Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ СМАЗКИ В ЗАЗОРЕ ЧАСТИЧНО ПОРИСТОГО ПОДШИПНИКА С ВНЕШНИМ НАДДУВОМ ГАЗА

Логинов В.Н. 1 Космынин А.В. 1 Широкова З.В. 1 Медведовская Ю.В. 1
1 Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет
Рассмотрено аналитическое решение задачи определения поля давления в зазоре частично пористого цилиндрического подшипника с внешним наддувом газа, работающего в режиме подвеса (при не вращающемся вале) и в гибридном режиме (при вращающемся вале). Решение базируется на классических в теории газовой смазки допущениях о течении смазочного слоя в зазоре подшипника. В основе лежит решение модифицированного уравнения Рейнольдса и уравнения течения сжатого газа через пористую матрицу. В рамках метода непрерывных линий наддува газа уравнения течения смазки при неподвижном вале решаются методом разделения переменных. Газодинамическая составляющая давления в гибридном режиме работы находится с помощью метода разложения по малому параметру. Это позволяет сравнительно просто определить поле давления в зазоре подшипника. Сравнение теоретических результатов с опытными данными показало вполне удовлетворительную для инженерных расчетов точность.
пористая среда
газовый подшипник
газовая смазка
смазочный слой
несущая способность
относительный эксцентриситет
число сжимаемости
1. Высокоскоростной шпиндельный узел внутришлифовального станка для прецизионной обработки деталей летательных аппаратов / А.В. Космынин, В.С. Щетинин, А.С. Хвостиков, А.В. Смирнов, С.С. Блинков // Фундаментальные исследования. – 2011. – Ч.1, № 8. – С. 137–138.
2. Константинеску В.Н. Газовая смазка: – М.: Машиностроение, 1968. – 718 с.
3. Космынин А.В., Чернобай С.П., Виноградов С.В. Расчет частично пористых газовых подшипников высокоскоростных шпиндельных узлов // Автоматизация и современные технологии. – 2008. – № 10. – С. 8–12.
4. Космынин А.В., Шаломов В.И. Аэростатические шпиндельные опоры с частично пористой стенкой вкладыша // Современные проблемы науки и образования. – 2006. – № 2. – С. 69–70.
5. Космынин А.В., Щетинин В.С. Расчет несущей способности газомагнитных опор высокоскоростных шпиндельных узлов // СТИН. – 2010. – № 9. – С. 6–8.
6. Космынин А.В., Щетинин В.С. Эксплуатационные показатели высокоскоростных шпиндельных узлов металлообрабатывающего оборудования с газомагнитными опорами // Успехи современного естествознания. – 2009. – № 11. – C. 69–70.
7. Космынин А.В., Щетинин В.С., Иванова Н.А. Методика расчета несущей способности газомагнитного подшипника высокоскоростного шпиндельного узла // Вестник Самарского ГТУ. – 2010. – № 4. – C. 226–229.
8. Логинов В.Н., Космынин А.В., Широкова З.В. Аналитическое решение задачи определения характеристик цилиндрического газового подшипника // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 5. – С. 121–121.
9. Математическая модель опорного газового подшипника, работающего в гибридном режиме / В.Н. Логинов, А.В. Космынин, З.В. Широкова, Ю.В. Медведовская // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 6. – C. 79–79.
10. Щетинин В.С., Космынин А.В. Математическая модель расчета несущей способности высокоскоростного шпиндельного узла на газомагнитной опоре // Трение и смазка в машинах и механизмах. – 2010. – № 8. – С. 31–35.

Использование в высокоскоростных роторных системах подшипников на газовой смазке связано с необходимостью практической реализации прорывных технологий, например, в ситуациях, когда применение газовых опор является единственно возможным решением, обеспечивающим нормальную работу узлов трения. Известно успешное применение газовых подшипников в станкостроении [1, 4, 5, 7], криогенной и авиакосмической технике, метрологическом оборудовании, гироскопических устройствах, газотурбинных установках, в атомной энергетике и т.д. При этом следует указать на достаточно ограниченную информацию о реальном внедрении газовых опор в различные механизмы, что связано с коммерческой и оборонной секретностью.

К настоящему времени заложены хорошие основы расчета эксплуатационных характеристик газовых подшипников, которые в целом говорят о надежных результатах, получаемых с применением численных методов [3, 6, 10]. Между тем результаты исследования, представленные в работах [8, 9], показывают на вполне удовлетворительное согласование опытных и теоретических результатов, полученных на основе аналитической методики расчета с использованием разложением по малому параметру, в качестве которого принято число сжимаемости. Однако с ростом числа сжимаемости (больше 0,4) наблюдается заметное рассогласование теоретических и экспериментальных данных.

С целью расширения сведений о характеристиках подшипников, работающих в широком диапазоне изменения числа сжимаемости, в КнАГТУ разработана аналитическая методика расчета, в основе которой лежит метод разложения по малому параметру, в качестве которого принят относительный эксцентриситет. Эта методика и излагается в настоящей работе.

Пусть газ из камеры нагнетания под давлением Ps поступает через пористые вставки в смазочный слой цилиндрического подшипника. Пористые вставки расположены равномерно по окружности в два ряда. Форма пористых вставок цилиндрическая. На вал действует внешняя радиальная нагрузка F (рис. 1).

pic_18.wmf

Рис. 1. Газовый статический подшипник с двумя рядами пористых вставок:1 – непроницаемая часть вкладыша подшипника; 2 – вал; 3 – пористая вставка

Используя общепринятые допущения [2], получим уравнения для определения поля давления в зазоре: в непроницаемой части вкладыша подшипника

Eqn80.wmf (1)

в пористой среде

Eqn81.wmf (2)

где s = φR – длина дуги в смазочном слое; R – радиус вала; φ – полярный угол, отмеряемый от линии действия нагрузки (сечение с максимальным давлением); H – толщина смазочного слоя, H = c(1 – εcos φ); с – средний радиальный зазор, ε = e/c – относительный эксцентриситет; e – эксцентриситет; P = P(s, z) – абсолютное давление в смазочном слое подшипника, Eqn82.wmf – квадрат давления в пористой среде (здесь и далее индекс δ означает характеристики пористой среды); μ – коэффициент вязкости; ω – угловая скорость вращения вала; L = 2L0 – длина подшипника.

При работе подшипника в режиме подвеса (ω = 0, θ = 0) ряды пористых вставок в первом приближении заменим эквивалентными им по площади пористыми кольцевыми втулками шириной Δ (метод непрерывных линий наддува). В работе [8] найдено приближенное решение системы уравнений (1), (2) и определены наибольший и наименьший квадрат давления в области пористых вставок:

Eqn83.wmf Eqn84.wmf

где

Eqn85.wmf Eqn86.wmf

Eqn87.wmf

– конструктивный параметр, h = H/c, h = 1 – εcos φ – относительная толщина смазочного слоя.

Переходя в уравнении (1) к безразмерным переменным, получаем

Eqn88.wmf (3)

где ζ = z/L0;, ζ ∈ [0, 1], ψ = η/Δη – относительный квадрат давления, Δη = ηmax – ηmin, r = R/L0 – относительный радиус вала.

Решение уравнения (3) найдем в виде ψ(φ, ζ) = X(φ)Z(ζ). Подставляя эту функцию в уравнение и разделяя переменные, получим систему уравнений:

Eqn89.wmf (4)

Eqn90.wmf (5)

Из уравнения (4) находим:

Eqn91.wmf

α = λ/r; λ ≠ 0; (6)

Eqn92.wmf λ = 0. (7)

Решения уравнения (5), соответствующие (6) и (7), обозначим: Eqn93.wmf Eqn94.wmf Таким образом, решение уравнение (3) представляется в виде

Eqn95.wmf (8)

Решение уравнения (5) при λ ≠ 0 было найдено в работе [9] в виде ряда по степеням τ = cos φ, но этот ряд медленно сходится и распределение давления в сечениях ζ = const существенно зависит от числа слагаемых в приближенном решении.

В связи с этим зависимость h = h(φ) заменим линейной

h0 = h0 (φ),

где

Eqn96.wmf

В полученное решение подставим h = h(φ), что равносильно замене производной h′ в уравнении (5) ее средним значением ⟨h′⟩.

В этом случае при λ = 0 нормированное решение, удовлетворяющее условиям: X0(0) = 1, X0(π) = 0, будет иметь

Eqn97.wmf

При λ ≠ 0 после перехода к новой независимой переменной

τ = (1 + cos φ)/2, τ ∈ [0, 1],

h = (1 + ε)(1 – k1τ), k1 = 2ε/(1 + ε),

получим:

Eqn98.wmf

ν = πλ. (9)

Решение последнего уравнения будем искать в виде ряда

Eqn99.wmf

Подставляя X(φ) в уравнение (9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях τ, получим рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов an:

a0 = 0; a1 = 1; Eqn100.wmf

Eqn101.wmf

n = 1, 2, ...

Полагаем

Eqn102.wmf.

Ряд Eqn103.wmf быстро сходится при всех значениях φ, так как при n >> 1 и максимальном значении τ(0) = 1 его остаток эквивалентен ряду из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = k1.

Таким образом, нормированное решение уравнения (5)

Eqn104.wmf

Неизвестные постоянные в (6) и (7) определяются из граничных условий и условий непрерывности и гладкости решений.

В непроницаемой части подшипника, расположенной между линией наддува и торцом подшипника, решения будем искать в виде:

Eqn105.wmf

Eqn106.wmf

В осевом сечении с максимальным давлением (φ = 0):

Eqn107.wmf

Eqn108.wmf

Коэффициенты A1 и α1 определятся из условия максимума давления в сечении ζ = ζ1, где ζ1 = L1/L – относительная координата линии наддува, т.е. из условий: Z1(ζ1) = 1, Eqn109.wmf, что эквивалентно системе уравнений

Eqn110.wmf

Eqn111.wmf

Откуда находим

Eqn112.wmf,

где α1 – корень уравнения

Eqn113.wmf

Аналогично в непроницаемой части подшипника, расположенной между линиями наддува:

Eqn114.wmf

Eqn115.wmf

Eqn116.wmf

Из условий максимума давления в сечении ζ = ζ1 и отсутствия перетекания смазки в сечении ζ = 1: Z2(ζ1) = 1; Eqn117.wmf Eqn118.wmf

Последние равенства эквивалентны системе уравнений:

Eqn119.wmf

Eqn120.wmf

Eqn121.wmf

Откуда находим:

Eqn122.wmf

Eqn123.wmf

где α2 – корень уравнения

Eqn124.wmf.

Подставляя найденные решения в (8), получим:

Eqn125.wmf

Eqn126.wmf

Таким образом, квадрат давления определяется по формулам:

Eqn127.wmf

Eqn128.wmf

Работа подшипника в гибридном режиме вращение вала в отличие от случая работы в режиме подвеса приводит к асимметричному распределению давления газа в зазоре подшипника [4, 5, 7, 10]. Вследствие этого вал смещается от равновесного положения в направлении своего вращения и образует отличный от нуля угол ориентации нагрузки θ.

Дифференциальное уравнение для поля давления в этом случае принимает вид

Eqn129.wmf (10)

где Eqn130.wmf – относительное давление; ⟨P⟩ – среднее давление в зазоре подшипника, работающего в режиме подвеса, Eqn131.wmf – число сжимаемости.

Будем считать, что в гибридном режиме работы поле давления в зазоре подшипника формируется двумя независимыми составляющими: давления внешнего наддува газа, найденного выше, и давления pω = pω(φ), обусловленного эффектом смазочного клина. Тогда уравнение (10) для pω = pω(φ) принимает вид

Eqn132.wmf

Первым интегралом этого уравнения является

Eqn133.wmf (11)

Разложим относительное давление в ряд по степеням ε:

Eqn134.wmf (12)

Постоянная интегрирования C в уравнении (11) также зависит от ε, поэтому: Eqn135.wmf. Подставляя эти разложения в уравнение (11), получим

Eqn136.wmf (13)

Отсюда сразу находим C0 = 1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получим, что (13) – бесконечная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения уравнений системы (13) содержат постоянные интегрирования, которые определяются из условия [2] Eqn137.wmf, откуда получим

Eqn138.wmf m = 1, 2, .... (14)

Первое уравнение системы (13) имеет вид

Eqn139.wmf

Его решение

Eqn140.wmf

где

Eqn141.wmf

Таким образом,

Eqn142.wmf

где Eqn143.wmf Постоянная интегрирования Eqn144.wmf из условия периодичности функции p1 (p1(–π) = p1(π)), а постоянная C0 = 0 из первого равенства системы (14) (m = 1).

Окончательно:

Eqn145.wmf

Eqn146.wmf

Второе уравнение системы (13) примет вид

Eqn147.wmf

где

Eqn148.wmf

Подставляя в эти уравнения найденные p1 и Eqn149.wmf и используя формулы тригонометрии, находим:

Eqn150.wmf

Eqn151.wmf

Eqn152.wmf

Eqn153.wmf

Решением второго уравнения является функция

Eqn154.wmf

при этом из условия периодичности функции p2 получим Eqn155.wmf, а из системы (13) при m = 2 находим Eqn156.wmf. Таким образом,

Eqn157.wmf

Eqn158.wmf Eqn159.wmf

Третье уравнение системы (13)

Eqn160.wmf

где

Eqn161.wmf

Функция f3(φ) выражается через синусы и косинусы одинарного и тройного углов:

Eqn162.wmf

Eqn163.wmf

Eqn164.wmf

Eqn165.wmf

Eqn166.wmf

Интегрируя третье уравнение системы (13) с использованием третьего равенства системы (14), получим:

Eqn167.wmf

Eqn168.wmf Eqn169.wmf

Eqn170.wmf Eqn171.wmf

При интегрировании уравнений системы (13) коэффициенты γi прямо пропорционально зависят от малых величин Eqn172.wmf и Eqn173.wmf В связи с этим при m ≥ 4 слагаемыми Eqn174.wmf можно пренебречь.

Таким образом, при m ≥ 4 уравнения имеют вид

Eqn175.wmf

где Eqn176.wmf

которые легко интегрируются.

В результате получим приближенное решение уравнения (11) с точностью o(ε5):

Eqn177.wmf

Квадрат давления находится по формулам

Eqn178.wmf

Eqn179.wmf

где Eqn180.wmf

Сравнение теоретических результатов расчета с экспериментальными данными проводилось по коэффициенту несущей способности CQ.

Зависимости коэффициента несущей способности подшипника CQ от относительного эксцентриситета ε при Kc = 0,266, r = 0,833 и ζ1 = 0,5 показаны на рис. 2.

pic_19.wmf

Рис. 2. Зависимости коэффициента несущей способности CQ от относительного эксцентриситета ε: а – неподвижный вал (Λ = 0; ps = 0,167), б – вращающийся вал (Λ = 0,126;ps = 0,362) – теория; • – эксперимент

Сравнение расчетных и опытных данных показывает их вполне удовлетворительную для инженерной практики точность. Относительная погрешность при определении CQ не превосходит 8 %.

Работа выполнена в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11-08-00049-а).

Рецензенты:

Феоктистов С.И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Технология самолетостроения», ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре;

Биленко С.В., д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Технология машиностроения», ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.

Работа поступила в редакцию 18.06.2013.


Библиографическая ссылка

Логинов В.Н., Космынин А.В., Широкова З.В., Медведовская Ю.В. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ СМАЗКИ В ЗАЗОРЕ ЧАСТИЧНО ПОРИСТОГО ПОДШИПНИКА С ВНЕШНИМ НАДДУВОМ ГАЗА // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 8-1. – С. 37-43;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31866 (дата обращения: 13.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074