Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА БИОЛОГИЧЕСКИЕ ТКАНИ

Куликова И.В. 1 Малюков С.П. 1 Бростилов С.А. 2
1 ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»
2 ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»
Освещены вопросы разработки математической модели и алгоритма расчета распределения температуры в сложных многослойных биологических тканях под действием лазерного излучения. Модель основана на конечно-разностном методе и учитывает анизотропию оптических и тепловых параметров биологических структур. Модель является двумерной и нестационарной и позволяет моделировать взаимодействие различных типов лазера с биологическими тканями. Разработано программное обеспечение на основе полученных моделей с интерфейсом. Разработанное программное обеспечение было использовано для расчета воздействия лазерного излучения на биологические структуры. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными. Приводятся результаты моделирования воздействия двух типов лазеров эрбиевого (l = 2,94 мкм) и СO2 (l = 10,6 мкм) на биологическую структуру, состоящую из эмали и дентина.
лазерные биотехнологии
численное моделирование
температурное поле
1. Малюков С.П., Куликова И.В., Калашников Г.В. Моделирование процесса лазерного отжига структуры «кремний-стекловидный диэлектрик» // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Интеллектуальные САПР». – 2011. – № 7. – С. 182–188.
2. Плетнёв С.Д. Лазеры в клинической медицине. – М.: Медицина, 1996.
3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 784 с.
4. John D.B. Featherstone, Peter Rechmann, Daniel Fried. IR laser ablation of dental enamel // SPIE. – 2000. – Vol. 3910. – Р. 136–148.
5. Fried D., Shori R., Duhn C. Backspallation due to ablative recoil generated during Q−switched Er: YAG ablation of dental hard tissue // SPIE. – 1998. – Vol. 3248. – Р. 78–84.

На сегодняшний день невозможно представить жизнь современного человека без лазерных технологий, которые применяются в различных областях, таких, как медицина, машиностроение, электроника, связь и т.д. Лазерное излучение обладает рядом уникальных характеристик – монохромность, высокая степень временной и пространственной когерентности, малая расходимость луча, большая плотность мощности, а также возможность управлять ими. Использование лазерных технологий в медицине открывает новые возможности, начиная от эстетической медицины до сложного медицинского вмешательства, позволяет реализовать принципиально новые решения и использовать новые материалы, повышающие качество лечения. Лазерные биотехнологии можно разделить в зависимости от плотности мощности лазерного излучения на лазерную диагностику, лазерную терапию, лазерную хирургию или деструкцию биотканей, в основе которой лежит термический фактор. Кроме того, лазерные технологии имеют дело с живой материей, которая представляет собой многослойные сложные структуры, с различными тепловыми и оптическими свойствами, что приводит к необходимости учитывать анизотропию физических параметров тканей и гомеостаз живого объекта [2].

Разработка модели

Важнейшими параметрами, определяющими взаимодействие лазерного излучения с биотканиями, являются: режим облучения (непрерывный или импульсный), время и мощность, а также длина волны, которая определяет интенсивность поглощения излучения тканью.

Распределение температуры является одним из основных параметров в лазерных биотехнологиях. Термические свойства биотканей определяются ее многослойной структурой, теплопроводностью и теплоемкостью. Поглощенная энергия лазерного излучения вызывает в облученном участке локальное повышение температуры. При этом часть тепла отводится из зоны обработки за счет кондукции в окружающие области, вызывая зачастую нежелательный нагрев. Расчет режима обработки позволяет минимизировать нагрев окружающих тканей.

В настоящее время все более широко используются системы инженерного анализа для постановки численных экспериментов и нахождения оптимальных параметров в исследуемой области. Это позволяет значительно сократить время и стоимость разработки и исследования, рассчитать оптимальные технологические параметры. Разработка модели позволит найти оптимальные режимы лазерной обработки биологических тканей вплоть до расчета индивидуального режима для каждого слоя и минимизировать тепловое воздействие на окружающие ткани.

Распределение температуры в анизотропном твердом теле описывается уравнением теплопроводности, которое в операторной форме имеет вид [3]:

Eqn62.wmf (1)

где с – удельная теплопроводность; ρ – плотность; Т – температура в структуре;
t – время; ∇ – оператор Набла; k – коэффициент теплопроводности; q – источник
тепла.

Источником тепла является лазерное излучение, которое частично отражается от обрабатываемей поверхности, поглощается материалом и проникает в него. Затухание лазерного луча за счет поглощения его энергии телом описывается законом Ламберта [3]:

Eqn63.wmf (2)

где qleser(y) – плотность мощности лазерного луча с учетом затухания; q0 – плотность мощности лазерного луча; R – коэффициент отражения; α – поглощательная способность среды; y – координата направленная в глубь материала от обрабатываемой поверхности.

Излучательный и конвекционный процессы отвода тепла с обрабатываемой поверхности будут описываться следующими выражениями [3];

Eqn64.wmf (3)

Eqn65.wmf (4)

где ε – коэффициент излучения; σ – постоянная Стефана-Больцмана; h – конвективный коэффициент; qrad, qconv – плотность теплового потока за счет излучения и конвекции соответственно; T0 – температура окружающей среды.

Суммарный тепловой поток qconb с поверхности будет описываться выражением:

Eqn66.wmf (5)

где Eqn67.wmf – суммарный коэффициент теплопередачи.

В модели лазерной обработки биотканей учтены следующие тепловые потоки: поглощенная телом энергия лазерного луча, конвективный отвод тепла и излучение с поверхности. На рис. 1 схематично показаны потоки тепла, которые учитываются в разрабатываемой модели. Был взят двумерный случай, поскольку распределение температуры по z координате будет аналогично x, а уменьшение размерности позволит сократить время расчетов.

рис_107.wmf

Рис. 1. Тепловые потоки
в разработанной модели

Для двумерного нестационарного случая и анизотропной среды в частных производных уравнение (1) будет иметь следующий вид:

Eqn68.wmf (6)

Граничные условия с учетом уравнения Фурье [2] будут следующими:

Eqn69.wmf (7)

для верхней грани, параллельной оси у;

Eqn70.wmf (8)

для нижней грани, параллельной оси у, и для граней, параллельных оси x.

Уравнение (6) с учетом граничных условий (7) и (8) не может быть решено аналитически. Поэтому для ее решения был использован численный метод [3].

Исходя из геометрии задачи (см. рис. 1), необходимо создать прямоугольную координатную сетку, равномерную по оси x и неравномерную по оси y. При выборе шага по оси x необходимо учитывать ширину лазерного луча, чтобы минимальный шаг был меньше его ширины. По оси y необходима неравномерная сетка, поскольку обрабатываемые слои в биологических структурах имеют различную толщину от десятков микрон до сантиметров.

Введение координатной сетки предполагает, что значения всех переменных и их производных рассматриваются только в узлах этой сетки. Поэтому все переменные заменятся сеточными функциями, а все производные – конечными разностями.

На рис. 2 представлены сеточная модель и направление осей координат.

Исходная система дифференциальных уравнений в частных производных (6), с учетом граничных условий (7)–(8) и выражения для лазерного излучения (2) на сетке, представленной на рис. 2, преобразованная в систему алгебраических уравнений, имеет вид [1]:

Eqn71.wmf (9)

для внутренних точек области i = 2...I – 1, j = 2...J – 1, n = 2...N, .

рис_108.wmf

Рис. 2. Модель с направлением осей координат

Внутренний источник тепла равен поглощенному теплу и будет описываться следующим выражение [1]:

Eqn72.wmf (10)

где Eqn73.wmf – мощность лазерного луча в соответствующих точках координат и во времени, которая в конечно-разностном виде будет иметь вид:

Eqn74.wmf (11)

Граничные условия с учетом наложенной сетки будут следующими:

Eqn75.wmf (12)

где Eqn76.wmf

Eqn76.wmf

при i = 1...I, j = 1, n = 2...N;

Eqn77.wmf (14)

при i = 1...I, j = J, n = 2...N;

при i = 1, j = 2...J – 1, n = 2...N;

при i = I, j = 2...J – 1, n = 2...N.

Начальные условия в конечно-разностном виде будут иметь вид:

Eqn78.wmf (15)

при i = 1...I, j = 1...J, k = 1.

Выражения (9)–(15) представляют собой систему алгебраических уравнений, которая в общем виде будет следующей:

AT = B, (16)

где T – вектор-столбец переменных длиной M = I·J·N; A – квадратная матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размерностью M×M; B – вектор-столбец свободных членов.

Для получения адекватного решения количество точек должно быть более тысячи (I > 10, J > 10, N > 10). Для решения СЛАУ такой размерности был использован метод Якоби [1]. Были разработаны программное обеспечение и интерфейс пользователя, окно которого представлено на рис. 3.

Результаты моделирования

На рис. 4 приведены результаты моделирования распределения температуры в биологической структуре, состоящей из эмали толщиной 20 мкм и дентина при прохождении эрбиевым (l = 2,94 мкм) и СO2 (l = 10,6 мкм) лазерами c оптическими и тепловыми параметрами, приведенными в таблице [4, 5].

рис_109.tif

Рис. 3. Окно интерфейса программы для расчета распределения температуры
в биологических структурах

арис_110.wmfбрис_111.wmf

Рис. 4. Распределение температуры в структуре эмаль дентин
при обработке лазером с длиной волны l = 2,94 мкм и l = 10,6 мкм

Оптические и тепловые параметры дентина и эмали

 

C,
Дж/(кг·К)

k,
Вт/(м·К)

ρ,
кг/м3

Коэффициент отражения

Коэффициент экстинкции, см-1

l = 2,94 мкм

l = 10,6 мкм

l = 2,94 мкм

l = 10,6 мкм

Эмаль

970

1

2950

0,05

0,49

800

800

Дентин

1430

1

2180

0,05

0,49

2400

540

Результаты моделирования совпадают с экспериментальными данными [5, 6] и показывают, что длина волны лазера существенно влияет на режим обработки биотканей, так для СO2 лазера глубина теплового проникновения в 1,5 раза больше (рис. 4), чем для эрбиевого лазера, который зачастую еще называют холодным
лазером.

Заключение

Разработанная модель, описывает процесс взаимодействия лазерного излучения с биологическими тканями и позволяет моделировать процессы лазерной обработки для различных типов лазера.

Разработанная модель на основе конечно-разностного метода и программное обеспечение на ее основе учитывает следующие особенности взаимодействия лазерного излучения с биотканями:

– сложную многослойную структуру биологических тканей;

– отражение лазерного излучения от поверхности;

– затухание лазерного луча в структуре;

– конвективную и излучательную составляющие при процессе охлаждения поверхности;

– зависимость оптических и тепловых свойств от типа ткани, входящего
в структуру.

Программное обеспечение с разработанным интуитивно понятным интерфейсом позволяет проводить численные эксперименты и рассчитывать оптимальные режимы лазерной обработки биологических структур.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (Гос. соглашение № 14.А18.21.0126) в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.

Рецензенты:

Рындин Е.А., д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник ЮНЦ РАН, г. Ростов-на-Дону;

Жорник А.И., д.ф.-м.н., профессор кафедры теоретической, общей физики и технологии ФГБОУ ВПО ТГПИ, г. Таганрог.

Работа поступила в редакцию 16.10.2012.


Библиографическая ссылка

Куликова И.В., Малюков С.П., Бростилов С.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА БИОЛОГИЧЕСКИЕ ТКАНИ // Фундаментальные исследования. – 2012. – № 11-2. – С. 425-429;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=30551 (дата обращения: 12.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074