Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПЛЕКСА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ СИСТЕМЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ОБЪЕКТА ОХРАНЫ

Полянский И.С. 1 Беседин И.И. 1 Панин Б.Л. 1
1 Академия ФСО России
В статье сформирована математическая модель комплекса инженерно-технических средств (КИТС) системы физической защиты (СФЗ) объекта охраны, отличающаяся от известных тем, что разработанное представление позволяет учесть структурные и функциональные свойства КИТС СФЗ: структуру, определяющую топологические связи между подступами к объекту, рубежами защиты и охраняемыми зонами; возможные способы преодоления рубежей защиты; различие технических средств охраны по принципу действия, обеспечивающих разноэффективный уровень защиты рубежа от известных способов его преодоления; ограничение на допустимую стоимость устанавливаемых технических средств охраны, необходимых для решения задачи по нахождению рациональных топологий КИТС СФЗ и плана установки на рубежах защиты различных технических средств охраны. На основе произведенной формализации определена аналитическая зависимость критерия оценки эффективности структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ.
комплекс инженерно-технических средств
система физической защиты
математическая модель
ориентированный граф
рентабельность
1. Асанов М.О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы // М.О. Асанов, В.А. Баранский, В.В. Расин. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2001. – 288 с.
2. Бертсекас Д. Сети передачи данных / Д. Бетсекас, Р. Галагер. – М.: Мир, 1989. – 544 с.
3. Боровский А.С. Интегрированный подход к разработке общей математической модели функционирования систем физической защиты / А.С. Боровский, А.Д. Тарасов // Вестник ВГУ, серия: Системный анализ и информационные технологии. – 2011. – № 1. – С. 50–59.
4. Бояринцев А.В. Проблемы антитерроризма: угрозы и модели нарушителей / А.В. Бояринцев, А.Г. Зуев, А.В. Ничиков. – СПб.: ЗАО НПП «ИСТА-Системс», 2008. – 220 с.
5. Быстров С.Ю. Анализ и оптимизация систем физической защиты особо важных объектов: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01. – Пенза, 2004. – 181 с.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятности / Е.С. Вентцель, Л.А. Овсчаров. – 2-е изд. – М.: Наука, 1973. – 368 с.
7. Вишнякова Т.О. Анализ эффективности систем физической защиты при помощи Марковской сетевой модели / Т.О. Вишнякова, В.И. Васильев // Вестник УГАТУ. – 2007. – Т. 8, № 7 (25). – С. 11–19.
8. Воронин А.А. Оптимальные иерархические структуры / А.А. Воронин, С.П. Мишин. – М.: ИПУ РАН, 2003. – 214 с.
9. Гайнулин Т.Р. Моделирование процесса выбора состава технических средств системы физической защиты: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. – Брянск, 2008. – 162 с.
10. ГОСТ Р 50.2.004-2000. Определение характеристик математических моделей зависимостей между физическими величинами при решении измерительных задач. Основные положения. – М.: Стандартинформ, 2000. – 15 с.
11. Забияко С.В. Моделирование оценки эффективности функционирования интегрированных систем безопасности в условиях структурно-параметрического конфликта подсистем: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. – Воронеж, 2004. – 137 с.
12. Мишин Е.Т. Построение систем физической защиты потенциально опасных объектов / Е.Т. Мишин, Е.Е. Соколов. – М.: Радио и связь, 2005. – 200 с.
13. Полянский И.С. Распределение однородного непрерывного ограниченного ресурса в иерархических системах транспортного типа с древовидной структурой / И.С. Полянский, И.В. Логинова, И.И. Беседин, М. М. Фролов // Информационные системы и технологии. – 2013. – № 2 (76) – С. 99–106.
14. Хенли Э.Дж. Надежность технических систем и оценка риска: пер. с англ. В.С. Сыромятникова, Г.С. Деминой / Э.Дж. Хенли, Х. Кумамото; под общ. ред. В.С. Сыромятникова. – М.: Машиностроение, 1984. – 528 с.
15. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: монография. – М.: Издательско-торговая компания корпорация «Дашков и Кo», 2003. – 544 с.

Представление большинства существующих математических моделей систем физической защиты (СФЗ) [3, 4, 7, 9, 11, 12 и др.] произведено методом прямого описания [10], основанного на вероятностных мерах. В то же время решение задачи структурно-параметрического синтеза обуславливает необходимость косвенного описания: представления входных (управляемых) переменных модели СФЗ, составления уравнения связи, учитывающее топологическую структуру СФЗ и позволяющее определить значения выходных параметров [10]. В [5] на основе анализа модели системы безопасности объекта (метасистемы СФЗ) произведена формализация математической модели СФЗ со сложной топологией в виде ориентированного мультиграфа [5]:

S = S(X, Γ, D, H), (1)

где X – конечное множество вершин графа S; Γ – отображение Eqn48.wmf, заданное конечным подмножеством дуг Eqn49.wmf, Eqn50.wmf – множество неотрицательных целых чисел; D ⊂ X – множество элементов «объект защиты»; H ⊂ X – множество элементов «субъект угрозы».

Предложенное представление ограничивает постановку задачи синтеза до параметрического. Другими словами, на основе сформированной в [5] математической модели возможно решение задачи синтеза, обеспечивающего рациональный набор опций по реализации рубежей защиты – весов ребер орграфа, определяемых из указанного множества «…альтернативных реализаций рубежа защиты …» [5] с учетом заранее заданной топологией СФЗ.

В свою очередь структурно-параметрический синтез комплекса инженерно-технических средств (КИТС) СФЗ предполагает проведение совместного решения задачи нахождения рациональных (с точки зрения заданного критерия эффективности):

1) топологии КИТС СФЗ, определяющей расстановку и смежность между узлами орграфа (подступами к объекту, рубежами защиты и охраняемыми зонами) с учетом ограничения на существование путей (доступа) от подступов до объекта к определенным зонам охраны, т.е. задача структурного синтеза;

2) плана установки на рубежах защиты различных технических средств охраны (ТСО), т. е. задача параметрического синтеза.

Цель статьи заключается в разработке математической модели КИТС СФЗ, позволяющей учесть структурные и функциональные свойства системы физической защиты объекта охраны.

Математическая модель КИТС СФЗ объекта охраны

Представим структуру КИТС СФЗ объекта охраны в виде многоуровневой иерархической системы с сильными связями [8], топология которой задана в виде ориентированного связного графа G(V, E) без петель и кратных рёбер (корневого ориентированного графа с древовидной структурой) [2], представленного совокупностью непустого множества вершин V и множества ребер E двухэлементных подмножеств множества V [8]:

Eqn54.wmf Eqn55.wmf

Eqn56.wmf Eqn57.wmf (2)

где Eqn58.wmf, а Eqn59.wmf, Eqn60.wmf, Eqn61.wmf (N и M – общее число вершин и ребер графа соответственно).

В соответствии с типом синтезируемой системы множество вершин V графа G(V, E) представим совокупностью трех непересекающихся подмножеств:

1) Vs – подступы к объекту (корни ориентированного дерева);

2) Vp – рубежи защиты (промежуточные вершины ориентированного дерева);

3) Ve – охраняемые зоны (листья ориентированного дерева), где V = Vs ∪ Vp ∪ Ve с условиями: Vs ∩ Vp ∩ Ve = ∩V, Eqn51.wmf Eqn52.wmf Eqn53.wmf N = N1 + N2 + N3.

В рамках рассматриваемой задачи ребра графа задают «правила взаимодействия» между элементами (вершинами графа) иерархической системы, т.е. по существу определяют возможность доступа (пути) нарушителя к охраняемым зонам (вершинам графа). Геометрическое представление ориентированного графа G(V, E) в рассматриваемой постановке задачи отражено на рис. 1.

pic_29.wmf

Рис. 1. Геометрическое представление ориентированного графа G(V, E)

Ориентированный граф G(V, E) зададим двумя матрицами инцидентности для прямого и обратного потоков Eqn65.wmf и Eqn66.wmf соответственно, элементы которых определяются выражениями [13]

Eqn67.wmf (3)

Eqn68.wmf (4)

причем Eqn69.wmf где Eqn70.wmf – общая матрица инцидентности для графа G(V, E). Поскольку решением задачи синтеза структуры иерархической системы является некоторая древовидная структура, то для нахождения оптимальной система должна содержать все возможные орграфы древовидного типа с корнями Vs и висячими вершинами Ve. Будем считать, что корни графа опираются на некоторый полносвязный подграф, построенный на заданном множестве вершин, а листья соединены со всеми вершинами полносвязного подграфа.

С учетом возможной разнородности рубежей защиты подмножество Vp множеств вершин V исходного графа представляется объединением R непересекающихся множеств Eqn71.wmf, где r-е множество Eqn72.wmf определяет совокупность Eqn73.wmf рубежей защиты r-го типа, характеризующегося различной степенью защиты от возможных способов преодоления. Последнее задает характеристику i2-х рубежей защиты соответствующих r-м типам в виде матрицы Eqn74.wmf (i2, k)-е элементы которого отражают вероятность преодоления i2-го рубежа защиты k-м способом. В свою очередь различные условия расположения подступов к объекту охраны обусловливают неоднородность распределения вероятностей задания пути проникновения злоумышленника через них на охраняемый объект, численно задаваемый исходным вектором Eqn75.wmf – вероятности угрозы со стороны i1-х подступов к объекту охраны.

Формальное представление задачи параметрического синтеза состоит в определении рационального плана установки ТСО на i2-х Eqn76.wmf рубежах защиты. С учетом указанной возможности установки на рубежах ТСО различного класса в исходной постановке задачи задается P типов ТСО, характеризующихся матрицей Eqn77.wmf и вектором Eqn78.wmf стоимости p-го типа ТСО. Элементы матрицы U определяют вероятность защиты p-м ТСО от k-го способа преодоления рубежа злоумышленником. При этом размещение определенного числа ТСО на рубежах защиты ограничено заданным максимальным значением стоимости используемых ресурсов Eqn79.wmf.

Исходная характеристика i3-х охраняемых зон задается вектором Eqn80.wmf значимости, i3-е элементы которого численно определяют материальный ущерб от злоумышленника в случае доступа к i3-й зоне охраны. Ограничения на топологическую структуру синтезируемого КИТС СФЗ задается матрицей Eqn81.wmf элементы которой определяют правило существования пути из i1-го подступа к объекту в i3-ю охраняемую зону:

Eqn82.wmf (5)

С учетом принятых представлений и сформированной на их основе структурной схемы КИТС СФЗ (рис. 2) произведем описание математической модели КИТС СФЗ путем указания характеристик ее входных и выходных параметров и их математической взаимосвязи. Последнюю представим функциональным оператором Ψ(X, Y, T), преобразующим пространство матриц управляющих переменных Eqn83.wmf Eqn84.wmf и Eqn85.wmf в выходной параметр, величина которого количественно характеризует заданный критерий эффективности КИТС СФЗ. Элементы матриц управляющих переменных X и Y определяют соответствующие элементы матриц инцидентности для прямого Hin и обратного Hout потоков синтезируемой структуры СФЗ. Элементы матрицы T характеризуют количество устанавливаемых на i2-м рубеже защиты p-х типов ТСО. При этом элементы матриц управляющих переменных X, Y, T могут принимать фиксированные значения, множества которых определяются условиями:

Eqn86.wmf

Eqn87.wmf (6)

Eqn88.wmf (7)

где Eqn89.wmf – множество неотрицательных целых чисел: {0, 1, 2, ...}.

Принятые обозначения позволяют записать обобщенную задачу структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ в виде:

Eqn90.wmf (8)

с учетом ограничения на максимально допустимую стоимость устанавливаемых ТСО на i2-х рубежах защиты:

Eqn91.wmf (9)

Вышеописанное позволяет разработать обобщенное геометрическое представление задачи структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ (рис. 3).

Сформированное представление позволяет перейти к разработке функциональной зависимости целевой функции (8) от матриц управляемых переменных X, Y, T, определяющей критерий эффективности КИТС СФЗ, заданного по правилу «результативность – стоимость».

pic_30.tif

Рис. 2. Структурная схема комплекса инженерно-технических средств системы физической защиты объекта охраны

pic_31.tif

Рис. 3. Геометрия решения задачи структурно-параметрического синтеза системы физической защиты

Критерий оценки эффективности структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ

С целью определения аналитической зависимости целевой функции (8) от матриц управляющих переменных X, Y, T введем следующие представления.

Утверждение 1. Для ориентированного графа G(V, E) без петель и кратных ребер произвольной топологии, заданной двумя матрицами инцидентности для прямого Eqn92.wmf и обратного Eqn93.wmf потоков, матрица достижимости S(r) для путей длины r ∈  определяется в соответствии с равенством

Eqn94.wmf (10)

где операция Eqn95.wmf определяет композицию отношений степени r.

Доказательство. Пусть G(V, E) есть ориентированный граф без петель и кратных ребер, состоящий из N вершин и M дуг, топология которого задана двумя матрицами размерности N×M инцидентности для прямого Hin и обратного Hout потоков. Тогда композиция отношения матрицы Eqn92.wmf и транспонированной матрицы Eqn93.wmf будет характеризоваться матрицей Eqn96.wmf, (i′, j′)-й элемент которой определяется в соответствии с отношением

Eqn97.wmf. (11)

Поскольку Eqn98.wmf и Eqn99.wmf определяют инцидентность m-го ребра к i’-й и j’-й вершинам соответственно, очевидно, что элемент Eqn100.wmf матрицы Eqn96.wmf для ориентированного графа G(V, E) без петель и кратных ребер в конечном счете задает достижимость вершины i’ к вершине j’ через одно ребро (для пути кратности 1), т.е. по существу определяет смежность вершин i’ и j’.

Тогда в соответствии с теоремой 1.4, доказательство которой представлено в [1], возведение матрицы смежности Eqn96.wmf в натуральную степень r определяет матрицу Eqn101.wmf Eqn102.wmf-е элементы которой задают число Eqn103.wmf – маршрутов длины r, а соответственно композиция отношений степени r над матрицей Eqn96.wmf определяет матрицу достижимости S(r)для путей длины r ∈ .

Следствие 1 из утверждения 1. В соответствии с выраженим (10) матрица достижимости для всех возможных путей кратности от 1 до R будет задаваться соотношением

Eqn105.wmf (12)

Следствие 2 из утверждения 1. Для ориентированного взвешенного графа G(V, E) без петель и кратных ребер, для которого задан вектор весов ребер Eqn106.wmf, матрица смежности Eqn107.wmf определяется равенством

Eqn108.wmf (13)

где Eqn109.wmf – оператор преобразования произвольного вектора размерностью N в диагональную матрицу N×N, элементы главной диагонали которой соответствуют элементам исходного вектора, а все остальные элементы (расположенные выше/ниже главной диагонали) равны 0.

С учетом отношений (10), (12), (13) определим искомое аналитическое представление функции Ψ(X, Y, T), задающей обратную величину суммарного вероятного уровня ущерба (риска [14]) КИТС СФЗ, в виде равенства

Eqn110.wmf (14)

где S(Z) – векторная функция, преобразующая N3 мерный вектор значимости охраняемых зон в вектор размерности N, элементы которого определяют значимость i-й вершины графа (узла СФЗ)

Eqn111.wmf

Ω(X, Y, T) – векторная функция, обратная величине действительного риска размерности N, элементы которой задают вероятность защиты от угрозы к i-м узлам КИТС СФЗ с учетом воздействий субъектов защиты (ТСО) на субъект угрозы (злоумышленника), и определяются в соответствии с отношением

Eqn112.wmf (15)

Здесь A′(X, Y, T) – матрица размерности N×N, (i, j)-е, элементы которой задаются в виде:

Eqn113.wmf (16)

где G(r, X, Y, T) – матричная функция размерности N×N, определяемая рекурсией:

Eqn114.wmf

Eqn115.wmf(17)

В выражении (16) применение оператора Eqn116.wmf задает значение максимальной вероятности угрозы для всех возможных путей кратности r. Последнее определяет решение задачи структурно-параметрического синтеза КИТС СФЗ на «наихудший случай», обусловленное необходимостью нахождения оптимального решения в условиях полной априорной неопределённости о стратегии злоумышленника [15].

В выражении (17) W(T) – векторная функция размерности N, i-е элементы которой задаются в соответствии с равенством

Eqn117.wmf (18)

где ϒ(T) – векторная функция размерностью N2, элементы которой характеризуют вероятность препятствованию действиям злоумышленника хотя бы одного ТСО (вероятность появления хотя бы одного события [6]), устанавливаемого на i2-м рубеже защиты, и задаются отношением

Eqn118.wmf (19)

С учетом представлений, рассмотренных выше, критерий эффективности КИТС СФЗ, заданный по правилу «результативность – стоимость» в исходной задаче структурно-параметрического синтеза, примет вид:

Eqn119.wmf (20)

при условии, что:

Eqn120.wmf

Eqn121.wmf (21)

где D(R, X, Y, T) – матрица размерности N×N достижимости всех возможных путей кратности от 1 до R, определяемой в соответствии с выражением (12).

Значение R определяет максимально возможную длину пути в синтезируемой структуре КИТС СФЗ и в первом приближении задается равным числу промежуточных пунктов графа исходной задачи N2 (рубежей защиты).

С целью сведения двухкритериальной задачи (20) к однокритериальной представим обобщенный критерий эффективности КИТС СФЗ в виде отношения максимизируемой функции к минимизируемой:

Eqn122.wmf (22)

Значение функции Θ(X, Y, T) в выражении (22) аналогично [8] определяет рентабельность СФЗ.

Выводы

Разработана математическая модель КИТС СФЗ, отличающаяся тем, что сформированное представление позволяет учесть структурные и функциональные свойства КИТС СФЗ: структуру (3), (4), определяющую топологические связи между подступами к объекту, рубежами защиты и охраняемыми зонами; k-е способы преодоления рубежей защиты; различие ТСО по принципу действия, обеспечивающих разноэффективный уровень защиты рубежа от известных способов его преодоления; стоимость технических средств охраны; ограничение на допустимую стоимость устанавливаемых технических средств охраны, необходимых для решения задачи по нахождению рациональных топологий КИТС СФЗ и плана установки на рубежах защиты различных ТСО.

На основе произведенной формализации определена аналитическая зависимость (22) критерия оценки эффективности КИТС СФЗ, количественно определяющего его рентабельность, от матриц управляющих переменных Eqn123.wmf Eqn124.wmf и Eqn125.wmf, элементы которых задают структурную топологию синтезируемой КИТС СФЗ и плана установки на рубежах защиты различных ТСО.

Рецензенты:

Саитов И.А., д.т.н., профессор, сотрудник Академии ФСО России, г. Орел;

Иванов Б.Р., д.т.н., профессор, сотрудник Академии ФСО России, г. Орел.

Работа поступила в редакцию 03.06.2013.


Библиографическая ссылка

Полянский И.С., Беседин И.И., Панин Б.Л. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПЛЕКСА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ СИСТЕМЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ОБЪЕКТА ОХРАНЫ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 6-6. – С. 1359-1365;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31741 (дата обращения: 04.06.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074