Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ САМООРГАНИЗАЦИИ РЫНКА ТРУДА

Семенчин Е.А. 1 Невечеря А.П. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»
В рамках межотраслевой математической модели самоорганизации рынка труда изучена обратная задача: по заданному числу работников в каждой из n отраслей экономики и числу безработных в этих отраслях определить вероятности увольнения работников из этих отраслей и вероятности того, что безработный из одной отрасли найдёт работу в какой-либо другой. Предложена методика решения этой задачи, основанная на интерполировании исходных данных с целью перехода от недоопределённой системы к полностью определённой и с последующим применением регуляризации методом Тихонова с целью подавления погрешностей интерполирования. Рассмотрен пример реализации данной методики на практике: проведён анализ отраслей экономики Российской Федерации в 2010–2011 годы. С высокой точностью были получены оценки указанных выше вероятностей. На основе полученных результатов сделаны выводы о потоках рабочей силы данных отраслей, а также о стабильности состояния рынка труда в рассматриваемые годы.
рынок труда
недоопределённая система
интерполирование
регуляризация Тихонова
1. Невечеря А.П., Семенчин Е.А. Об оценке коэффициентов в математической модели самоорганизации рынка труда // Известия кубанского государственного университета. Естественные науки. – Краснодар: Издательство «КубГУ», 2013. – В. 1(2). – С. 45–48.
2. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для двух отраслей экономики // Экономика и математические методы. – М.: «Наука», 2004. – Т. 40. В. 4. – С. 137–139.
3. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей экономики // Экономика и математические методы. – М.: Наука, 2007. – Т. 43. В. 1. – С. 133–136.
4. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей // Обозрение прикладной и промышленной математики. – М.: Изд-во «ТВП», 2003. – Т. 10, № 3. – С. 740.
5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: «Наука. Главная редакция физико-математической литературы», 1979. – 142 с.
6. Трудовые ресурсы: Федеральная служба государственной статистики [Электронный ресурс]. – URL: http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/wages/ labour_force/# (дата обращения: 31.03.2014).

В настоящее время значительное число исследований в экономике посвящено рынку труда. Однако достаточно общих математических моделей, описывающих этот рынок, существует немного. Одной из таких математических моделей является математическая модель самоорганизации рынка труда [1–4]. Она позволяет установить балансовые соотношения между числом работников, занятых в различных отраслях, числом потенциальных работников в этих отраслях и скоростями их изменения. В данной работе рассмотрены некоторые задачи, возникающие в рамках этой модели.

Математическая модель самоорганизации рынка труда имеет вид [1–4]:

semen01.wmf (1)

semen02.wmf

semen03.wmf semen04.wmf i = 1, 2, ..., n; semen05.wmf j, k = 1, 2, ..., n; (2)

semen06.wmf j = 1, 2, ..., n. (3)

Здесь semen07.wmf – общее число работников, занятых в i-й отрасли в момент времени t; semen08.wmf – число потенциальных работников, которые могут быть привлечены для работы в i-ю отрасль и которые в момент времени t являются безработными; semen09.wmf, semen10.wmf – заданные числа; semen11.wmf – вероятность того, что безработный i-й отрасли в момент времени t может найти работу в j-й отрасли; semen12.wmf – вероятность увольнения работника i-й отрасли в момент времени t.

Соотношения (1) позволяют сформулировать две задачи.

Задача 1. По заданным semen13.wmf, semen14.wmf, semen15.wmf, semen16.wmf, semen17.wmf, определить semen18.wmf, semen19.wmf.

Задача 1 представляет собой задачу построения решения линейной системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (задачу Коши). Эту задачу будем называть прямой задачей в рамках математической модели (1).

Задача 2. По заданным semen20.wmf, semen21.wmf, semen22.wmf, semen23.wmf, j = 1, 2, ..., n, для всех t ∈ [0, ∞) определить semen24.wmf, semen25.wmf, i, j = 1, 2, ..., n.

Задачу 2 будем называть обратной задачей (по отношению к задаче 1) в рамках модели (1).

В прикладных исследованиях, как правило, semen26.wmf, semen27.wmf, j = 1, 2, ..., n, известны (заданы). Поэтому значительный интерес представляет анализ задачи 2. Её решение позволяет определить в момент t доли (вероятности) semen28.wmf, semen29.wmf работников соответственно:

а) уволенных из отрасли j;

б) перешедших из i-й отрасли в j-ю.

Цель данной работы – исследовать задачу 2 при t = 0, 1, 2, ... Время t выбирается дискретным в силу того, что измерения значений semen30.wmf и semen31.wmf возможны, как правило, только в такие моменты.

Конечно-разностный аналог задач (1) имеет вид:

semen32.wmf (4)

Систему (4) можно переписать в векторно-матричном виде:

semen33.wmf (5)

semen34.wmf t = 0, 1, 2, ... (6)

Т – операция транспонирования,

semen35.wmf(7)

Очевидно, система (4) (или, что то же самое, (5)) содержит n2 + n неизвестных semen36.wmf, semen37.wmf, где n – количество отраслей в исследуемой модели, и 2n уравнений, n ≥ 2. Так как при n ≥ 2, n2 + n > 2n, то она всегда является недоопределённой. Доопределим её.

Рассмотрим два случая: n – нечётно, n – чётно.

Пусть n – нечётно. Предположим, что на интервале [t, t + 1] элементы матрицы (7) постоянны, и на этом интервале вместо (4) (т.е. (5)) рассмотрим расширенную систему:

semen38.wmf (8)

j = 1, 2, ..., n; semen39.wmf semen40.wmf

(так как по предположению n – нечётно, n ≥ 2, то semen41.wmf – натуральное).

Значения элементов semen42.wmf, semen43.wmf, semen44.wmf, при каждом j = 1, 2, ..., n в правой части (8) находим по значениям semen45.wmf, semen46.wmf и semen47.wmf, semen48.wmf, используя формулы интерполирования

semen49.wmf

semen50.wmf (9)

j = 1, 2, ..., n; semen51.wmf semen52.wmf;

значения элементов semen53.wmf semen54.wmf j = 1, 2, ..., n, в левой части (8) находим, используя формулы

semen55.wmf

semen56.wmf (10)

j = 1, 2, ..., n; semen57.wmf semen58.wmf.

Легко убедиться, что система (8) является полностью определённой: содержит semen59.wmf уравнений и неизвестных. Её можно представить в векторно-мат- ричном виде

semen60.wmf (11)

где semen61.wmf (12)

Поскольку значения semen62.wmf semen63.wmf semen64.wmf, j = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, найдены интерполированием, то они, очевидно, содержат ошибки интерполяции. Поэтому (8) целесообразно решать методом регуляризации Тихонова [5]:

semen65.wmf α = const > 0, (13)

где α > 0 – коэффициент невязки, компоненты матрицы P (см. (7)) удовлетворяют условиям (2), (3).

Пусть n – чётно. Тогда semen66.wmf (см. (8)) не является натуральным. В этом случае задачу 2 решаем в два этапа:

1. Выбираем одну из данных n отраслей, например, r-ю, r = 1, 2, ..., n, и разбиваем её на две непересекающиеся (то есть не содержащие общих элементов – работников) фиктивные подотрасли r′ и r′ + 1 таким образом, чтобы выполнялись равенства:

semen67.wmf

semen68.wmf

i = 1, 2. (14)

Получаем n + 1 отрасль, n + 1 – нечетно. Находим оценки вероятностей semen69.wmf, semen70.wmf, i, j = 1, 2, ..., n + 1, по описанной выше схеме.

2. Объединяем отрасли r′, r′ + 1 в одну r-ю, воспользовавшись соотношениями (которые можно легко получить с помощью формулы полной вероятности и свойств условных вероятностей):

semen71.wmf

semen72.wmf j = 1, 2, ..., n + 1, j ≠ r′, r′ + 1,

semen73.wmf i = 1, 2, ..., n + 1, i ≠ r′, r′ + 1; (15)

semen74.wmf

Рассмотрим следующий пример. Согласно данным Федеральной службы государственной статистики (http://www.gks.ru) отраслевая экономика России разбивается на 12 отраслей: отрасль № 1 – «Сельское и лесное хозяйство, охота, рыболовство и рыбоводство», № 2 – «Добыча полезных ископаемых», № 3 – «Обрабатывающие производства», № 4 – «Производство и распределение электроэнергии, газа и воды», № 5 – «Строительство», № 6 – «Оптовая и розничная торговля, ремонт автотранспортных средств, мотоциклов, бытовых изделий и предметов личного пользования, гостиницы и рестораны», № 7 – «Транспорт и связь», № 8 – «Финансовая деятельность, операции с недвижимым имуществом, аренда и предоставление услуг», № 9 – «Государственное управление и обеспечение военной безопасности, социальное обеспечение», № 10 – «Образование», № 11 – «Здравоохранение и предоставление социальных услуг», № 12 – «Другие виды экономической деятельности». Распределение населения по отраслям, занятого в производственном процессе в 2010–2011 гг., приведено в табл. 1 [6].

Таблица 1

t

semen81.wmf

semen82.wmf

semen83.wmf

semen84.wmf

semen85.wmf

semen86.wmf

semen87.wmf

semen88.wmf

semen89.wmf

semen90.wmf

semen91.wmf

semen92.wmf

2010

5384,896

1398,674

10629,924

2307,812

5035,227

12238,399

6503,835

5874,431

5664,630

6573,769

5524,763

2727,415

2011

5455,959

1417,132

10628,492

2267,412

5101,676

12754,190

6660,522

6164,525

5455,959

6518,808

5597,672

2834,265

Число безработных, которые могут быть привлечены для работы в каждую из указанных отраслей, оценено с помощью данных об общем числе безработных, данных о потребности организаций в работниках по видам экономической деятельности [6] и представ- лено в табл. 2.

Таблица 2

t

semen93.wmf

semen94.wmf

semen95.wmf

semen96.wmf

semen97.wmf

semen98.wmf

semen99.wmf

semen100.wmf

semen101.wmf

semen102.wmf

semen103.wmf

semen104.wmf

2010

230,083

88,707

731,830

256,695

149,138

424,683

625,382

663,637

171,869

493,431

1474,748

233,964

2011

192,466

78,266

664,032

239,229

136,843

368,196

573,952

552,293

142,750

439,078

1325,602

209,694

Так как число отраслей – чётное (n = 12), разобьём одну из двенадцати отраслей на две фиктивные отрасли. В качестве такой отрасли выберем «Другие виды экономической деятельности» (табл. 3).

Таблица 3

t

semen105.wmf

semen106.wmf

semen107.wmf

semen108.wmf

2010

681,854

2045,561

58,491

175,473

2011

708,566

2125,698

52,424

157,271

Используя (9), (10), вычислим semen75.wmf semen76.wmf m = 0, 1, 2, ..., 6, j = 1, 2, ..., 13, semen77.wmf, semen78.wmf и построим систему (8). Решение (8) находим методом регуляризации, используя соотношения (13), (2), (3) и средство «Поиск решений» программного продукта Microsoft Excel.

В результате проведённых расчётов находим вероятности semen79.wmf (табл. 4) и вероятности semen80.wmf (табл. 5). При этом α = 0,0001, норма выражения (13) равна 37,142 (что указывает на высокую точность полученных результатов – относительная погрешность не превосходит 0,00062).

Таблица 4

j

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12’

13’

1

0,1270

0,0000

0,0510

0,0217

0,0093

0,0000

0,0000

0,0819

0,0004

0,0405

0,0594

0,0000

0,0000

2

0,0000

0,3775

0,0110

0,0018

0,0000

0,0730

0,0807

0,0000

0,0000

0,0000

0,0139

0,0000

0,0000

3

0,0000

0,0000

0,2623

0,0036

0,0037

0,0150

0,0096

0,0000

0,0000

0,0000

0,0182

0,0000

0,0000

4

0,0000

0,0000

0,0000

0,3923

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

5

0,0000

0,0000

0,0331

0,0159

0,1471

0,1016

0,1028

0,0000

0,0000

0,0000

0,0364

0,0000

0,0000

6

0,0000

0,0000

0,1091

0,0589

0,0181

0,0928

0,0955

0,2918

0,0000

0,0315

0,1433

0,0000

0,0000

7

0,0000

0,0000

0,0027

0,0000

0,0000

0,1787

0,0497

0,0000

0,0000

0,0000

0,0012

0,0000

0,0000

8

0,0377

0,0003

0,0615

0,0031

0,0035

0,0436

0,0000

0,0441

0,0050

0,0914

0,0926

0,0000

0,0000

9

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,4074

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

10

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,3161

0,0000

0,0000

0,0000

11

0,0000

0,0000

0,0198

0,0000

0,0000

0,0632

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,1133

0,0000

0,0000

12’

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,7144

0,0000

13’

0,0000

0,0000

0,0778

0,0304

0,0037

0,0770

0,0254

0,0214

0,0000

0,0000

0,0499

0,0000

0,0000

Таблица 5

semen109.wmf

semen110.wmf

semen111.wmf

semen112.wmf

semen113.wmf

semen114.wmf

semen115.wmf

semen116.wmf

semen117.wmf

semen118.wmf

semen119.wmf

semen120.wmf

semen121.wmf

0

0

0

0,00002887

0

0

0

0

0,00752771

0

0

0,000002

0,000001

Используя данные табл. 4, 5, по формулам (15) находим вероятности semen122.wmf, semen123.wmf, semen124.wmf, semen125.wmf (см. табл. 6), и ве- роятности

semen148.wmf

semen149.wmf

Таблица 6

semen126.wmf

0

semen127.wmf

0,000001

semen128.wmf

0

semen129.wmf

0

semen130.wmf

0

semen131.wmf

0,058372

semen132.wmf

0

semen133.wmf

0,022792

semen134.wmf

0

semen135.wmf

0,002749

semen136.wmf

0

semen137.wmf

0,057779

semen138.wmf

0,000021

semen139.wmf

0,019053

semen140.wmf

0

semen141.wmf

0,016035

semen142.wmf

0

semen143.wmf

0

semen144.wmf

0

semen145.wmf

0

semen146.wmf

0

semen147.wmf

0,037453

Следовательно (см. табл. 5, 6), с 2011 по 2012 год вероятность увольнения из отраслей № 1, № 2, № 3, № 5, № 6, № 7, № 8, № 10, № 11 равна 0, что фактически означает отсутствие уволенных работников из данных отраслей. Значения вероятностей увольнения из других отраслей за данный промежуток времени достаточно малы – не превышают 0,01 (т.е. 1 %).

Вероятности semen150.wmf – того, что безработный, уволенный из i-й отрасли, найдёт работу в j-й отрасли, максимальны в случае i = j (см. табл. 4). Это означает, что безработный, уволенный с работы в одной из отраслей в течение 2010–2011 гг. снова, как правило, был принят на работу в этой же отрасли.

Малые значения вероятностей увольнения работников из каждой отрасли и вероятностей перехода безработных из одной отрасли в другую указывают на стабильное состояние рынка труда в России в 2010–2011 гг., отсюда следует вывод о стабильности состояния экономики в эти годы: не наблюдалось ни «отмирания», ни доминирования одних отраслей над другими.

Рецензенты:

Лебедев К.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры вычислительной математики и информатики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;

Луценко Е.В., д.э.н., профессор кафедры компьютерных технологий и систем ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет», г. Краснодар.

Работа поступила в редакцию 30.04.2014.


Библиографическая ссылка

Семенчин Е.А., Невечеря А.П. ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ САМООРГАНИЗАЦИИ РЫНКА ТРУДА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-6. – С. 1184-1190;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34310 (дата обращения: 09.12.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074