Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ПРИБЛИЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ ЦЕПНОЙ ДРОБИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рагимханова Г.С. 1 Агаханов С.А. 1 Амиралиев А.Д. 1 Гаджиагаев Ш.С. 1
1 ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный педагогический университет»
Численными методами аппроксимированы функции, являющиеся решениями дифференциальных уравнений, получаемые в качестве моделей технических задач и допускающие разложения в цепную дробь. Разработана программа на языке Turbo Pascal для нахождения значений тригонометрических функций sin x, cos x, используя связь sin x и cos x с tg x/2, с использованием подходящих дробей цепных дробей и указаны приближенные значения данных функций с точностью до шестнадцатого знака. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях, связанных с разложениями функций в цепные дроби, при численном решении дифференциальных уравнений, где вопросы скорости сходимости играют важную роль. Они представляют интерес для специалистов по математической и теоретической физике, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, специальным функциям математической физики и их приложениям. Полученные результаты могут применяться при численном анализе математических моделей различных естественнонаучных задач, связанных с динамикой явления.
цепная дробь
тригонометрические функции
приближение
1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 c.
2. Джоунс У., Трон У. Непрерывные дроби, Аналитическая теория и положения. – М.: Мир, 1985. – 414 с.
3. Немнюгин С.А., Перколаб Л.В.. Изучаем Turbo Pascal. – СПб.: Питер, 2003. – 320 с.
4. Рагимханова Г.С. Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения: дис. … канд. физ.-мат. наук. – СПб., 2003. – 78 с.
5. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. – 112 с.
6. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. – М.:
ГИИТТЛ, 1956. – 203 с.
7. Янке Е., Эндс Ф., Лёш Ф. Специальные функции. – М.: Наука, 1968. – 344 с.
8. Яралиева Б.С. Использование цепных дробей для решений дифференциальных уравнений и оценки адекватности математических моделей динамических систем: дис. … канд. техн. наук. – Махачкала, 2013. – C. 4.
9. Perron O., Die Lehze von den Kettenbruchen, Vol.1 (1954) Vol 2 (1957), Teubner, Leipzig.

Как известно, понятие «функция» в чистой и прикладной математике имеет различное содержание. В первом случае оно воспринимается как конкретное выражение одной переменной через другую; изучение функции сводится к изучению различных свойств этого выражения. В прикладной математике «функция», прежде всего, есть конечная последовательность арифметических действий, с помощью которых из заданного значения одной переменной можно получить значение другой переменной. «Функция» прикладной математики является моделью «функции» чистой математики. Замечательно, что есть множество функций, которые сами по себе являются моделями. Таким множеством является линейное пространство всех алгебраических многочленов или отношений многочленов.

Одной и той же функции можно сопоставить различные модели, выбор которой зависит от решаемой задачи. Для широкого класса функций с точки зрения возможности получения их значений с наперед заданной точностью за наименьшее количество арифметических действий (за наименьшее машинное время) наилучшими моделями являются подходящие дроби цепных дробей [7].

В настоящее время повышение интереса к теории цепных дробей объясняется еще и тем, что, несмотря на видимую громоздкость представления, процесс их вычислений является цикличным и легко поддаётся программированию при использовании ЭВМ.

1. Цепной (непрерывной) дробью, называется выражение вида

769360.jpg (1)

Из-за громоздкости записи (1) цепная дробь записывается так:

769368.jpg (1)

где 769376.jpg – k-е звено цепной дроби; ak и bk – члены k-го звена; ak – частные числители, bk – частные знаменатели цепной дроби. Будем считать bk ≠ 0, k = 1, 2, ...

Конечная цепная дробь

769385.jpg 

называется n-й подходящей дробью цепной дроби (1); Pn – числители; Qn – знаменатели подходящей дроби fn [4].

Имеют место рекуррентные соотношения (установлены Валлисом (1655 г.) и подробно изучались Эйлером (1737 г.))

769394.jpg 

769405.jpg (2)

n = 1, 2, .... При этом P–1 = 1, Q–1 = 0 [4].

2. Известно ([1]), что для 769412.jpg функция tg z разлагается в степенной ряд

769421.jpg 769428.jpg 

Здесь ξ(z) – дзета функция Римана.

В ([6]) доказано: для комплексных 769436.jpg, k-целое, справедливо разложение в цепную дробь

769444.jpg (3)

Если Pn(z)/Qn(z) – подходящая дробь порядка n цепной дроби (1), то Q2k(z), Q2k+1(z), zP2k–1(z), zP2k(z) будут многочленами степени 2k. Так как Q1(z) = 1, Q2(z) = 3 – z2, то из ([2])

769452.jpg 

следует

769460.jpg 

769468.jpg 

769477.jpg 

769491.jpg 

769503.jpg 

Заметим еще, что если ε1 = 1,769510.jpg то ε2 = 0,75, ε3 = 0,64, ε4 = 0,54, ε5 = 0,50, ε6 = 0,48, ε7 = 0,46. Здесь значения εn округлены. Имеют место следующие две теоремы.

Теорема 1. Если при некотором x, 3x2 < 5 двойное неравенство

769517.jpg (4)

имеет место для двух значений n = k и n = k + 1, k – некоторое число, то при тех же значениях x (4) останется в силе и при n = k + 2.

Следствие. При x2 ≤ 1,13 и n ≥ 1 имеет место двойное неравенство

769524.jpg (5)

Заметим, что ([7])

769533.jpg (6)

Теорема 2. При x2 ≤ 1,13 будет

769541.jpg 

где an ≈ bn означает: 769551.jpg; Γ – гамма функция Эйлера.

По значениям tg x можно вычислить sin x, cos x, используя формулы

769560.jpg 769569.jpg 

при помощи fn, где 769579.jpg вычисляются с использованием прямого рекуррентного алгоритма

P0 = 0; Q0 = 1; 769589.jpg

769600.jpg при n ≥ 2.

Ниже приводится листинг программы, разработанной на языке Turbo Pascal для нахождения значений функций sin x и cos x, используя связь sin x и cos x с 769607.jpg,
с использованием подходящих дробей цепных дробей 7-го порядка для x = 0,1; 0,2; ...; 1,5 и указано приближенное значение этих функций с точностью
до шестнадцатого знака.

Листинг программы

770025.jpg 

770031.jpg 

Результаты программы

770049.jpg 

Из полученных значений для погрешностей видно, что данный способ интерполирования является более точным.

Рецензенты:

Рамазанов А.-Р.К., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического анализа, ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный университет», г. Махачкала;

Баламирзоев А.Г., д.т.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет», г. Махачкала.

Работа поступила в редакцию 28.11.2014.


Библиографическая ссылка

Рагимханова Г.С., Агаханов С.А., Амиралиев А.Д., Гаджиагаев Ш.С. ПРИБЛИЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ ЦЕПНОЙ ДРОБИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11-12. – С. 2640-2644;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=36037 (дата обращения: 18.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074