Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Илюхин А.А. 1 Шретер С.А. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова», Таганрог

Основная идея используемого в представленной работе метода построения решения нелинейной задачи теории упругих стержней состоит в сведении исходного уравнения равновесия Кирхгофа к системе из двух уравнений с соответствующей функцией гамильтонова типа. Функция Гамильтона в последующем подвергается нормализации в определенном числе членов. Подобное представление уравнения равновесия упругого стержня в гамильтоновой форме позволяет привлечь для решения задач статики гибких стержней аппарат гамильтоновой механики. Специфика задач механики гибких стержней состоит в том, что граничные условия в них задаются в нескольких точках оси стержня. И при аналитическом построении приближенного решения приходится вычислять постоянные интегрирования из граничных условий. А для этой цели полезно иметь явный вид обратного преобразования Биркгофа.

Статья в формате PDF

1134 KB

гамильтонов подход

преобразование Биркгофа

изгиб стержня

математическая модель

аэродинамические силы

1. Нелинейный анализ поведения механических систем / Г.В. Горр, А.А. Илюхин, А.М. Ковалев, А.Я. Савченко. – Киев: Наукова думка, 1984. – 288 с.

2. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. – Киев: Наукова думка, 1979. – 216 c.

3. Илюхин А.А., Ступко С.А. Приближенное решение задачи о равновесии пластинки на упругом стержне в потоке воздуха // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 242–246.

4. Илюхин А.А., Шретер С.А. Поведение пластинки на упругом стержне в аэродинамическом потоке // Научно-технический вестник Поволжья. – Казань, 2011. – Вып. 6. – С. 43–47.

5. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде. – М.: Изд-во Мос. ун-та, 1986. – 86 с.

Рассмотрим эксперимент по определению зависимости конечных перемещений точек упругого стержня от аэродинамических сил. К одному из концов стержня жестко прикреплена пластинка. Широко используемая в строительной механике и в курсах сопротивления материалов линейная теория упругого изгиба стержней, которая базируется на предположении о малости перемещений при деформации, дает линейную зависимость прогиба от внешних сил. Однако в случае больших перемещений при деформации линейная теория не позволяет адекватно физической задаче определять искомые зависимости. В технике встречаются конструкции, в которых стержень или тонкая полоска сильно изгибаются при работе материала в пределах упругости. Наряду с рассматриваемой задачей примерами таких конструкций могут служить различного рода плоские или ленточные пружины, механические датчики нелинейных зависимостей. В связи с этим весьма актуальной является задача определения зависимости больших перемещений при деформации стержня от внешних сил.

Цель работы: решив уравнение равновесия конструкции, установить зависимость между аэродинамическими силами и углом поворота пластинки (текущим углом атаки α_Т), и тем самым, построить математическую модель эксперимента в аэродинамической трубе.

Постановка задачи (рис. 1). Рассмотрим задачу об изгибе потоком воздуха упругого однородного стержня, жестко защемленного нижним концом, к верхнему концу которого жестко прикреплена абсолютно твердая пластинка. Предполагается, что поток воздействует только на пластинку, изгиб стержня происходит в одной плоскости. Силу воздействия потока  на пластинку представим в виде суммы двух векторов:

,

где - сила сопротивления, - подъемная сила, , . Для аэродинамических сил возьмем зависимости:

, ,

где ρ - плотность воздуха; α - угол атаки, , - единичный вектор, лежащий в плоскости пластинки. Функции s(α), p(α) - коэффициенты аэродинамических сил, зависят от формы и размеров пластинки и определяются экспериментально [5]. К стержню кроме силы  приложен момент:

где d(α) - расстояние от центра давления до точки крепления пластинки и стержня. Тогда уравнение равновесия Кирхгофа представленной системы примет вид:

(1)

Исследование равновесия тела на упругом стержне в потоке воздуха. Понизим порядок уравнения равновесия и выразим интеграл l(θ).

 (2)

(3)

где C - постоянная, определяемая начальными условиями.

Потребуем, чтобы точка перегиба совпадала с точкой крепления O. Это будет разделяющий случай между различными выпуклостями стержня. Тогда при l = 0, кроме условия θ = ψ, появляется еще одно граничное условие . Из (2) следует

(4)

Преобразуем l в выражении (3), одновременно сделав замену

?

(5)

Запишем дискриминант выражения, стоящего в квадратных скобках (5), и подставим вместо C его значение (4):

Рассмотрим ситуацию, когда D обращается в нуль. Это будет, если

Условие V > 0 означает, либо, p(α_T) > 0 и ctgψ < 0, либо p(α_T) < 0 и ctgψ > 0. Могут возникнуть следующие случаи:

1. Если 0 < α_T < 90°, то p(α_T) > 0. Следовательно 90° < ψ < 180°;

2. Если 90 < α_T < 180°, то p(α_T) < 0. Следовательно 0° < ψ < 90°;

3. Если α_T = 90°, 180°, то p(α_T) = 0. Следовательно ψ = 0,180°.

Выразив cos θ и sin θ через tg (θ/2) и подставив в выражении (5), получим интеграл, который при D = 0 примет вид:

(6)

Вычислив интеграл, входящий в формулу (6), получим зависимость l(θ):

где

Полученный интеграл - расходящийся интеграл, следовательно, случай, когда точка перегиба будет находиться в точке крепления O возникнуть не может.

Гамильтонов подход. Для преобразования уравнения (1) к системе двух уравнений Гамильтона поступим формально: выберем обобщенную координату θ (в качестве θ возьмем угол θ(l) наклона касательной оси стержня к оси ), укажем сопряженной координате импульс p_θ и приведем соответствующую такому выбору функцию Гамильтона. Получим систему двух уравнений Гамильтона с соответствующей функцией H в виде

(7)

(8)

Канонической заменой θ + δ, p_ζ = p_θ из системы (7) получим:

(9)

где

А функция Гамильтона (8) в канонических переменных будет иметь вид:

Система (9) допускает тривиальное решение ζ = 0, p_ζ = 0. Решение, отличное от тривиального, найдем методом нормальных форм. Получим нормализованную функцию Гамильтона, перейдем в ней к комплексно сопряженным каноническим переменным ,  причем необходимо учесть валентность такого преобразования . Здесь - новая функция Гамильтона, которая в переменных p и q имеет вид:

(10)

При отсутствии соответствующих резонансов в системе (9), функцию Гамильтона (10) каноническим преобразованием приведем к нормальной форме [1, 2]. В качестве канонического выберем преобразование Биркгофа с соответствующей порождающей функцией

Специальным выбором коэффициентов порождающей функции приводим функцию Гамильтона (10) к нормальному виду в переменных u и v

(11)

Система дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона (11) допускает общий интеграл r = uv = const, что дает возможность представить ее точное решение в явном виде

где

В результате получаем зависимость  и  от дуговой координаты l:

?

?

Откуда находим решение поставленной задачи:

Для определения постоянных интегрирования a и b воспользуемся граничными условиями, перепишем граничные условия в новых переменных  и .

где

Заменив уравнения системы для  и  приближенными и воспользовавшись граничными условиями, будем иметь нелинейную систему уравнений для нахождения a и b.

Обратное преобразование Биркгофа. Построенное решение задачи зависит от постоянных интегрирования a и b, и при подстановке граничных значений дает систему нелинейных алгебраических уравнений. Однако, когда известны значения исходных переменных при l = 0, нет необходимости решать нелинейную систему. Явный вид a и b можно получить, используя обратное преобразование Биркгофа [2, 4]:

Возвращаясь к исходным переменным, получим систему для нахождения неизвестных постоянных, где  и  вычисляются при l = 0:

В том случае, когда  и  не заданы одновременно в одной точке, необходимо решать нелинейную систему. Ее предлагается решать методом последовательных приближений [4]. Как показали вычисления в этом случае, каждый шаг итерации уточняет значение искомого угла на один знак после запятой.

Представление решения в виде отрезка ряда по скорости. Запишем уравнение равновесия (1) относительно изменения угла наклона касательной к оси стержня ν = θ - ψ

(12)

Граничные условия в задаче будут:

при l = 0: ν = 0;

при (13)

Предположим, что решение задачи (12), (13) представимо в виде степенного ряда по V:

(14)

Найдем зависимость угла атаки от скорости набегающего потока:

α_T = α₀ + ν_k.

Заменим уравнение (12) приближенным, и, подставив в (14), после группировки коэффициентов со степенями V получим уравнение:

,

где коэффициенты q_j:

(15)

?

?

Граничные условия к полученным дифференциальным уравнениям (15) примут вид

при l = 0: μ_n = 0, n = 1, 2, 3; пр  и l = L:   (16)

Имея дифференциальные уравнения второго порядка (15) и два граничных условия (16) на каждое из уравнений, можем найти коэффициенты μ_n ряда (14). Таким образом, найдена приближенная зависимость угла атаки от скорости набегающего потока:

.

Стоит отметить, что поток воздуха оказывает стабилизирующее воздействие на пластинку, если с ростом скорости потока угол атаки уменьшается [3, 4].

После проведения необходимых вычислений было произведено сравнение решений θ = θ(l), полученных разными методами. Все представленные графические зависимости θ = θ(l) были получены при следующих параметрах стержня, пластинки и потока: ρ = 1,293 кг/м³; ψ = 45°; α₀ = 30°; L = 0,3 м; d = 0,05 м. Пластинка рассматривалась абсолютно твердая прямоугольной формы, с размерами 0,1×0,3 м (большая сторона расположена вдоль потока). Стержень стальной, длиной L = 0,3 м, с прямоугольным сечением 0,006×0,003 м, меньшее из ребер сечения направлено по потоку.

На рис. 2 приведены графики решений θ = θ(l), полученные при указанных скоростях набегающего потока. На графиках пунктирной линией указано решение, полученное с помощью гамильтонова подхода, сплошной линией - в виде отрезка ряда по скорости набегающего потока. Для выяснения, какой из приближенных методов адекватнее описывает поведение построенной модели, было проведено численное решение методом rkf45 (Рунге-Кутта-Фельберга 4-5 порядка). Оно обозначено на рисунках линией «точка-тире». Из рис. 2 видно, что при малых скоростях потока (до 40-50 м/с), расхождение решения, полученного с помощью гамильтонова подхода и численного решения методом rkf45, достаточно мало (порядка 0,5-1,0 градуса).

а. V = 50 м/с

?

б. V = 70 м/с

?

в. V = 100 м/с

?

С ростом же скорости потока решения сильнее отклоняться друг от друга и при скорости V = 90...100 м/с разница решения θ(L) (на верхнем конце стержня) достигает уже 5-6 градусов. Это расхождение можно объяснить недостаточным количеством членов в разложении функции Гамильтона. На рисунках также продемонстрировано сильное расхождение, как при малых скоростях, так и при больших, решений, полученных с помощью отрезка ряда по скорости набегающего потока, с решениями гамильтоновым и численным методом. Это расхождение происходит из-за специфики самого метода «разложения в ряд по скорости», который при росте скорости очень быстро отклоняется от «истинного» решения. Из всего вышесказанного следует, что гамильтонов подход дает достаточно близкое к «истинному» решение, но при математическом моделировании заставляет каждое решение получать с помощью последовательных итераций, что не всегда удобно для реализации. Второй подход, через представление решения в виде отрезка ряда по скорости, дает аналитические формулы для всех решений, однако его применение целесообразно лишь при малых скоростях потока.

Данная статья написана при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель - Илюхин Александр Алексеевич.

Капустян С.Г., д.т.н., начальник отдела многопроцессорных информационно-управляющих систем, НИИ МВС имени академика А.В. Каляева, г. Таганрог.

Работа поступила в редакцию 19.03.2012.

Библиографическая ссылка