Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИССИПАТИВНОГО РАЗОГРЕВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ДЛЯ ЖИДКОСТИ, ДЕМОНСТРИРУЮЩЕЙ ПРОЯВЛЕНИЕ ЭФФЕКТА «ОТВЕРДЕВАНИЯ», ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ПЕРВОЙ СХЕМЫ ТЕЧЕНИЯ

Колодежнов В.Н. 1 Капранчиков С.С. 1 Веретенников А.С. 1
1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»
На основе ранее предложенной реологической модели, которая учитывает проявление упрочнения при сдвиге или эффекта «отвердевания», проведен анализ трех возможных схем течения неньютоновской жидкости в цилиндрическом канале. В наиболее простом варианте, который условно назван первой схемой течения, жидкость, согласно реологической модели, демонстрирует псевдопластическое поведение со степенным законом вязкости. Для такой схемы течения рассмотрена задача установившегося конвективного теплопереноса с учетом диссипации механической энергии при температурных граничных условиях первого рода на стенках канала. При постановке задачи полагали, что конвективный теплоперенос вдоль оси канала допустимо определять по средней скорости потока. Диссипативную составляющую принимали с учетом точного распределения скорости в поперечном сечении канала. Получено выражение для распределения температуры в канале. Показано, что температурные профили в окрестности стенки канала имеют характерные максимумы. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании течения неньютоновских жидкостей в проточных элементах технологического оборудования.
диссипация
неньютоновская жидкость
температура
1. Колодежнов В.Н. Математическое моделирование реологического поведения нелинейно-вязких жидкостей, которые демонстрируют проявление эффекта «отвердевания». // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. – 2012. – № 4. – С. 35–38.
2. Колодежнов В.Н. Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта «отвердевания» // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2013. – Т.9. – № 2. – С. 118–122.
3. Фройштетер Г.Б., Данилевич С.Ю., Радионова Н.В. Течение и теплообмен неньютоновских жидкостей в трубах. – Киев.: Наукова думка, 1990. – 216 с.
4. Jae-Hyun So, Seung-Man Yong, Jae Chun Hyun. Microstructure evolution and rheological responses of hard sphere suspensions // Chemical Engineering Science. – 2001. – Vol. 56. – № 9. – Р. 2967–2977.
5. Jeffrey D.J., Acrivos A. The Rheological Properties of Suspensions // AIChE Journal. – 1976. – Vol. 22. – № 3. – Р. 417–432.
6. Kalyon D.M., Yaras P., Aral B., Yilmazer U. Reological behavior of a concentrated suspension: A solid rocket fuel simulant // J. Rheol. – 1993. – Vol. 37. – № 1. – Р. 35–53.
7. Lee Y.S., Wagner N.J. Rheological Properties and Small – Angle Neutron Scattering of Shear Thickening, Nanoparticle Dispersion at High Shear Rates // Ind. Eng. Chem. Res. – 2006. – Vol. 45. – № 21. – Р. 7015–7024.
8. Young Sil Lee, Norman J. Wagner. Dynamic properties of shear thickening colloidal suspensions // Reologica Acta. – 2003. – Vol. 42. – № 3. – Р. 199–208.

Отдельные виды суспензий при соответствующих размерах и концентрации мелкодисперсных частиц демонстрируют особенности реологического поведения [4–8]. С точки зрения зависимости эффективной вязкости Eqn8.wmf от скорости сдвига Eqn9.wmf эти особенности сводятся к следующему. Приближение скорости сдвига к некоторому конечному по величине, критическому значению Eqn10.wmf крутизна S кривой течения для зависимости касательного напряжения τ от Eqn9.wmf начинает неограниченно возрастать. На модельном уровне можно полагать, что Eqn11.wmf. Поскольку S напрямую характеризует вязкие свойства жидкости, такое поведение суспензий можно интерпретировать как проявление эффекта «упрочнения» или «отвердевания». Также отметим, что отдельные виды таких суспензий [4, 7, 8] демонстрируют немонотонный характер поведения функции Eqn8.wmf. На начальном интервале изменения скорости сдвига от нуля до некоторого порогового значения Eqn12.wmf функция Eqn8.wmf монотонно убывает, и жидкость демонстрирует псевдопластическое поведение с некоторыми значениями коэффициента консистенции K1 и индекса течения n1. Дальнейшее же увеличение модуля скорости сдвига на интервале Eqn13.wmf после прохождения точки минимума приводит к возрастанию эффективной вязкости. При этом жидкость соответственно демонстрирует дилатантное поведение.

В работе [1] предложена реологическая модель, описывающая механическое поведение подобных неньютоновских жидкостей, а в [2] для такой модели рассмотрена задача об установившемся напорном течении в цилиндрическом канале радиуса R. Там же показано, что в зависимости от величины перепада давления Δp на длине канала L возможны три различные схемы течения.

Если перепад давления не превышает некоторого порогового значения Δp1, т.е выполняется условие

Eqn14.wmf (1)

то Eqn15.wmf, и всюду внутри канала суспензия демонстрирует псевдопластическое поведение. Такая схема течения условно называется первой схемой течения.

Вторая схема течения имеет место в случае, когда выполняется условие

Eqn16.wmf

где τ2 – константа реологической модели суспензии, представляющая собой предельное значение касательного напряжения, достигаемого при Eqn17.wmf. Для второй схемы течения характерным является то, что в канале можно выделить две зоны течения. В первой зоне жидкость по-прежнему демонстрирует псевдопластическое поведение, а во второй проявляет дилатантные свойства. Граница раздела между этими зонами представляет собой цилиндрическую поверхность некоторого радиуса Rμ1 < R. Естественно, что на этой границе должно выполняться условие Eqn18.wmf. При этом первая зона в поперечном сечении канала занимает область в форме круга радиуса Rμ1, а вторая зона – кольцо Rμ1 < r < R .

Третья схема течения отличается от двух предыдущих тем, что в окрестности стенки канала формируется третья зона, заполненная материалом «отвердевшей» жидкости. Граница раздела второй и третьей зон представляет собой цилиндрическую поверхность некоторого радиуса Rμ2, который удовлетворяет условию Rμ1 < Rμ2 < R.

Рассмотрим задачу о конвективном теплопереносе в цилиндрическом канале неньютоновской жидкости рассматриваемого типа с учетом диссипации механической энергии для первой схемы течения в случае, когда выполняется условие (1). Будем предполагать, что на стенках канала для температуры выполняются граничные условия первого рода.

Введем цилиндрическую систему координат традиционным образом. Уравнение конвективного теплопереноса [3] в цилиндрическом канале с учетом диссипации в безразмерном виде может быть представлено в виде

Eqn19.wmf (2)

Eqn20.wmf Eqn21.wmf Eqn22.wmf Eqn23.wmf

Здесь и далее верхним штрихом обозначены безразмерные величины, полученные с учетом соотношений

Eqn24.wmf Eqn25.wmf Eqn26.wmf Eqn28.wmf

Eqn29.wmf Eqn30.wmf Eqn31.wmf

Eqn32.wmf Eqn33.wmf Eqn34.wmf

Eqn35.wmf

Eqn36.wmf

Eqn37.wmf Eqn38.wmf Eqn39.wmf

где T = T(r, z) – температура жидкости в канале, представляющая собой неизвестную функцию радиальной r и продольной z координат; u = u(r) – распределение скорости в канале; um – средняя по сечению скорость; S1, S2 – параметры уравнения, определяемые через основные критерии подобия; p, τrz – давление и касательное напряжение соответственно; p0 – давление жидкости на выходе из канала; T**, T*, us, μs – некоторые характерные значения температуры среды в канале, а также скорости жидкости и динамической вязкости, принимаемые в качестве масштабных; B – параметр реологической модели; ρ, c, λ – принимаемые постоянными плотность, теплоемкость, теплопроводность среды соответственно; G, Pr, Ec, Re, La – геометрический критерий подобия, а также критерии подобия Прандтля, Эккерта, Рейнольдса и Лагранжа соответственно.

В уравнении (1) полагали, что учет конвективной составляющей теплопереноса допустимо проводить на основе средней по сечению канала скорости Eqn40.wmf течения среды в канале, которая определяется следующим образом [2]

Eqn41.wmf

Запишем граничные условия задачи

r′ = 0; Eqn42.wmf r′ = 1; Eqn43.wmf z′ = 0;

Eqn44.wmf Eqn45.wmf Eqn46.wmf (3)

где T0 – температура жидкости на входе в канал; Tw – принимаемая постоянной температура стенки канала.

Решая уравнение (1) с учетом (3), можно показать, что распределение температуры в канале определяется следующим образом

Eqn47.wmf (4)

где J0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; εj – корни характеристического уравнения J0(ε) = 0; Cj – коэффициенты разложения.

В (4) для краткости записи приняты следующие обозначения

Eqn48.wmf (5)

Eqn49.wmf

Eqn50.wmf

Коэффициенты разложения Cj в (4) с учетом свойства ортогональности базисных функций определяются из выражений

Eqn51.wmf j = 1, 2, ...,; и(6)

где J1 – функция Бесселя первого рода первого порядка.

Для оценки влияния основных параметров модели на характеристики диссипативного разогрева жидкости при ее течении в цилиндрическом канале были проведены численные эксперименты на ЭВМ. В качестве примера на рис. 1 представлено распределение безразмерной температуры по радиальной координате в различных поперечных сечениях канала для следующего набора основных параметров системы: G = 0,01; Pr = 1,295∙106; Ec = 2,606∙10–6; Eu = 151,171; Re = 2,646; La1 = 605,04; Eqn52.wmf; B = 0,322; Eqn53.wmf; Eqn54.wmf Из представленных на этом рисунке данных видно, что распределение температуры не является монотонным. При этом в окрестности стенки канала температурный профиль имеет экстремум типа максимума.

pic_10.wmf

Рис. 1. Распределение безразмерной температуры по радиальной координате при La = 400 для z′ = 0,2 (1); 0,4 (2); 0,6 (3); 0,8 (4); 1,0 (5)

Влияние критерия подобия Лагранжа на распределение температуры в выходном сечении канала при том же наборе прочих исходных параметров системы представлено на рис. 2. Как и следовало ожидать, увеличение критерия подобия Лагранжа приводит для выходного сечения канала к возрастанию как температуры вообще, так и ее пикового значения в частности.

pic_11.wmf

Рис. 2. Распределение безразмерной температуры в выходном сечении канала (z′ = 1) при следующих значениях критерия подобия Лагранжа: La = 200 (1); 300 (2); 400 (3); 500 (4); 600 (5)

Полученные результаты могут быть использованы при моделировании течения неньютоновских жидкостей с соответствующими реологическими свойствами в проточных элементах технологического оборудования.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-08-00629.

Рецензенты:

Шашкин А.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Математический и прикладной анализ», ГОУ ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный университет», г. Воронеж;

Буховец А.Г., д.т.н., профессор кафедры «Прикладная математика и применение математических методов в экономике», ГОУ ФБГОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет им. императора Петра I», г. Воронеж.

Работа поступила в редакцию 01.08.2013.


Библиографическая ссылка

Колодежнов В.Н., Капранчиков С.С., Веретенников А.С. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИССИПАТИВНОГО РАЗОГРЕВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ДЛЯ ЖИДКОСТИ, ДЕМОНСТРИРУЮЩЕЙ ПРОЯВЛЕНИЕ ЭФФЕКТА «ОТВЕРДЕВАНИЯ», ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ПЕРВОЙ СХЕМЫ ТЕЧЕНИЯ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10-1. – С. 21-24;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=32207 (дата обращения: 18.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074