

В качестве узловых неизвестных конечного элемента принимаются векторы перемещений узловых точек и их первые производные в локальной и глобальной системах координат и представляются матрицами-строками

Gureeva45.wmf (19)

Gureeva46.wmf

Между столбцами (19) имеет место матричное соотношение

Gureeva47.wmf (20)

Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные (19) матричной зависимостью

Gureeva48.wmf (21)

где

γt = ψt;

Gureeva49.wmf

Gureeva50.wmf

Gureeva51.wmf

ω = i, j, k, l, m, n, p, h;

t = 1, 2, ..., 8. (22)

Производные вектора перемещения внутренней точки конечного элемента определяются дифференцированием (21)

Gureeva52.wmf

Gureeva53.wmf

Gureeva54.wmf (23)

Столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат на основе (7) и (8) можно представить матричным соотношением

Gureeva55.wmf (24)

где

Gureeva56.wmf (25)

Gureeva57.wmf – матрица, ненулевыми элементами которой являются базисные векторы узловых точек конечного элемента Gureeva58.wmf (ω = 1, 2, ..., 8).

На основании соотношений (3) можно базисные векторы узловых точек выразить через базисные векторы рассматриваемой внутренней точки конечного элемента

Gureeva59.wmf (26)

где [sω] – матрица, элементы которой определяются параметрами узловой точки ω.

После замены на основе (26) базисных векторов узловых точек в матрице Gureeva60.wmf аппроксимирующие матрицы (21) и (23) можно представить матричными соотношениями

Gureeva61.wmf

Gureeva62.wmf Gureeva63.wmf

Gureeva64.wmf (27)

Приравнивая правые части выражений (7), (8) и (27), можно получить аппроксимирующие выражения для компонент вектора перемещения внутренней точки конечного элемента

Gureeva65.wmf Gureeva66.wmf

Gureeva67.wmf Gureeva68.wmf (28)

С использованием (28) деформации (10) во внутренней точке конечного элемента определяется матричным выражением

Gureeva69.wmf (29)

где использовано преобразование

Gureeva70.wmf

С использованием соотношений (18), (29) и (12) по алгоритму [1] формируется матрица жесткости конечного элемента

Gureeva71.wmf (30)

в двух вариантах: на основе скалярной аппроксимации перемещений и на основе векторной аппроксимации. Символом {F} обозначен вектор узловых сил конечного элемента.

Пример. Рассматривалась усечённая эллипсоидная оболочка (рисунок), находящаяся под действием внутреннего давления интенсивности q. Были приняты следующие исходные данные: b– = 0,1 м; t = 0,01 м; rk = 0,005 м; Е = 2·105 МПа; ν = 0,3; h = 0,01 м; q = 2,5 МПа.

pic_90.tif

Усеченный эллипсоид вращения, загруженный внутренней равномерно распределенной нагрузкой

Расчеты выполнялись для трех усеченных оболочек с размерами больших полуосей а = 0,5 м; а = 1,0 м; а = 1,5 м. Остальные размеры остались неизменными.

Меридиональные напряжения в точках 1, 2, 3 оказались практически равными для всех оболочек и при каждом варианте аппроксимации перемещений в конечном элементе (σss = 123,5 МПа), что примерно на 0,344 % отличалось от числовых значений меридиональных напряжений, полученных из уравнения равновесия

Gureeva72.wmf

Оказались равными и значения окружных напряжений σθθ в точках 1, 2, 3 для обоих вариантов аппроксимации перемещений в конечном элементе.

а, м

σθθ, МПа

σθθ, МПа

σθθ, МПа

δsk, %

δb, %

1

2

3

4

5

6

0,5

45,32

49,97

51,45

11,9

2,9

0,1

21,42

26,64

27,90

23,20

4,5

1,5

15,51

19,94

20,83

25,5

4,2

В таблице приведены окружные напряжения в точках 5 (на срединных поверхностях оболочек на правом краю). В первой колонке приведены значения полуосей а усеченных оболочек. Во второй колонке приведены окружные напряжения, полученные при использовании скалярной аппроксимации перемещений конечного элемента. В третьей колонке даются окружные напряжения в точках 5, полученные при использовании векторной аппроксимации перемещений. В четвертой колонке даются окружные напряжения, полученные по равенству Лапласа (в данном случае приближенному)

Gureeva73.wmf

где Gureeva74.wmf на правом краю оболочки; Gureeva75.wmf – радиус вращения в концевой точке; ψk – угол наклона касательной к отчетному меридиану в концевой точке. Окружные напряжения из соотношения Лапласа определяются выражением

Gureeva76.wmf

В колонке 5, 6 таблицы приведены расхождения между значениями окружных напряжений.

δsk – расхождения между числовыми значениями напряжения колонки 2 и колонки 4; δb – расхождения между числовыми значениями напряжения колонки 3 и колонки 4.

Как видно значения окружных напряжений, полученные при использовании векторной аппроксимации перемещений (колонка 4) находятся в гораздо лучшем соответствии с результатами, полученными на основе соотношения Лапласа.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-41-02346/16).