Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

АДАПТИВНЫЙ ПОДХОД К НЕЙРОННОМУ УПРАВЛЕНИЮ ОДНИМ КЛАССОМ АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ

Мухопад Ю.Ф., Пашков Н.Н., Сизых В.Н.
Рассматривается задача нейронного управления физическим объектом с параметрической неопределенностью. Предлагается новая архитектура организации технологического процесса через параллельное взаимодействие технологических модулей – однослойных нейронных сетей. На основе метода скоростного градиента разработан нелинейный алгоритм оперативного обучения и управления. Инициализация параметров нейронной сети выполняется по условию устойчивости нулевого решения уравнений объекта.
технологический процесс
нейронная сеть
управление
адаптация

В последнее время появилось большое число работ, посвященных разработкам многослойных нейронных сетей (НС). НС доказали свою эффективность при управлении сложными объектами [5, 6, 9, 10]. Дальнейшие перспективы нейронного управления [10] связаны с указанием параллелей между классической теорией адаптивного управления и подходов к построению нейрорегуляторов (НР) на основе НС. НС являются нелинейными системами, пригодными для решения практических задач управления, принципиально связанных с наличием нелинейных характеристик. НС позволяют устранить количественную неопределенность информации, поскольку после обучения могут за счет интерполяции (эмуляции) и экстраполяции (адаптации и прогнозирования) входо-выходных характеристик физического объекта выдавать верное решение для получения новой информации, не входящей в обучающий набор.

Аналогичную функцию выполняют традиционно используемые адаптивные системы. Адаптивный подход предполагает наличие линейной математической модели, основанной на физических явлениях, и оценку неизвестных параметров, включенных в эту модель.

Основной недостаток НС, организованных по последовательной схеме, - медленная сходимость алгоритмов адаптации (обучения и управления) в реальном времени - существенно ограничивает практическое применение нейронного управления. Существующие схемы нейронного управления оказываются квазиадаптивными с настройкой вне темпа процессов управления либо, будучи, по сути, адаптивными, недостаточно обоснованными из-за сложностей анализа работоспособности, устойчивости, качества и достижения целей управления [7].

Предлагаемый в работе подход к совмещенному синтезу (синтезу в реальном или в ускоренном времени) нейрорегуляторов технологических процессов направлен на преодоление этих сложностей.

1. Постановка задачи нейронного управления

Рассмотрим технологический процесс (ТП), состоящий из l взаимодействующих технологических модулей (ТМ). ТМ имеют общую, известную заранее структуру, и отличаются только переходами от j-го входа к i-му выходу ТП. Полагаем, что каждый ТМ выполняет определенную функцию сложного ТП и описывается последовательным соединением линейной дифференциальной системы (линеаризованной на интервале дискретизации (наблюдения) нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений) объекта и нелинейного безынерционного преобразователя (НБП) - однослойного персептрона (искусственного нейрона). Такие ТМ образуют класс абсолютно устойчивых нелинейных систем [2].

Уравнения j-го ТМ (f) имеют вид

f (1)

f (2)

f (3)

Индекс j для краткости записей переменных и параметров системы уравнений (1)-(3) опускаем. В дальнейшем полагаем, что система (1) должна удовлетворять требованиям существования и единственности решения; n-вектор неконтролируемых возмущений f.

В формулах (1)-(3) обозначено: f - n-мерный вектор состояния j-го ТМ, f;

u - управление j-м ТМ (измеряемый скалярный вход системы (1)), f;

z - наблюдение j-м ТМ (измеряемый скалярный выход системы (1)), f;

A - постоянная параметрически неопределенная матрица Якоби размерности n×n;

f - постоянный вектор настраиваемых параметров НБП размерности n×1;

f - вектор-столбец задаваемых параметров наблюдения (регрессии) размерности 1×n;

L - скалярный параметрический регулятор;

σ(t, x, z) - скалярная функция активации (ФА) однослойного персептрона, получаемая нелинейным преобразованием j-го управления u и j-го наблюдения z.

Структура однослойной нейронной сети, параметрически адаптированной под j-й ТМ, представлена на рис. 1.

1

 Рис. 1. Структура однослойной нейронной сети, параметрически адаптированной под j-й ТМ

На рис. 1 сплошными линиями обозначена структура однослойной НС с нелинейностью в «прямой цепи» (прототип - структура адаптивного регулятора (рис. 16, а) работы [5, с. 351]). Предлагаемая структура отличается от традиционной схемы адаптивного регулятора (АР) наличием НБП и положительной жесткой обратной связью по скалярному выходу . Данная структура НС добавлена пунктирной линией и сумматором - «цепью внутренней обратной связи» по скалярному входу (прототип - структура адаптивного регулятора (рис. 16, б) работы [5, с. 351]), которой соответствуют модифицированные уравнения (1) j-го ТМ

f (1*)

Дифференциальные уравнения (1*) описывают широкий класс объектов с неопределенностью и позволяют обособить разрывные системы управления в новый класс интеллектуальных систем ассоциативной адаптации [3].

ФА определяет архитектуру НС. Однозначных рекомендаций по выбору ФА в настоящее время не существует. В режиме обучения of-line наиболее эффективен алгоритм обратного распространения ошибки сигнала и следующие ФА: гиперболическая тангенциальная, линейная и логическая сигмоидальная функции активации [6, 9].

В режиме on-line (оперативное обучение и управление), когда НС работает в реальном времени и выполняет функции адаптивного регулятора, будем полагать, что ФА удовлетворяет условиям [1]

f (4)

где f, f, f, f, ff - корректируемые на интервалах наблюдения нечеткие коэффициенты, определяющие перераспределение сигналов от входа к выходу и от выхода к входу (режим работы НС); α, β - весовые коэффициенты соответствующей физической размерности (ед.) при переменных в правой части ограничений на σ.

Замечание 1. ФА для простоты анализа считаем безынерционной функцией, то есть принимаем f. Она не непрерывна по u и z, имеет разрывы: u = 0, z = 0. Будем считать их изолированными, а ФА в точках разрыва - стационарной: f. Решения уравнений (1) в точках разрыва в обычном смысле может не существовать, и под словом «решение» понимается обобщенное решение по А.Ф. Филиппову [5].

НБП Bs для j-го ТМ в теории НС и нечетких множеств называется однослойным персептроном с нулевым смещением или фаззификатором, вектор-строка cT - регрессором или дефаззификатором [7]. НБП B(u + σ) (формула (1*)) определяет однослойный персептрон с ненулевым смещением.

При адаптивном подходе считается, что существует устойчивая внутренняя структура физического объекта [5], но неизвестны его параметры (коэффициенты матрицы A). В описании j-го ТМ присутствует и отделима линейная часть с передаточной функцией W(p) (объект) и нелинейность с характеристикой σ(⋅). Поэтому коэффициенты передаточной функции W(p) неизвестны, а относительно нелинейности указаны частичные свойства характеристики σ(⋅). Кроме того, неизвестен вектор B настраиваемых весовых коэффициентов однослойного персептрона.

Требуется осуществить оперативное управление j-м ТМ с помощью адаптивного параметрического нейрорегулятора L.

В основу предлагаемого подхода положена параллель со схемой адаптивного управления с самонастройкой: НС настраивает параметры управления, задающие работу обычного контроллера, таким образом, чтобы выходной сигнал j-го ТМ поддерживался как можно ближе к желаемому: . Такое управление j-м ТМ называется стабилизирующим [5].

Задача синтеза адаптивного параметрического нейрорегулятора решается в три этапа:

1) исследуется выбранный класс нелинейных систем на устойчивость;

2) синтезируется стабилизирующее управление u, обеспечивающее цель адаптации: f;

3) по условиям устойчивости инициализируются параметры НС.

2. Устойчивость системы

Устойчивость рассматривается как свойство свободного движения системы (1) после начального отклонения ее, вызванного какими-либо причинами. Невозмущенное движение f определяется нулевым решением системы (1).

Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом [4].

Определение 1. Нулевое решение системы (1) устойчиво, если при заданном сколь угодно малом ε >0 существует такое δ > 0, зависящее от ε, что при начальных условиях f, для решения на интервале 0 < t < ∞ выполняется условие f.

Если условия определения 1 соблюдены и выполняется условие f, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Если условие f выполняется для любых начальных условий x(0), то нулевое решение системы (1) устойчиво в целом. Асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1) в целом при любом характере нелинейности внутри определенного класса определяет понятие абсолютной устойчивости. На выполнение условия f на интервале 0 < t < ∞ налагаются дополнительные требования к характеру переходных процессов внутри трубки f : колебательность, экспоненциальность и др. Будем считать эти процессы экспоненциальными.

Определение 2. Нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво в классе нелинейностей (4), если найдутся константы C и ε > 0, такие, что

f

при определенных начальных условиях x(0), f - эвклидова норма (длина) вектора (⋅).

Определение 3. Нулевое решение системы (1) абсолютно экспоненциально устойчиво в классе нелинейностей (4), если найдутся не зависящие от конкретного вида функции s константы C и ε > 0, такие, что

f

для любых начальных условий x(0), f - эвклидова норма (длина) вектора (⋅).

По аналогии с работой [1] выдвинем следующие гипотезы.

Гипотеза 1. Для абсолютной устойчивости нулевого решения системы (1)-(3) в классе нелинейностей (4) необходимо и достаточно, чтобы эта система была асимптотически устойчива при

f

для любых f, f, f, f.

Гипотеза 2. Для достижения цели адаптации f дифференциальной системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ее нулевое решение было устойчиво в классе нелинейностей (4).

Нетрудно видеть, что устойчивость в целом системы (1) предполагает достижение цели адаптации и наоборот. Допущение f позволяет говорить об абсолютной, а не об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1).

В работе [2] показано, что гипотезам, близким к сформулированным, удовлетворяет система любого порядка, если ее импульсная функция положительна. Тогда задача данного класса абсолютно устойчивых систем сводится к определению эффективных критериев положительности таких функций.

Передаточная функция (ПФ) линейной части системы (1)-(3) от входа σ к выходу z (см. рис. 1) равна

f

Здесь I - единичная матрица размера n×n;

f  - полиномы для определения полюсов и нулей ПФ W(p).

Обозначим через p1, ..., pn корни характеристического полинома P(p) (полюса ПФ), а через g(t) - импульсную (весовую) функцию

f (5)

Теорема 1. Если при неотрицательной импульсной функции (g(t) ≥ 0 при t ≥ 0) нулевое решение системы (1)-(3) устойчиво в целом, то для достижения цели адаптации f необходимо и достаточно выполнение одного из двух условий в классе нелинейностей (4):

а) матрица A должна быть гурвицевой (f);

б) нулевое решение должно быть устойчивым

f

или

f (6)

Доказательство теоремы. Необходимость условий теоремы показана выше. Докажем теперь достаточность этих условий.

Решение системы (1) запишем в интегральной форме Коши

f

Отсюда следует, что доступный наблюдению сигнал равен

f

В последней формуле обозначены: f - реакция системы (1)-(3) на начальные условия x(0);

f (7)

- импульсная (весовая) функция системы (1)-(3).

ФА δ(⋅) выписывается с учетом правой части ограничений (4)

f
f, f. (8)

Тогда, учитывая неотрицательность импульсной функции и неравенства (4), имеем:

f

По свойству интегрального оператора в заданном классе функций [2] можно утверждать, что f, где Z(t) - решение уравнения

f

Применим преобразование Лапласа для функций Z(t), f соответственно

f

или

f (9)

В операторном уравнении (9) зависимость наблюдения от параметров линейной части и управления системы (1)-(3) в общем случае довольно сложная. Однако формула (9) существенно упростится, если принять во внимание уравнение регулятора (3)

f (10)

Переходя в формуле (10) от изображений к оригиналам функций z(t), ψ0(t) с учетом выражения для импульсной функции (7), получим:

f (11)

Из сравнения формул (2) и (11) находим аналитическое выражение для вектора состояния j-го ТМ

f (12)

Анализ решения (12) системы (1) - (3) показывает, что достижение цели адаптации f достигается, если выполняются условия а) или б) теоремы. Теорема доказана.

Теорема 2. Если при неотрицательной импульсной функции (g(t) ≥ 0 при t ≥ 0) матрица f гурвицева и корни характеристического полинома управления имеют особенности в левой полуплоскости, то нулевое решение уравнений (1*), (2), (3) абсолютно экспоненциально устойчиво в классе нелинейностей (4). И, наоборот, если g(t) ≥ 0 при t ≥ 0, нулевое решение уравнений (1*), (2), (3) экспоненциально устойчиво, то матрица A гурвицева, если гурвицев полином U(p) управления u.

Доказательство теоремы 2. Решение уравнений (1*) в интегральной форме Коши имеет вид

f

Тогда выходной сигнал z равен

f

Аналогично доказательству теоремы 1, учитывая неотрицательность импульсной функции и неравенства (4), получим:

f (13)

Решение уравнения, представленного правой частью неравенства (13), записывается в виде

f (14)

Через преобразование Лапласа для функций Z(t), f получим:

f

Последняя формула с учетом уравнения регулятора (3) принимает вид

f (15)

Переходя от изображений к оригиналам функций в формуле (15), имеем:

f

Интеграл по контуру Г1 идентичен интегралу по контуру Г в теореме [2], где доказано, что особенности изображения свободной составляющей решения - реакции системы (1*), (2), (3) на начальные условия ψ0(p) и передаточной функции f лежат в левой полуплоскости.

Покажем теперь, что интеграл по контуру Г2 оставляет слева все особенности подынтегральной функции, а полином P(p) - LQ(p) соответствует замкнутой параметрическим регулятором L системе (1*).

Для этого убедимся, что

f

где f - гурвицева матрица системы (1*), замкнутой традиционным АР, I - единичная матрица размера n×n.

Воспользуемся известным из теории матриц [5] тождеством

f (16)

которое справедливо при f

При указанных p сходится ряд

f (17)

Из формул (16), (17) имеем:

f (18)

Из выражения (18) выпишем передаточную функцию k + 1 члена ряда

f (19)

Тогда из формул (18), (19) следует:

f (20)

что и требовалось показать.

Так как A* - гурвицева матрица, то и полином P(p) - LQ(p) замкнутой параметрическим регулятором L системы (1*) гурвицев.

Таким образом, для того чтобы ФА u + σ(t, z, u) доставляла асимптотическую устойчивость системе (1*), достаточно, чтобы полином U(p) управления u в классе нелинейностей (4) был гурвицевым. Теорема доказана.

Следствие теоремы 2. Для достижения цели адаптации f в системе (1*), (2), (3) необходимо и достаточно выполнение одного из двух условий в классе нелинейностей u + σ(t, z, u):

а) матрица f должна быть гурвицевой;

б) условие устойчивости нулевого решения должно совпадать с условием устойчивости нулевого решения уравнений (1)-(3) теоремы 1.

Действительно, из сравнения формул (10), (15), (20) можно заключить, что при переходе к оригиналам в выражении (15) аналитическое решение системы (1*), (2), (3) при ограничениях вида (4) имеет вид

f (21)

3. Настройка нейронной сети по функции активации

Для синтеза стабилизирующего управления в режиме on-line наибольший интерес представляет выполнение условия б) теоремы 1 или следствия теоремы 2 - условия устойчивости нулевого решения, поскольку условие гурвицевости матриц A или f известной структуры, но с неизвестными коэффициентами, вносит параметрическую неопределенность в решение задачи построения нейронного регулятора. В режиме of-line условие а) разрешимо, но с привлечением дополнительных, достаточно трудоемких в вычислительном плане процедур параметрической идентификации или робастной стабилизации, построенных на основе матричных уравнений или неравенств Ляпунова [5].

Поэтому более подробно выясним, какой физический смысл имеют задаваемая формулой (8) функция активации и условие б) теоремы.

Нетрудно заметить, что ФА (8) содержит два слагаемых: первое слагаемое соответствует обратному (инверсному) распространению сигнала, второе слагаемое - его прямому распространению.

Так как наблюдение z и управление u в архитектуре встроенной в обычный адаптивный регулятор однослойной НС - скалярные функции, а особые точки считаются изолированными, то ФА (8) для j-го ТМ равна

f
f, f. (22)

Зависимость σ(⋅) = σ(L) при фиксированных f представлена на рис. 2.

p

Рис. 2. Зависимость функции активации от значений регулируемого параметра при различных f и α = 1 (ед.), β = 1 (ед.)

В задачах управления параметр f рекомендуется связывать с интервалом наблюдения выходного сигнала z, который разбивается на s периодов дискретизации T0: f. В каждый период дискретизации выполняется несколько обучающих итераций. В самом простом случае можно принять период дискретизации равным периоду корректировки обучающей итерации: T0 = TL и связать при t0 = 0 период наблюдения выходного сигнала с реальным временем:

f

Простой анализ выражений (8), (22) показывает, что нейронная сеть функционирует в трех режимах:

А. Если f, то выполняется инициализация параметров НС; сеть предварительно обучается (f) по алгоритму обратного распространения ошибки сигнала (в нашем случае сигнала z (z* = 0).

Б. Если параметр f, то в реальном времени происходит дальнейшее обучение нейронной сети и одновременно нейро-нечеткое управление параметрически неопределенного физического объекта известной структуры
(см. рис. 1).

В. Если параметр f, то процесс обучения сети заканчивается, и НС работает как обычный адаптивный регулятор (f).

Условия А-В представляют собой систему продукционных правил (продукций) и реализуются в блоке принятия решений децентрализованного управления технологической системой с нечеткой структурой взаимосвязей [3].

4. Параметрический синтез стабилизирующего управления методом скоростного градиента

Подстройка НС под эталонную модель (желаемый выходной сигнал) j-го ТМ может осуществляться различными градиентными методами: аналитического конструирования, обратных задач динамики, синергетической теории управления, теории инвариантности, традиционного адаптивного управления. В качестве эффективного алгоритма обратного распространения в статье предлагается использовать метод скоростного градиента (МСГ) [3].

Замечание 2. МСГ был предложен А.А. Красовским [5]. Доказательство общих схем алгоритмов управления по МСГ выполнено А.Л. Фрадковым[8]. МСГ, по существу, является градиентным методом наискорейшего спуска в пространстве параметров.

Формулировка задачи синтеза стабилизирующего управления по МСГ сводится к следующему.

Состояние j-го ТМ - f, управление u - скалярное, наблюдается скалярная величина f. Эволюцию j-го ТМ описывает дифференциальная система (1*), где измеряемая кусочно-дифференцируемая функция σ(t, z, u) является аддитивной добавкой к скалярному управлению u и подчинена ограничению вида (4), B - постоянный n-вектор настраиваемых входных параметров. Управление линейно зависит от наблюдаемой величины: u = Lz.

Матрица A и вектор B заранее неизвестны. Вектор c, учитывающий «вклады» переменных состояния x в наблюдение z, задается.

Требуется синтезировать параметрический регулятор L = L(t).

Цель управления - выполнение условия f - соответствует минимизации в пределе локального функционала f, где H - положительно определенная, симметрическая матрица размерности n×n.

Для синтеза нелинейного параметрического регулятора применим схему МСГ в дифференциальной форме [8].

Для этого определим полную производную от локального функционала

f

и вычислим градиент по параметру L

f

По схеме МСГ синтезируемый в дифференциальной форме нелинейный скалярный регулятор имеет вид:

f (23)

Для системы (1*), (2), (3) при ограничениях на ФА типа (4) алгоритм адаптации (обучения) j-го ТМ записывается в виде

f (24)

где γ > 0 - положительное число, определяющее скорость убывания градиента по параметру L.

По постановке задачи процедура управления должна зависеть только от наблюдаемой величины z (см. рис. 1). Поэтому в (24) потребуем соблюдения равенства

 HB = c. (25)

Тогда с учетом того, что f, в окончательном виде получим алгоритм адаптации j-го ТМ

f (26)

где ff- параметры, определяющие режим работы НС.

5. Инициализация начальных условий

Реализация условия устойчивости нулевого решения уравнений j-го ТМ (условие б) теоремы 1 или следствия теоремы 2) для достижения цели адаптации f сводится к инициализации начальных условий алгоритма адаптации (26).

Воспользуемся равенством (25). Матрицу H в локальном функционале J и в формуле (25) рекомендуется выбирать таким образом, чтобы выполнялось неравенство [5, с. 331]

f (27)

где f - задаваемая при некотором c = c* , желаемая гурвицева матрица замкнутой регулятором L системы (1*), (2), (3). Матрица A* может быть предварительно идентифицирована (эмулирована в НС) по экспериментальным данным вход-выходных характеристик замкнутого линейным регулятором физического объекта.

Неравенство (27) соответствует второй лемме Ляпунова об устойчивости движения и указывает класс технических систем, который алгоритмом адаптации приводится к цели. Этот класс полностью определяется через параметры алгоритма.

Инициализация начальных условий алгоритма адаптации (26) сводится к следующему.

1. Используя пакет Mat Lab Toolbox LMI, методом линейного программирования решаем систему матричных неравенств Ляпунова (27) и определяем матрицу H.

2. Задаваясь весами c = c* выходных сигналов f, из формулы (25) вычисляем параметры вектора B НБП: f.

3. Применяя условие устойчивости б) теоремы 1, определяем начальное условие L(0) алгоритма адаптации (26) f:

f

В последующем начальные условия алгоритма адаптации (26) уточняются в реальном времени с шагом, равным периоду дискретизации (интервалу наблюдения) выходного сигнала z.

Альтернативный путь предварительной инициализации параметров НС по алгоритму обратного распространения - использование пакета Neural Toolbox среды Mat Lab.

Дальнейшее оперативное обучение и управление j-м ТМ производится по алгоритму адаптации (26) f. При f процесс обучения НС заканчивается и НС работает как обычный АР.

Заключение

Таким образом, в статье на основе организации параметрического управления по методу скоростного градиента разработан эффективный алгоритм адаптации, позволяющий:

1) ускорить сходимость нейро-нечеткого управления за счет обучения нейронной сети в реальном времени;

2) применить гибридные сети, в которых искусственные нейронные сети связываются со структурами адаптивного управления на основе традиционных технологий;

3) осуществить предварительное обучение и применить эффективные процедуры инициализации параметров нейронной сети.

Для практической реализации алгоритма адаптации на базе однослойной нейронной сети достаточно знаний о порядке дифференциальных уравнений, описывающих физический объект с устойчивой структурой взаимосвязей между ее элементами.

Список литературы

  1. Айзерман М.А. О сходимости процесса регулирования после больших начальных отклонений // А и Т. - 1946. - № 2-3. - С. 148-167.
  2. Гиль М.И. Об одном классе абсолютно устойчивых систем // А и Т. - 1983. - № 10. - С. 27-36.
  3. Пашков Н.Н., Мухопад Ю.Ф., Пунсык-Намжилов Д.Ц. Ассоциативный автомат децентрализованного адаптивного управления системой автономных вычислительных процессов // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск: НГТУ, 2009. - № 2 (35). - С. 201-206.
  4. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1988. - 256 с.
  5. Срагович В.Г Адаптивное управление. - М.: Наука, 1981. - 384 с.
  6. Управление в условиях неопределенности / под ред. проф. А.Е. Городецкого. - СПб.: Изд-во СПб ГТУ, 2002. - 398 с.
  7. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. Нейросетевые системы управления // Нейроконтроллеры и их применение / под ред. А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2002. - 480 с.
  8. Фрадков А.Л. Схема скоростного градиента и ее применение в задачах адаптивного управления // А и Т. - 1979. - № 9. - С. 90-101.
  9. Омату С., Халид М., Юсоф Р. Нейроуправление и его приложения. Кн. 2 // Нейроконтроллеры и их применение / под ред. А.И. Галушкина, В.А. Птичкина. - М.: ИПРЖР, 2000. - 272 с.
  10. Hunt K.J., Sbarbaro D., Zbikowski R., Gawthrop P.J. Neural Network for Control Systems - a Survey // Automatica. - 1992. - Vol. 28. - P. 1083-1112.

Рецензенты:

Данеев А.В., д.т.н., профессор, ФГОУ ВПО «Восточно-Сибирский институт МВД России», г. Иркутск;

Дунаев М.П., д.т.н., профессор, Иркутский государственный технический университет, г. Иркутск.


Библиографическая ссылка

Мухопад Ю.Ф., Пашков Н.Н., Сизых В.Н. АДАПТИВНЫЙ ПОДХОД К НЕЙРОННОМУ УПРАВЛЕНИЮ ОДНИМ КЛАССОМ АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ // Фундаментальные исследования. – 2011. – № 8-1. – С. 139-147;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=26802 (дата обращения: 15.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252