Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ

Денисова М.Ю. 1 Киндер М.И. 1
1 ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. В статье в n-мерном евклидовом пространстве строятся фундаментальные решения дифференциального уравнения 2m-го порядка с сингулярным оператором Бесселя, действующим по последней переменной. Для получения фундаментального решения данного уравнения с особенностью в произвольной точке применяется оператор обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения применяются к исследованию краевых задач с условиями типа четности на характеристической части границы. Выводятся формулы Грина. С помощью формул Грина доказывается единственность поставленных задач. Строятся потенциалы и даны формулы скачков для этих потенциалов, для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.
сингулярный оператор
дифференциальное уравнение
полигармоническое уравнение
1. Денисова М.Ю. Интегральное представление решения В-полигармонического уравнения // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 6; URL: www.science-education.ru/106-7417 (дата обращения: 27.09.2013)
2. Киприянов И.А., Кононенко В.И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений//Дифференц. уравнения.–1967.–Т.3.№ 1.–С.114-129.
3. Панич О.И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем.сб. – 1960. – Т. 50, № 3.–С. 335–368.
4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. –Ч.3. – Душанбе, 1982. – 171 с.
5. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalired potential theory // Trans. Am. Math.Soc. – 1948. – № 63. – P. 342–354.

Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и др.

Пусть denis01.wmf – полупространство xn > 0 евклидова пространства En точек x = (x1, x2, ..., xn). Пусть G – конечная область в denis02.wmf, симметричная относительно плоскости xn = 0 и ограниченная поверхностью G. Обозначим через denis03.wmf часть G, расположенную в denis04.wmf. Граница области G+ разбивается G(0) и G+, расположенные соответственно на плоскости xn = 0 и в полупространстве xn > 0. Поверхность G+ является поверхностью класса Λm,B, когда G ∈ Λm [3]. Через denis05.wmf обозначим область denis06.wmf, denis07.wmf – ее граница, расположенная на плоскости xn = 0.

Рассмотрим внутреннюю (внешнюю) краевую задачу: найти четное по xn решение уравнения

denis08.wmf (1)

в области denis09.wmf, (2m – 1) раз непрерывно дифференцируемое в denis10.wmf и удовлетворяющее граничным условиям

denis11.wmf

и в случае внешней задачи удовлетворяющее на бесконечности условиям, обеспечивающим ее единственность. Здесь denis12.wmf, если l = 2p и denis13.wmf, если l = 2p + 1, nξ – внешняя нормаль к границе G+ в точке ξ, denis14.wmf, denis15.wmf – оператор Бесселя, k – любое положительное число, m > 2. Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением.

Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид

denis17.wmf

где denis18.wmf γ = n + k.

Значения denis19.wmf и denis20.wmf выберем таким образом, чтобы

denis21.wmf (2)

и

denis22.wmf (3)

для любой четной по xn бесконечно дифференцируемой и финитной в denis23.wmf функции ϑ(x).

Можно проверить, qm удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях denis24.wmf и denis25.wmf:

denis26.wmf

denis28.wmf

С помощью непосредственного подсчета получаем, что

denis29.wmf

Для получения фундаментального решения с особенностью в произвольной точке ξ применим к функции qm(x) оператор обобщенного сдвига denis30.wmf [4]:

denis31.wmf

где denis32.wmf

Так как операторы denis33.wmf и ΔB коммутируют, то в силу формальной самосопряженности оператора denis34.wmf из формулы (3) следует, что

denis35.wmf

Пусть u и ω четные по xn функции класса denis36.wmf. Тогда имеют место тождества

denis37.wmf (4)

denis38.wmf (5)

при четном m, и

denis39.wmf (6)

когда m – нечетное число.

Нам понадобятся, для четных по xn функций denis40.wmf, первая формула Грина

denis41.wmf (7)

и вторая формула Грина

denis42.wmf (8)

Интегрируя обе части тождеств (4), (5), (6) по области G+ и пользуясь формулой (8) получим обобщенные формулы Грина

denis43.wmf (9)

для всех четных m и

denis44.wmf (10)

когда m – нечетное число, а также имеет место формула

denis45.wmf denis46.wmf (11)

где denis47.wmf, если l = 2p и denis48.wmf, если l = 2p + 1, nξ – внешняя нормаль к границе G+ в точке ξ.

Теорема. Задача (1), (2) в классе denis49.wmf не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть ω(x) – разность двух предполагаемых решений. Тогда эта функция в области denis50.wmf удовлетворяет уравнению (1), на границе G+ однородным краевым условиям

denis51.wmf (12)

Очевидно, что

denis52.wmf

Пусть m – четное число. В силу формулы (9) и условий (12) следует, что

denis53.wmf в G+ (13)

denis54.wmf (14)

С помощью первой формулы Грина (7) можно установить, что задача (13), (14) имеет только нулевое решение, то есть ω ≡ 0.

Пусть теперь m – нечетное число. С учетом (10) и начальных условий (12), будем иметь

denis55.wmf

Таким образом, получили две задачи

denis56.wmf в G+

denis57.wmf

и

denis58.wmf в G+,

denis59.wmf

которые аналогичны задаче (13), (14) следовательно ω ≡ 0. Теорема доказана.

Как было показано в работе [1], имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):

denis60.wmf (15)

Отсюда при j = 0 имеем, что

denis61.wmf

Введем в рассмотрение потенциалы

denis62.wmf denis63.wmf (16)

denis64.wmf denis65.wmf

Формулу (15) с помощью этих потенциалов можно записать в виде

denis66.wmf (17)

в том числе при j = 0

denis67.wmf (18)

где denis68.wmf для всех denis69.wmf denis70.wmf C помощью перенумерации потенциалы в формуле (18) расположим в порядке возрастания индексов их плотностей. В результате мы имеем

denis71.wmf (19)

где denis72.wmf. Тогда формулы (17) и (18) примут вид

denis73.wmf (20)

denis74.wmf (21)

Выпишем формулы скачка потенциалов Wℓ(x, χℓ)

denis75.wmf

denis76.wmf

denis77.wmf

denis78.wmf

при этом z ∈ G+, индекс i – означает предел из denis79.wmf; e – предел из denis80.wmf, волна – прямое значение. Отсюда и из формулы (2) следует

denis81.wmf

denis82.wmf

Заключение

В работе исследуются краевые задачи для В-полигармонического уравнения 2m-порядка в n-мерном случае. Доказывается единственность поставленных задач. Строятся потенциалы и даны формулы скачков для этих потенциалов, необходимые для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.

Рецензенты:

Мухлисов Ф.Г., д.ф.-м.н., профессор, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань;

Сушков С.В., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань;

Кульбачинский В.А., д.ф.-м.н., профессор, кафедра физики низких температур и сверхпроводимости, физический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва;

Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Нижний Новгород.

Работа поступила в редакцию 30.12.2013.


Библиографическая ссылка

Денисова М.Ю., Киндер М.И. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 11-7. – С. 1328-1332;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=33339 (дата обращения: 22.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074