Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПЕРВОГО РОДА

Айсагалиев С.А. 1 Иманкул Т.Ш. 1 Султанбекова Э.А. 1
1 Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Математической моделью динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством является класс обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых содержит периодические функции от части фазовых координат системы, называемых угловыми. Фазовые системы обладают следующими особенностями: во-первых, они имеют счетное множество положений равновесия; во-вторых, в таких системах кроме обычных предельных циклов (первого рода) могут быть предельные циклы второго рода, связанные с периодичностью правой части дифференциального уравнения по угловым координатам; в-третьих, эти системы имеют специфическую форму движения – круговые движения, порожденные сохранением знака угловой координаты. Проблемы управляемости и оптимального управления фазовыми системами с закрепленными концами траекторий относятся к новым направлениям в теории фазовых систем. В работе периодические движения рассматриваются как решения краевых задач для фазовых систем. Путем введения искусственных управляющих воздействий эти краевые задачи погружаются в соответствующие задачи управляемости. Далее на основе созданной авторами теории управляемости краевые задачи управляемости сводятся к соответствующим задачам оптимального управления со свободными правыми концами траекторий и специфическими функционалами, связанными с особенностями краевых задач [1–5]. Для получения необходимого и достаточного условия существования предельных циклов доказан ряд лемм, позволяющих получить оценки несобственных интегралов вдоль решений фазовой системы.
динамические системы
фазовое пространство
предельные циклы первого рода
принцип погружения
1. Айсагалиев С.А., Абенов Б.К., Иманкул Т.Ш. Алгебраические критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем // Вестник Казахского национального университета (серия математика, механика, информатика). – 2002. – № 2. – С. 58–66.
2. Айсагалиев С.А., Айпанов Ш.А., Иманкул Т.Ш. Предельные циклы в динамических системах с цилиндрическим фазовым пространством // Математический журнал. Алматы. – 2011. –№ 3,4 (41, 42). – С. 3–12.
3. Айсагалиев С.А., Айпанов Ш.А., Иманкул Т.Ш. Управляемость динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством // Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. – 2011. – № 1. – С. 40–47.
4. Айсагалиев С.А., Иманкул Т.Ш. Глобальная асимптотическая устойчивость динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством. // Вестник Казахского национального университета (серия математика, механика, информатика). – 2004. – № 4. – С. 20–39.
5. Иманкул Т.Ш. Принцип погружения в управляемости многомерных фазовых систем // Вестник Казахского национального университета (серия математика, механика, информатика). – 2008. – № 4. – С. 106–110.

Рассмотрим класс обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида

ajsag01.wmf (1)

где A, B, C, R – постоянные матрицы порядков n×n, n×m, m×n, m×m соответственно, функция φ(σ, t) = (φ1(σ, t), ..., φm(σ, t)) является периодической по σ и непрерывной по совокупности аргументов (σ, t), f1(t), μ1(t) – заданные непрерывные вектор-функции размерностей n×1 и m×1 соответственно.

Определение. Говорят, что система (1) имеет периодическое решение, если существует число T > 0 такое, что x(t) = x(t + T), σ(t) = σ(t + T) для любого t ≥ 0. Такое периодическое решение часто называют предельным циклом первого рода.

Ставится следующая задача: найти необходимые и достаточные условия существования предельных циклов первого рода в системе (1).

Постановка задачи

Рассмотрим решение задачи для системы дифференциальных уравнений (1), когда φ(σ, t) является заданной периодической функцией по σ. Полагаем, что функция φ(σ, t) удовлетворяет условию Липшица по σ и непрерывна по совокупности аргументов (σ, t) ∈ Rm×I, I = [0, ∞). Функции f(t), μ(t) непрерывны по t, t ≥ 0. Введем обозначения:

ajsag02.wmf

где ajsag03.wmf, ajsag04.wmf, P1, P2 – постоянные матрицы порядков (m + n)×(m + n), (m + n)×m, n×(n + m), m×(n + m), n×(n + m), m×(n + m), соответственно, In, Im – единичные матрицы порядков n×n, m×m соответственно.

Теперь уравнение (1) запишется в виде

ajsag05.wmf (2)

Предположим, что система (2) имеет периодическое решение η*(t) = η*(t + T*), ∀t ≥ 0, где T* – период. Тогда вдоль периодического решения выполняется равенство

ajsag06.wmf

Пусть значение ajsag07.wmf. Тогда ajsag08.wmf Поскольку периодическое решение определяется значениями фазовых координат в пределах периода, то для построения периодического решения следует рассмотреть значения t ∈ I* = [0, T*].

Рассмотрим общий случай, когда имеются фазовые ограничения следующего вида

ajsag09.wmf (3)

где ajsag10.wmf δ(t) = (δ1(t); ..., δr(t)), t ≥ 0 – заданные непрерывные функции, F(η, t) – непрерывная по совокупности аргументов (η, t) вектор-функция, F(η, t) = (F1(η, t), ..., Fr(η, t)).

Ставится следующая задача: Найти необходимые и достаточные условия существования T* – периодического решения системы (2), (3).

Принцип погружения

Основой предлагаемого подхода к решению задачи является принцип погружения, который позволяет свести исходную задачу к задаче оптимального управления со свободными правыми концами траекторий.

Рассмотрим управляемую систему следующего вида

ajsag11.wmf (4)

ajsag12.wmf (5)

где η0 ∈ Rn+m – неизвестный вектор; T – неизвестный момент времени.

Введем следующие обозначения

ajsag13.wmf (6)

ajsag14.wmf (7)

ajsag15.wmf (8)

ajsag16.wmf (9)

ajsag17.wmf (10)

ajsag18.wmf (11)

Лемма 1. Если ранг матрицы

ajsag19.wmf

равен m + n, то матрица W(0, T) положительно определенна для любого T > 0.

Доказательство. Легко убедиться в том, что ранг блочной матрицы ajsag20.wmf равен рангу матрицы Q. В самом деле, поскольку

ajsag21.wmf

то ajsag22.wmf

Если ajsag23.wmf, то система алгебраических уравнений относительно z, определяемая выражением

ajsag24.wmf (12)

имеет единственное решение z = 0. Поскольку для любого t матрица

ajsag25.wmf

где функции αk(t), ajsag26.wmf линейно независимы, то соотношение (12) равносильно следующему уравнению относительно z

ajsag27.wmf (13)

которое также имеет единственное решение z = 0. Теперь рассмотрим квадратичную форму

ajsag28.wmf

Так как z*W(0, T)z ≥ 0, ∀z, и она обращается в нуль тогда и только тогда, когда z = 0, то квадратичная форма z*W(0, T)z > 0 для любого z ∈ Rn+m, z ≠ 0. Следовательно, матрица W(0, T) > 0. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть rangQ = m + n. Тогда управление u(∙) ∈ L2(I, Rm) переводит траекторию системы (4), (5) из любого начального состояния y(T) = η0 ∈ Rn+m в состояние y(T) = η0 ∈ Rn+m тогда и только тогда, когда

ajsag29.wmf (14)

где функция z(t) = z(t, v(∙)), t ∈ I0 является решением дифференциального уравнения

ajsag30.wmf (15)

v(∙) ∈ L2(I, Rm). (16)

Решение дифференциального уравнения (4) при условии (5), соответствующее уравнению u(t) ∈ U, определяется по формуле

ajsag31.wmf (17)

Доказательство. Решение дифференциального уравнения (4), исходящее из точки y(0) = η0, запишется так

ajsag32.wmf (18)

Отсюда при ajsag33.wmf имеем

ajsag34.wmf

Тогда искомое управление u(t), для которого y(T) = η0, является решением следующего уравнения

ajsag35.wmf (19)

Так как матрица ajsag36.wmf неособая, то после умножения правой и левой части (19) на ajsag37.wmf получим

ajsag38.wmf (20)

Множество всех управлений u(∙) ∈ L2(I, Rm), удовлетворяющих условию (20), обозначим через V, т. е.

ajsag39.wmf (21)

Заметим, что множество V содержит те и только те управления, которые переводят траекторию системы (4) из начального состояния y(0) = η0 в состояние y(T) = η0, где η0 ∈ Rn+m – любой вектор.

Теорема утверждает, управление u(t) принадлежит множеству (21) тогда и только тогда, когда оно является элементом множества U, т.е. что V = U.

Таким образом, общее решение интегрального уравнения (20) определяется соотношением (14).

Докажем, что V = U. Для этого достаточно показать, что: U ⊆ V и V ⊆ U. Покажем, что U ⊆ V. В самом деле, если u(t) ∈ U, то, как следует из соотношения (14), значение интеграла

ajsag40.wmf (22)

Так как (см. (15), (16))

ajsag41.wmf

то ajsag42.wmf (23)

Интеграл (см. (7))

ajsag43.wmf (24)

Последнее слагаемое из (22) с учетом соотношения (8) запишется в виде

ajsag44.wmf (25)

Теперь соотношение (25) с учетом выражений (26)–(28) запишется так

ajsag45.wmf (26)

Из (26) следует, что управление u(t) ∈ U принадлежит множеству V. Итак, любое управление u(t) ∈ U является элементом множества V. Это означает, что множество U ⊆ V.

Покажем, что V ⊆ U. Пусть u*(t) ∈ V – любое управление из V, т.е.

ajsag46.wmf (27)

Рассмотрим соотношение (14), где v(∙) ∈ L2(I, Rm) – произвольная функция. Выберем v(t) = u*(t) ∈ L2(I, Rm). Тогда

ajsag47.wmf (28)

где функция z(t, u*), t ∈ I0 является решением дифференциального уравнения

ajsag48.wmf (29)

Решение дифференциального уравнения (29) имеет вид

ajsag49.wmf

Отсюда при t = T с учетом (29) получим

ajsag50.wmf (30)

Как следует из формул (6)–(8), (30),

ajsag51.wmf

ajsag52.wmf

Теперь соотношение (28) запишется в виде

ajsag53.wmf

Таким образом, любая функция u*(t) ∈ V является элементом множества U. Следовательно, V ⊆ U. Из включений U ⊆ V, V ⊆ U следует, что U = V. Первое утверждение теоремы доказано.

Подставляя значение u(t) ∈ U из соотношения (14) в правую часть выражения (18) с учетом равенства W(0, T) = W(0, t) + W(t, T) получим представление решения системы (2) в виде (17). Теорема доказана.

Вдоль периодического решения системы (2) выполнено тождество P(t) = P(t + T*), t ≥ 0. Данное тождество запишется в виде

ajsag54.wmf

Отсюда, с учетом того, что η*(t) = η*(t + T*), t ≥ 0, имеем

ajsag55.wmf

В частности, для значений t ∈ I* = [0, T*] данное тождество записывается в виде

ajsag56.wmf

С учетом особенности периодических решений, исходная задача может быть записана в виде

ajsag57.wmf (31)

ajsag58.wmf (32)

ajsag59.wmf (33)

В дальнейшем будем рассматривать краевую задачу (31)–(33).

Лемма 2. Пусть rangQ = n + m. Тогда краевая задача (31)–(33) равносильна следующей задаче:

ajsag60.wmf (34)

ajsag61.wmf (35)

ajsag62.wmf (36)

ajsag63.wmf (37)

ajsag64.wmf (38)

где функция y(t) = y(t; 0, η0), t ∈ I0 определяется по формуле (19).

Доказательство. Как следует из теоремы 1, для краевой задачи (4), (5) множество всех управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы из η0 в η0 за время T определяется по формуле (14). Сравнивая краевые задачи (4) и (30), можно убедиться в том, что управление u(t) ∈ U равно φ(P2y, t), t ∈ I0. При выполнении тождества (34) имеет место равенство η(t) = y(t), t ∈ I0. Следовательно, фазовое ограничение (3) запишется в виде (35). Для существования предельного цикла первого рода необходимо выполнение равенства (33). Теперь соотношение (33) запишется в виде (36). Из теоремы 1 следует, что функция y(t), t ∈ I0 имеет вид (17), где функция z(t), t ∈ I0 является решением дифференциального уравнения (37) при условии (38). Лемма доказана.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал

ajsag65.wmf (39)

при условиях

ajsag66.wmf (40)

ajsag67.wmf (41)

ajsag68.wmf (42)

Вводя обозначения

ajsag69.wmf

ajsag70.wmf

функционал (37) можно представить в виде

ajsag71.wmf

где функция y(t), t ∈ I0 определяется по формуле (17),

ajsag72.wmf

Обозначим через

ajsag73.wmf

Допустимым управлением для задачи (39)–(42) является четверка ξ = (v, w, η0, T) ∈ X, а соответствующей этому управлению траекторией будет функция z(t) = z(t, v), t ∈ I0.

Следует отметить, что:

1) функционал J(ξ) = J(v, w, η0, T), ξ ∈ X ограничен снизу, так как J(ξ) ≥ 0 ∀ξ ∈ X;

2) задача (39)–(42) является задачей оптимального управления со свободными правыми концами траекторий с нестандартным функционалом;

3) в отличие от исходной задачи, уравнение движения системы является линейным.

Пусть

ajsag75.wmf

ajsag76.wmf

Теорема 2. Пусть rangQ = n + m, множество X* ≠ ∅. Для того, чтобы краевая задача (31)–(33) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы значение J(ξ*) = J* = 0, где ξ* ∈ X – оптимальное управление для задачи (39)–(42). Если J* = J(ξ*) = 0, то функция

ajsag77.wmf (43)

удовлетворяющая условию P(t) = P(t + T*), ∀t ≥ 0, является периодическим решением системы (2), (3).

Доказательство. Заметим, что значение функционала J* = J(ξ*) = 0 тогда и только тогда, когда выполнены тождества

ajsag78.wmf

ajsag79.wmf

ajsag80.wmf

где

ajsag81.wmf

Из включения F(y*(t), t) ∈ W следует, что

ajsag82.wmf

Таким образом, при J(ξ*) = 0 выполнены соотношения (34)–(38). Более того, найдено решение системы (34)–(38) v = v*(t), ajsag83.wmf T = T*, z(t) = z(t, v*), t ∈ I. Согласно утверждениям леммы 2, уравнения (34)–(38) равносильны краевой задаче (31)–(33). Следовательно, краевая задача (31)–(33) имеет решение. Верно и обратное утверждение, т.е. если краевая задача (31)–(33) имеет решение, то значение J(ξ*) = 0. Более того, решение краевой задачи (31)–(33), функция η*(t) = y*(t) t ∈ I*, t ∈ I*.

Заметим, что функция η*(t) = y*(t) t ∈ I*, t ∈ I* будет периодическим решением системы (2), (4), если

ajsag84.wmf

Теорема доказана.

Заметим, что:

1) если ajsag85.wmf то независимо от того, пусто или не пусто множество X*, краевая задача (31)–(33) не имеет решения. Следовательно, исходная система (2), (4) не имеет периодического решения;

2) осуществлен последовательный переход от исходной задачи для системы (2), (3) к краевой задаче (31)–(33) и от нее к системе (34)–(38);

3) система (34)–(38) равносильна задаче оптимального уравнения (39)–(42).

Рецензенты:

Мухамбетжанов С.Т., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Дифференциальные уравнения и теория управления», Казахский национальный университет имени аль-Фараби, г. Алматы;

Калимолдаев М.Н., д.ф.-м.н., профессор, директор, Институт проблем информатики и управления Республики Казахстан, г. Алматы;

Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Нижний Новгород.

Работа поступила в редакцию 18.03.2014.


Библиографическая ссылка

Айсагалиев С.А., Иманкул Т.Ш., Султанбекова Э.А. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПЕРВОГО РОДА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 5-3. – С. 489-496;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=33903 (дата обращения: 17.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074