Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

METHOD OF OPERATOR SERIES FOR CONSTRUCTING EXTREMAL MODELS OF RARE EVENTS

Dzanagova I.T. 1
1 North Ossetian State University n.a. сosta Levanovich Khetagurov
В данной статье показан метод построения квантильной функции для случайной величины с использованием особого класса рядов, членами которых являются операторы. При суммировании случайного числа случайных величин вычисление интеграла по формуле обращения в некоторых случаях затруднительно. Для преодоления трудностей решения этих задач рассматривается применение класса операторных рядов, впервые введенного норвежским математиком Софусом Мариусом Ли. Рассматриваются линейные дифференциальные операторы, коэффициенты которых могут быть в общем случае функциями комплексных переменных. Полученные при помощи этих операторов функции могут быть представлены регулярными сходящимися степенными рядами. При помощи рассматриваемого класса операторных рядов, в частности, можно обращать (производить инверсию) функцию распределения. Показано, что если распределение случайной величины задано характеристической функцией, то можно построить квантильную функцию для случайной величины. Показана зависимость и эффективность применения этой зависимости, не требующей построения функции распределения суммы случайных величин. Предложенная процедура построения квантильных функций рассмотрена на примере.
This article shows a method for constructing a quantile function for a random variable using a special class of series whose members are operators. When summing a random number of random variables, it is difficult to calculate the integral by the inversion formula in some cases. To overcome the difficulties of solving these problems, the application of the class of operator series, first introduced by the Norwegian mathematician Sophus Marius Lee, is considered. We consider linear differential operators whose coefficients can in the general case be functions of complex variables. The functions obtained with the help of these operators can be represented by regular convergent power series. With the help of the considered class of operator series, in particular, it is possible to convert (inverse) the distribution function. It is shown that if the distribution of a random variable is given by a characteristic function, then it is possible to construct a quantile function for a random variable. The dependence and efficiency of this dependence is shown, which does not require the construction of the distribution function of the sum of random variables. The proposed procedure for constructing quantile functions is considered using the example.
extreme models
distribution
generating function
operator series
quantile function

В условиях суммирования случайного числа случайных величин вычисление интеграла по формуле обращения в некоторых случаях затруднительно. Очевидно, объективно существует потребность разработки специфических методов и соответствующего аналитического аппарата, основной целью которых должно быть обеспечение исследования поведения сумм случайного числа св. (нахождение их функций распределений, функций квантилей и моделирующих алгоритмов). В качестве возможного пути преодоления трудностей решения этих задач далее рассматривается применение одного класса операторных рядов (рядов С. Ли).

Итак, воспользуемся основными математическими понятиями и определениями. В традиционном понимании следующая последовательность dzag01.wmf записанная в виде суммы, именуется рядом, где ak (k = 1,…,n), которые называются членами ряда, обычно являются числами, функциями, векторами, матрицами. Обычно мы имеем дело с числовыми, функциональными рядами, а также с рядами векторов, матриц и т.д. В данной работе применяется совершенно другой класс рядов, элементами которых являются операторы. Соответственно, такие ряды называются операторными. Известно, что под оператором понимают отображение X > Y, ставящее в соответствие каждому элементу x из множества X некоторый элемент y из Y. Пример подобных преобразований – дифференцирование: любой функции f(x), имеющей производную, ставится в соответствие оператором дифференцирования функция dzag02.wmf. Рассмотрим линейные дифференциальные операторы следующего вида:

dzag03.wmf (1)

где fi(z) – коэффициенты, являющиеся функциями комплексных переменных dzag04.wmf. Допустим, что все эти коэффициенты в окрестности некоторой точки z0 голоморфны, а значит fi(z) – однозначные аналитические функции. Известно, что функция вещественной переменной x является аналитической, если имеет место сходимость степенного ряда к этой функции в интервале dzag05.wmf, тогда как для функции комплексной переменной это условие значит, что существует ряд Тейлора, сходящийся к этой бесконечно дифференцируемой функции.

Можно утверждать о наличии у аналитических функций конечной производной в точке x0. А также справедливо обратное утверждение: при существовании производной функции конечной в области x0, функция в этой области аналитическая. Пусть дана функция f(z) и точка z0, в окрестности которой данная функция голоморфна. Тогда на основании (1) использование оператора

dzag06.wmf

тоже даст функцию голоморфную в окрестности точки z0. К функциям, полученным в результате итеративных операций, также справедливо применение этого свойства.

dzag07.wmf (2)

А следовательно, функции, полученные при использовании операторов типа (2), могут быть записаны в виде регулярных сходящихся степенных рядов. При формальном объединении множителя dzag08.wmf и голоморфной функции Dvf(z), получится ряд вида

dzag09.wmf, (3)

где t – новая переменная, не зависящая от переменных dzag10.wmf. Подобные ряды были впервые использованы норвежским математиком Софусом Мариусом Ли. Они имеют ряд характерных свойств, некоторые из которых следуют из правил нахождения производной и дифференциала суммы и произведения [1, с. 186].

dzag11.wmf (4)

dzag12.wmf (5)

dzag13.wmf (6)

dzag14.wmf (7)

где в соотношениях (5) и (6) параметр с понимается либо как собственная постоянная, или имеет смысл функции, не зависящей от dzag16.wmf согласно соотношению (3).

Применив итерацию (2) и дополнив следующим условием

dzag17.wmf,

обобщим соотношения (4)–(7)

dzag18.wmf (8)

dzag19.wmf

ν = 0, 1, 2, ... (9)

Очевидно, из соотношения (8) вытекает правило суммирования рядов Ли, полученных с использованием единого оператора D:

dzag20.wmf

Имеется правило и для нахождения произведения указанных рядов, полученных с использованием единого оператора D:

dzag21.wmf

Указанное правило может быть доказано следующим образом. Допустим, m = 2 (количество сомножителей). Используя соотношение (9), получим

dzag22.wmf (10)

Введем в последнем соотношении (10) в выражении с двойной суммой новый индекс суммирования β = ν – α, после чего можно увидеть как оба индекса α и β, совершенно не завися один от другого, принимают все неотрицательные значения. Заменив в том же выражении последнего соотношения tν на произведение dzag23.wmf правую часть можно представить в виде

dzag24.wmf

Нетрудно заметить, что возможно обобщение и на большее количество сомножителей.

Используя рассматриваемый класс операторных рядов, можно выполнять инверсию функции распределения, что вытекает из нижеприведенного заключения [2, c. 551].

Пусть дана однозначная аналитическая функция dzag25.wmf, тогда функция обратная ей в окрестности точки dzag26.wmf и имеющая в указанной окрестности производную dzag27.wmf, может быть представлена следующим рядом:

dzag28.wmf (11)

полученным посредством оператора

dzag29.wmf (12)

На основе вышеуказанного утверждения можно сформулировать метод инверсии функции распределения в общем виде.

Положим, что функция F(x) есть функция распределения, отображающая значение x в вероятность P, а также имеется некоторая точка области существования случайной величины X0, в которой указанная функция принимает какие-либо значения

dzag30.wmf,

где плотность распределения f(x0) ≠ 0. Тогда, на основании вышеуказанного утверждения, покажем, что

dzag31.wmf (13)

есть обратная функция квантилей [3, c. 480].

Причем обязательным условием существования (13) является то, что функции F(x) аналитическая и производная dzag32.wmf не равна нулю.

Очевидно, что сходимость рядов является необходимым условием использования соотношения (13). Опираясь на условия сходимости функциональных рядов, возможно найти такое число β > 0, при котором ряд (13) сходится абсолютно для

dzag33.wmf

Определим на основании признака Даламбера ограничение β, найдя предел [4, c. 80]:

dzag34.wmf

= dzag35.wmf

Причем очевидно, что данный оператор преобразования имеет следующее свойство:

dzag36.wmf dzag37.wmf

Откуда условие сходимости ряда (13) уже будет иметь вид

dzag38.wmf

Следовательно,

dzag39.wmf

или

dzag40.wmf

Конечное ограничение (3) имеет вид

dzag41.wmf

Для решения конкретной задачи нужно преобразовать значение β в левой части при заданном законе распределения, взять dzag42.wmf, для которого во всей области существования случайной величины выполняется сходимость ряда (13), а чтобы получить обратные функции распределения одномерной случайной величины, необходимо следующее:

- выбрать точку x0 из такой области, в которой можно разложить функции распределения в ряд (13);

- далее вывести зависимость для оператора (12) в явном виде;

- на основании (11) вывести в явном виде соотношение (13).

Используя характеристические функции и применяя операторные ряды, можно сформировать квантильные функции [5, c. 56].

Видно, если интегрируемая по всей действительной оси характеристическая функция φ(t) функции распределения F(x) имеет вид

dzag43.wmf,

то на основании формулы обращения

dzag44.wmf.

Оператор преобразования D в соотношении (13) может быть записан в виде

dzag45.wmf (14)

Выберем опорную точку x0 = 0. Очевидно, если x0 = 0, то на основании свойств характеристических функций φ(t) функции распределения dzag46.wmf может иметь вид [6, c. 62]

dzag47.wmf.

Далее, последовательно применим оператор (14). А затем, после вычислений, получим

dzag48.wmf dzag49.wmf dzag50.wmf

Для использования в конкретных случаях целесообразно результат записать в следующем виде:

dzag51.wmf

dzag52.wmf,

dzag53.wmf

dzag54.wmf

dzag55.wmf и т.д.

Отсюда можно утверждать, что, не применяя формулы обращения, возможно получить для случайной величины X квантильной функции в следующем виде:

dzag56.wmf, (15)

причем, при условии задания распределения случайной величины φ(t).

Отметим соответствие суммы не имеющих зависимость случайных величин и характеристической функции, равной произведению их характеристических функций. Это следует из мультипликативного свойства х.ф. Отсюда видно вполне эффективное применение (15), без необходимости строить функции распределения сумм случайных величин.

Приведем пример с использованием рассмотренной процедуры построения квантильных функций [7, с. 1083]. Пусть Zn обозначает сумму случайного числа нормальных величин. Тогда х.ф. Zn имеет вид

dzag57.wmf

где dzag58.wmf

Можно утверждать, что

dzag59.wmf

dzag60.wmf

dzag61.wmf и т.д.

Отсюда сумма случайного числа случайных величин Zn, на основании (15), может иметь вид

dzag62.wmf

dzag63.wmf

где dzag64.wmf