Известно, что для нелинейных стохастических систем, а также для систем, на входах которых действуют сигналы с нелинейной структурой, использование корреляционных функций часто не приводит к желательным результатам, поскольку корреляционные функции не являются исчерпывающими характеристиками связи между случайными процессами [4, 5] и могут обращаться в нуль даже тогда, когда существует детерминированная зависимость между входным и выходным процессами системы.
Для устранения негативных явлений, возникающих в этих случаях, предлагается использовать аппарат дисперсионных функций [4, 5].
Однако, как показано в [2, 3], дисперсионные меры связи хотя и являются более мощным статистическим аппаратом, чем корреляционные функции, также как и корреляционные функции не являются состоятельными мерами связи между случайными процессами. Поэтому в работе предлагается состоятельный метод, основанный на использовании обобщенных корреляционных функций и функциональной корреляции и идеях статистической линеаризации.
Метод многоступенчатой идентификации
Рассмотрим линейный статический многомерный объект, выходная переменная Y которого зависит от вектора наблюдаемых входных факторов 
и вектора ненаблюдаемых или наблюдаемых с большим запаздыванием входных факторов Z = (Z1, ..., Zm). Согласно поставленной задаче, будем предполагать, что значения ненаблюдаемых входных факторов Z1, ..., Zm, соответствующие синхронным значениям сигнала на выходе объекта, достаточно хорошо представляются в виде некоторых функций от наборов косвенных показателей или же процессами авторегрессии.
Ввиду того, что процесс авторегрессии является частным случаем регрессии одного случайного процесса относительно других случайных процессов, будем считать в дальнейшем, что значения ненаблюдаемых входных переменных представимы в виде функций от некоторых наборов наблюдаемых косвенных показателей.
Как известно, наилучшим приближением зависимой случайной величины через независимые переменные в смысле критерия минимума средней квадратической ошибки является условное математическое ожидание. Поэтому будем полагать, что ненаблюдаемые (наблюдаемые с запаздыванием) входы Z1, ..., Zm достаточно хорошо представляются своими условными математическими ожиданиями относительно векторов косвенных показателей 
т.е.
(1)
Ограничения типа линейности на регрессию 
не накладываются.
Ненаблюдаемые входы Z1, ..., Zm, прогнозируемые с помощью уравнений (1), будем называть факторными переменными, а уравнения (1) – промежуточными факторами. Факторы Z1, ..., Zm, используя терминологию предикторного управления, можно называть предикторными факторами.
Частными случаями уравнения (1) являются уравнения линейной регрессии:
Уравнения регрессий (1) можно получить, используя известные методы.
Выбор наборов косвенных переменных для прогноза соответствующих ненаблюдаемых параметров осуществляется на основе алгоритмов выбора информативных переменных методов факторного анализа. В наборы косвенных переменных могут входить и наблюдаемые входные факторы – 
и наоборот.
Уравнение основной математической модели для прогнозирования выходной переменной объекта будем искать в классе линейных моделей вида
(2)
где b0, bi, i = 1, ..., n, ..., n + m – неизвестные параметры.
При решении практических задач во многих случаях удобнее пользоваться нормированными статистическими характеристиками анализируемых случайных величин и процессов. При этом упрощаются вычисления и становится более наглядным анализ влияния отдельных входных факторов на прогнозируемую выходную величину.
Выразим все переменные и зависимости между ними в стандартизованном масштабе по формулам
. (3)
При этом уравнение модели (2) примет вид
, (4)
где 
– коэффициенты стандартизированной модели ‒ находятся из условия квадратичного минимума функционала
(5)
которое приводит к системе из n + m линейных уравнений относительно n + m неизвестных параметров модели (4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
где 
i, j = 1, ..., n – коэффициент корреляции между случайными величинами Xi, Xj; 
– коэффициент корреляции между Xi и Y;
– нормированные значения соответствующих дисперсионных функций;
– корреляционный момент случайных величин Xiи Xj, а – корреляционный момент между сигналами на выходе и i-м входе объекта; 
; 
– различные типы дисперсионных функций (моментов).
Решение системы (6) может быть записано в виде
i = 1, ..., n + m, (7)
где
(8)
– определитель системы (6); 
– определитель, получающийся из 
заменой в нем соответствующего столбца столбцом свободных членов системы (6).
В (8) T – знак транспонирования, а матрицы K, θ и θ*равны
.
При записи определителя 
в форме (8) учтено то обстоятельство, что матрицы системы уравнений (6), а также матрицы K и θ*являются симметричными. Этот факт легко следует из определений и свойств корреляционных и дисперсионных функций.
Следует заметить, что матрица системы (6) отличается от корреляционной матрицы системы нормальных уравнений, получающейся в результате применения МНК к стандартной задаче идентификации тем, что ее элементами являются не только коэффициенты корреляции, но и нормированные дисперсионные функции, а на главной диагонали, кроме единиц, стоят элементы 
. Дело в том, что нормированная взаимная дисперсионная функция 
равна единице в том и только том случае, когда между случайными величинами Z и 
существует точная функциональная зависимость. Очевидно, что при решении практических задач надо стремиться к тому, чтобы мера определенности прогноза случайной величины Z при помощи набора косвенных показателей ξ1, ..., ξk была близка к единице, т.е. 
.
Используя матричные обозначения, уравнение модели представим в виде
YM = VB, (9)
где 
– [N×1] матрица значений выходной переменной модели; N – число наблюдений;
– [(n + m)×1] матрица параметров модели;
– [N×(n + m)] блочная матрица наблюдаемых и прогнозируемых значений входных сигналов;
– [N×n] матрица значений наблюдаемых факторов X1, ..., Xn;
– [N + m] матрица прогнозируемых значений входных факторов Z1, ..., Zm.
Функционал (4) можно записать в виде
J = ETE, (10)
где 
– [N×1]матрица невязок,
E = YM – Y.
Минимизируя (10) по всем компонентам вектора параметров B и используя при этом стандартную процедуру минимизации квадратичного функционала, получим уравнение для определения вектора параметров модели (9).
VTVB = VTY, (11)
где
– [N×1] матрица значений выходной переменной модели; N – число наблюдений; T – знак транспонирования.
Решение матричного уравнения (11) в предположении невырожденности матрицы (VTV) имеет вид
B = (VTV)–1VTY. (12)
Предикторные переменные в факторном анализе
В классическом факторном анализе основным предположением связи переменных является равенство
X = LF + E, (13)
где X – вектор-столбец наблюдаемых переменных размерности p×1; L – p×k матрица факторных нагрузок; F – k×1 вектор-столбец факторов (k < p); E – p×1 вектор-столбец остатков, которые предполагаются независимыми как между собой, так и с факторами. Дисперсии остатков (или остаточные дисперсии) образуют матрицу V.
Уравнение (13) постулирует основные предположения факторного анализа о том, что множество наблюдаемых коррелированных переменных X, которые подчиняются многомерному нормальному распределению с корреляционной матрицей C размерности p×p, можно описать меньшим числом гипотетических переменных или факторов F и множеством независимых остатков E.
Рассмотрим модель объекта с выходом Y и входом X = (X1, ..., Xp). Если p велико, возникает желание уменьшить размерность модели, выразив ее входы через меньшее количество k < p некоторых переменных F. Таким образом, получаем схему факторного анализа. Построение модели Y непосредственно по переменным F невозможно, т.к. они являются гипотетическими (ненаблюдаемыми). Однако эти переменные могут быть выражены через наблюдаемые переменные X следующим образом: 
– для некоррелированных факторов и 
– для коррелированных факторов, где P – оцененная корреляционная матрица факторов.
Модель объекта будем искать в виде
(14)
где B – вектор-столбец неизвестных коэффициентов размерности k×1. Коэффициенты вектора определим из условия минимума среднеквадратического критерия, т.е. таким образом, чтобы функционал 
принимал минимальное значение.
Подставляя (14) в 
и дифференцируя полученное выражение по В, придем к уравнению
(15)
Решая (15) с учетом 
, получим
(16)
где 
– матрица размерности k×p, а матрицы Kxx и Kxy определяются соответственно формулами:
(17)
Для коррелированных факторов получим
(18)
Следует отметить, что (16) и (18) получены при условии линейной связи между факторами и входными переменными. Если эта связь нелинейна, то в (16) и (18) вместо (17) будут входить матрицы, элементами которых являются дисперсионные функции.
Заключение
Следует заметить, что в постановке задачи и при выводе конечных результатов предполагалось, что прогнозируемые входные факторы зависят от разных векторов косвенных показателей. В частном случае ненаблюдаемые входные сигналы могут определяться одним и тем же набором косвенных факторов.
Предложенный метод использовался для моделирования загрязнения и хронических заболеваний в Хабаровском крае [1].
Рецензенты:
Гордеев Л.С., д.т.н., профессор кафедры «Кибернетика химико-технологических процессов» Российского химико-технологического университета им Д.И. Менделеева, г. Москва;
Комиссаров Ю.А., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Электротехника и электроника» Российского химико-технологического университета им Д.И. Менделеева, г. Москва.
Работа поступила в редакцию 06.08.2013.
Библиографическая ссылка
Дургарян И.С., Лясковская И.В., Пащенко А.Ф., Пащенко Ф.Ф. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10-3. – С. 499-503;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=32307 (дата обращения: 19.04.2024).