Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЯДРА ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА, СЛАБО ИНВАРИАНТНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

Ибрагимов У.М. 1 Оразов И. 1
1 Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова
Работа посвящена исследованию вопроса о существовании непустого ядра живучести выпуклого замкнутого множества, слабо инвариантного относительно системы со сосредоточенными параметрами. Рассматривается управляемая система, в правой части которой в аддитивной форме находится управление. Параметр управления принимает значения из непустого выпуклого компактного подмножества векторного пространства. При этом область управления является выпуклым компактным многогранником. Вводится понятие – «сильно и слабо инвариантные множества» относительно системы, физический смысл которых заключается в том, чтобы по возможности дольше «удержать» объект в желаемом состоянии с помощью управления им. При этом здесь удержание объекта понимается не в геометрическом смысле, а в смысле удержания усредненного значения относительно объема объекта. Получены необходимые и достаточные условия для существования ядра выпуклого множества области выживания относительно линейной управляемой системы. Приведенные условия отличаются от ранее полученных результатов.
оптимальное управление
инвариантные множества
ядро живучести
1. Ибрагимов У.М. Выяснение слабой инвариантности области выживания управляемой системы // Математическое моделирование и краевые задачи: труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч.2. – Самара, СГТУ, 2010. – С. 105–109.
2. Ибрагимов У.М. К теории задачи живучести // Материалы XVI межд. конф. по вычисл. механике и совр. прикл. прог. системам (ВМСППС’2009). – Алушта, 2009. – С. 332–334.
3. Ли Э.В., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. – М.: Наука, 1972. – 574 с.
4. Тухтасинов М., Ибрагимов У.М. Об инвариантных множествах при интегральном ограничении на управления // Изв. вузов. Матем. – 2011. –№ 8. – С. 69–76.
5. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. – М.: Мир, 1969. – 1072 с.
6. Aubin, J.-P. Viability Theory // J.-P.Aubin. – 2nd edition. – Birkhauzer, – Boston, 2009. – 572 p.
7. Feuer A., Heymann J. Omega-invariance in control systems with bounded controls // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 1976. – № 53. – P. 266–276.
8. Hajek O. Cores of targets in linear control systems // Math Systems Theory. – 1974. – № 8. – P. 203–206.

Современные наукоемкие технические процессы невозможно реализовать без дополнения их современными достижениями теории управления. Как известно, во многих линейных управляемых системах, управляющие параметры могут находиться как в правой части уравнения, так и в граничных условиях. Кроме того, многие важные в теории управления множества обладают свойствами инвариантности. Также известны необходимые и достаточные условия слабой инвариантности области выживания при различных ограничениях на управления [1, 4, 6].

Известно, что задача приведения фазовой точки на целевое множество G с дальнейшим удержанием на нем эквивалентна задаче приведения фазовой точки на ядро живучести области выживания G. При этом возникает следующий вопрос качественного характера, который рассматривается в данной работе: существует ли непустое подмножество множества G, слабо инвариантное относительно рассматриваемой управляемой системы [2].

Постановка задачи. Пусть дана линейная управляемая система

Eqn234.wmf (1)

где x ∈ R – фазовый вектор, A – d×d матрица, u ∈ P – параметр управления, который принимает значения из непустого выпуклого компактного подмножества пространства Rd.

Определение 1. Множество Y ⊂ Rd называется слабо инвариантным относительно системы (1), если для любой начальной точки x0 ∈ Y существует управление такое, что для всех t ≥ 0.

Определение 2. Множество Y ⊂ Rd называется сильно инвариантным относительно системы (1), если для любых x0 ∈ Y и Eqn235.wmf, существует Eqn236.wmf при всех t ≥ 0.

Определение 3. Максимальное подмножество Y ⊂ Rd, слабо инвариантное относительно системы (1), называется ядром живучести множества Y относительно системы (1) и обозначается через core(1)Y.

Предположим, что G – непустое выпуклое замкнутое подмножество Rd. Ядро выпуклого множества G, которое обозначим через Eqn237.wmf, является выпуклым замкнутым подмножеством G [3].

Вектор a ∈ Rd называется асимптотическим направлением множества Y ⊂ Rd, если Y + λa ⊂ Y для всех λ ≥ 0. Совокупность всех асимптотических направлений множества Y обозначим через Eqn238.wmf, т.е.

Eqn239.wmf

Согласно определению ядро множества Y ⊂ Rdотносительно однородной системы

Eqn240.wmf (2)

определяется формулой

Eqn241.wmf

Положим

L = A–1P, Eqn242.wmf,

где A–1Z – прообраз множества Z при отображении A.

Результаты. Лемма 1. Справедливы включения

Eqn243.wmf

Доказательство. Первое включение вытекает из определений множеств L, Eqn244.wmf, так как Eqn245.wmf

Пусть Eqn246.wmf По определению множества Eqn244.wmf найдется u0 ∈ P такое, что Eqn247.wmf и x0 ∈ G. Положив u(t) ≡ u0, рассмотрим соответствующую траекторию системы (1). Поскольку Eqn248.wmf сильно инвариантно относительно системы (2), то

Eqn249.wmf

при всех t ≥ 0. Следовательно, Eqn250.wmf Лемма доказана.

Согласно лемме [8], если Eqn251.wmf то

Eqn252.wmf (3)

Отсюда следует, core(1)G компактно, если Eqn253.wmf Также из теоремы [7] получим Eqn251.wmf если Eqn254.wmf

Лемма 2. Пусть Eqn255.wmf не является линейным подпространством Rd. Тогда существует собственный вектор матрицы A, принадлежащий Eqn255.wmf.

Доказательство. На единичной сфере Eqn256.wmf рассмотрим систему

Eqn257.wmf (4)

Ясно, что если Eqn255.wmf есть луч, то его направляющий вектор будет собственным для матрицы A. Далее, пусть Eqn255.wmf отлично от луча. Положим Eqn258.wmf. Так как выпуклый конус Eqn255.wmf не является линейным подпространством Rd, то найдется ненулевой вектор m ∈ Rd такой, что (m, y) ≥ 0 для всех y ∈ Σ. Отсюда следует, что оператор ортогонального проектирования Π из Rd на Eqn259.wmf является гомеоморфизмом Σ на ΠΣ. Ясно, что ΠΣ есть выпуклый компакт. Поэтому Σ обладает свойством неподвижной точки [5]. Пусть xtодна из неподвижных точек. В силу компактности Σ существует последовательность {tn} такая, что tn ↓ 0 и Eqn260.wmf, x* ∈ Σ при n → +∞ Далее, аналогично теореме [7] доказывается, что x* – точка покоя системы (4), т.е. Eqn261.wmf Таким образом, единичный вектор Eqn262.wmf является собственным для матрицы A. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, если матрица A не имеет действительных собственных чисел, то Eqn255.wmf является линейным подпространством Rd.

Легко убедиться, что если G = G0 + G1 где G0 –линейное подпространство Rd и G1выпуклый компакт, то Eqn255.wmf является максимальным подпространством G0, инвариантным относительно A и Eqn282.wmf = G0.

Теорема 1. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd. Тогда для того, чтобы Eqn263.wmf необходимо и достаточно, чтобы Eqn264.wmf

Доказательство теоремы. Достаточность. Доказательство достаточности теоремы вытекает из леммы 1.

Необходимость. Предположим, что Eqn263.wmf. Введем обозначения: J – ортогональное дополнение к Eqn255.wmf в Rd; Π – оператор ортогонального проектирования из Rd на J; Eqn265.wmf

Из (3) следует, что Ω есть выпуклое компактное подмножество J и Eqn266.wmf.

Далее, рассмотрим управляемую систему

Eqn267.wmf (5)

где y ∈ Rd – фазовый вектор, u ∈ P – параметр управления.

Множество Ω является слабо инвариантным относительно системы (5). Действительно, пусть y0 ∈ Ω т.е. y0 = Πx0 для некоторого Eqn268.wmf Согласно определению 3 найдется Eqn269.wmf такое, что

Eqn270.wmf (6)

для всех t ≥0 где Eqn271.wmf Так как Eqn255.wmf инвариантно относительно A, то

Eqn272.wmf (7)

Следовательно, функция Eqn273.wmf является решением задачи Коши Eqn274.wmf, y(0) = y0. Из (6) следует, что y(t) ∈ Ω для всех t ≥ 0. Таким образом, Ω – слабо инвариантно относительно системы (5).

Далее, по теореме [7] существует точка покоя y* системы (5), принадлежащая Ω. По определению точки покоя найдется u* ∈ P такое, что Eqn275.wmf

Следовательно, Eqn276.wmf и включение y* ∈ G очевидно. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd и detA ≠ 0. Тогда Eqn277.wmf в том случае, если Eqn278.wmf

Доказательство. В соответствии с леммой 1 и теоремой 1 достаточно показать, что если Eqn279.wmf то Eqn278.wmf

Предположим, что Eqn278.wmf Поскольку detA ≠ 0 и подпространство Eqn255.wmf инвариантно относительно A, то

Eqn280.wmf

Значит,

Eqn281.wmf (8)

Так как Eqn255.wmf – линейное подпространство Rd, содержащееся в Eqn282.wmf, то из (8) вытекает, что Eqn278.wmf Теорема доказана.

Заключение

В статье приведены условия для существования ядра выпуклого множества G, слабо инвариантного относительно линейной управляемой системы. Основными результатами статьи являются:

• Теорема 1. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd. Тогда для того, чтобы Eqn283.wmf, необходимо и достаточно, чтобы Eqn264.wmf

• Теорема 2. Пусть Eqn255.wmf есть линейное подпространство Rd и detA ≠ 0. Тогда Eqn283.wmf в том случае, если Eqn278.wmf

Рецензенты:

Нысанов Е.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Теория и методика преподавания информатики» Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауэзова, г. Шымкент;

Шалданбаев А.Ш., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Математические методы и моделирование» Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауэзова, г. Шымкент.

Работа поступила в редакцию 04.04.2012


Библиографическая ссылка

Ибрагимов У.М., Оразов И. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЯДРА ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА, СЛАБО ИНВАРИАНТНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 6-1. – С. 81-83;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31418 (дата обращения: 21.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074