Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Семыкина Н.А. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Математическое моделирование распространения вируса в компьютерной сети является одним из подходов к исследованию, анализу и созданию систем защиты и сдерживания эпидемии вредоносного кода. Для оценки и прогноза распространения компьютерного вируса в сети разработана математическая модель, представленная в виде задачи оптимального управления. Применен биологический подход для описания процесса развития вирусной атаки. Динамика численности узлов описывается с помощью разрывной нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для построения задачи оптимального управления сделан выбор целевого функционала, определяющего общую стоимость нанесенного ущерба от эпидемии. Выписана функция запаздывания. Рассмотрен один из вариантов поведения траектории – однократное протыкание. Для данного случая сформулированы необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина. Найден вид оптимального управления.

Статья в формате PDF

1317 KB

компьютерный вирус

математическая модель

оптимальное управление

разрывные задачи с запаздыванием

1. Андреева Е.А. Оптимальное управление системами с запаздывающим аргументом // Автоматика и телемеханика. – 1987. – № 11. – С. 30–39.

2. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последствием. – М.: Наука, 1992. – 336 с.

3. Воронцов В.В., Котенко И.В. Аналитические модели распространения сетевых червей // Труды СПИИРАН. – Вып. 4. – СПб.: Наука, 2007. – С. 208–224.

4. Захарченко А. Черводинамика: причины и следствия // Защита информации. Конфидент. – 2004. – № 2. – С. 50–55.

5. Семыкина Н.А. Математическое моделирование распространения вирусов с учетом влияния временных параметров // Перспективы развития информационных технологий: XIV Международная научно-практическая конференция. – Новосибирск: ЦРНС, 2013. – С. 139–144.

6. Kephart J.O., White S.R.. Directed-Graph Epidemiological Models of Computer Viruses. Proceedings of the 1991 IEEE Computer Society Symposium on Research in Security and Privacy. – Oakland, California, 1991. – Р. 343–359.

7. Leveille J. Epidemic spreading in technological networks/ Technical Report HPL-2002-287, HP Laboratories Bristol, 2002. Available at: http://www.hpl.hp.com/techreports/2002/HPL-2002-287.pdf.

8. Wang Y., Wang C. Modeling the effects of timing parameters on virus propagation. Proceedings of the ACM CCS Workshop on Rapid Malcode – WORM, Washington DC, 2003. – Р. 61–66.

9. Zhang Ch., Zhao Y., Wu Y. An impulse model for computer viruses. Discrete Dynamics in Nature and Society. 2012. Available at: http://dx.doi.org/10.1155/2013/286209.

10. Zou C.C., Gao L., Gong W., Towsley D. Monitoring and early warning for internet worms // Proceedings of the 10th ACM conference on Computer and communication security, ACM Press, 2003. – Р. 190–199.

11. Zou C.C., Gong W., Towsley D. Code Red Worm Propagation Modeling and Analysis. In Proceedings of the 9th ACM Conference on Computer and Communications Security, 2002. – Р. 138–147. Available at: http://citeseer.ist.psu.edu/article/zou02code.html.

Анализируя современные работы по описанию процесса пресечения вирусных атак, можно заметить, что многие авторы используют принципы моделирования распространения эпидемии инфекционных заболеваний [3, 4, 6–11]. Основоположниками данного подхода стали Д.O. Кепхарт и С.Р. Уайт [6].

Рассмотрим n локальных вычислительных сетей (групп), объединенных в одну глобальную сеть. Такая ситуация может возникнуть, если предприятие (или отрасль) занимает обширную территорию. В этом случае локальные сети связывают между собой с помощью любых традиционных каналов связи. Процесс распространения вредоносного кода в j группе, , на промежутке времени [0, Т], описывается с помощью эпидемиологической модели в следующих предположениях [3, 4, 8, 9]:

1) N_j(t) – общее количество машин в j группе, ;

2) произвольный узел сети может находиться в трех состояниях: уязвимом S_j(t), инфицированном I_j(t) и невосприимчивом R_j(t);

3) распространение копии вредоносной программы описывается с помощью функции роста f_j(t, S(t), I(t), B), , которая может учитывать характеристики вирусной атаки и самой сети с помощью вектора параметров B = (β¹(t), ..., β^m(t));

4) вредоносная программа имеет некий латентный период h₁(t), во время которого компьютер считается зараженным, но вирус не наносит какого-либо вреда инфицированному узлу;

5) количество компьютеров в сети является переменным числом, и функция b(t) характеризует скорость прироста новых уязвимых узлов;

6) в реальных условиях «лечение» происходит за счет установки антивирусного программного обеспечения или межсетевых экранов. При этом иммунитет приобретают не только инфицированные компьютеры, но и уязвимые со скоростью иммунизации в единицу времени , i = 1, 2, соответственно;

7) с постоянной скоростью μ компьютеры отключаются от сети, при этом отключение не связано с вирусной атакой;

8) на практике антивирусная защита работает для определенного вредоносного ПО. При появлении нового вида вируса узел опять становится уязвимым с частотой заражения σ и с временем задержки h₂(t).

В соответствии с этими предположениями получаем следующую систему дифференциальных уравнений с запаздыванием в аргументе

(1)

(2)

(3)

Предполагаем, что на начальном множестве E₀ = {t ∈ [θ, 0], θ < 0} количество компьютеров разных классов известно:

t ∈ E0. (4)

Здесь h_i(t), i = 1, 2, – неотрицательная, непрерывно дифференцируемая функция. h₁(t) характеризует время «инкубационного периода», в течение которого узел считается зараженным, но не распространяет вирус. h₂(t) характеризует время появления нового вредоносного кода. Причем , i = 1, 2. Это значит, что функция t – h_i(t) монотонно возрастает. В случае, когда h_i(t) = 0, i = 1, 2, мы получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания.

В построенной задаче функции S_j(t), I_j(t) и R_j(t), , будем считать фазовыми переменными, а управлением – скорость иммунизации , i = 1, 2, , с соответствующими ограничениями

i = 1, 2,

. (5)

Здесь – максимальная норма управления в j-й группе, которая ограничена техническими и материальными возможностями.

Данная модель (1)–(5) предполагает естественный способ расчета затрат на эпидемию. Целью управления процессом защиты от вредоносного кода является минимизация цены нанесенного ущерба и расходов на установку «иммунитета» системы.

(6)

где с – относительная стоимость урона, нанесенного одной единицей инфицированного компьютера I_j(t), ω – средняя стоимость установки антивирусного программного обеспечения или межсетевых экранов.

Формализованная задача модели (1)–(6) представляет собой задачу оптимального управления системой дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием.

Построение функции запаздывания

Рассмотрим построенную модель (1)–(6) в предположении, что антивирусное программное обеспечение обновляется через каждый промежуток времени, равный Т. Тогда получаем модель с одним временем задержки h₁(t). При этом h₂(t) = 0. Далее будем считать, что при t ∈ [0, Т] не осуществляется прирост новых узлов, то есть b(t) = 0 и N_j(t) = N_j = const, .

В [5] было показано, что время запаздывания является важным фактором при построении адекватной математической модели, описывающей распространение компьютерного вируса в сети.

Для построения функции запаздывания h₁(t) исследуем динамику процесса. Весь период развития эпидемии можно разбить на три этапа [4, 7, 9]:

1-й этап – начало нарастания числа инфицированных компьютеров до порогового уровня.

2-й этап – эпидемия. Массовое поражение узлов и широкое распространение вируса.

3-й этап – стадия максимального подъема эпидемии, характеризуется достижением порога насыщения. В этот период зараженные узлы контактируют преимущественно друг с другом, поэтому уцелевшие узлы могут оставаться неинфицированными неопределенно продолжительное время.

Используя данную динамику эпидемии, получаем вид функции запаздывания

(7)

Здесь τ_l является величиной постоянного запаздывания, l = 1, 2, 3.

Исходя из полученной формулы (7), систему дифференциальных уравнений (1)–(3) можно представить в виде разрывной задачи в правой части с постоянным запаздыванием. Она будет иметь вид (8)

.

Здесь через , обозначены поверхности переключения.

Необходимые условия оптимальности

Решение задачи оптимального управления с разрывной правой частью предусматривает рассмотрение следующих вариантов поведения траектории [1], [2]:

1) протыкание траектории поверхности переключения в точке , i = 1, 2, если в любой достаточно малой окрестности точки функция , i = 1, 2, , меняет знак;

2) левостороннее или правостороннее касание траекторией поверхности переключения точке , i = 1, 2, если и или ;

3) скольжение траектории по поверхности переключения, если на некотором отрезке [t₁, t₂], i = 1, 2, ;

Рассмотрим первый случай поведения траектории, а именно однократное протыкание траекторией поверхностей переключения , i = 1, 2, . Обозначим через и , , точки переключения фазовых траекторий при пересечении поверхностей переключения соответственно.

Сформулируем необходимые условия оптимальности для разрывной задачи оптимального управления с постоянным запаздыванием (рассматриваем регулярный случай) [10]. Для этого выпишем функцию Понтрягина построенной модели.

Здесь

где

Сопряженные вектор-функции (Q(t), P^l(t), G(t)), l = 1, 2, 3, определены на промежутках , , соответственно, непрерывны и почти всюду непрерывно дифференцируемы на этих отрезках.

Теорема. Пусть – оптимальный управляемый процесс в задаче (4) – (6), (8). Тогда оптимальное управление , t ∈ [0, T], , во всех точках непрерывности доставляет максимум функции Понтрягина:

l = 1, 2, 3, где сопряженные функции являются решением системы дифференциальных уравнений

(9)

где ,

с граничными условиями на правом конце траектории

q_j(T) = 0, p_j(T) = 0, g_j(T) = 0, . (10)

В точках пересечения траекторией поверхностей переключения выполняются условия скачка сопряженных функций

.

При этом величина скачка определяется по формуле

Введем функции переключения:

, l = 1, 2, 3.

Из условия максимума функции Понтрягина получаем множество задач максимизации

(11)

Анализ задач (11) и компактного множества ограничений для функций управления (5) позволяет найти оптимальное управление , .

(12)

Если , или с учетом их определения, когда l = 1, 2, 3, то оптимальное управление будет иметь вид

В результате получаем краевую задачу принципа максимума, состоящую из системы дифференциальных уравнений (8), (9) и краевых условий (4), (10), где оптимальное управление определяется соотношениями (12).

Выводы

В результате проведенного исследования была разработана математическая модель распространения компьютерных вирусов в локальных сетях, которая позволяет учесть «инкубационное» время заражения узла вредоносным кодом. Впервые данная модель формализована как задача оптимального управления системой дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и с запаздывающим аргументом. Сформулированы необходимые условия оптимальности и найден вид оптимального управления, это позволит в дальнейшем объяснить и изучить различные факторы, влияющие на динамику эпидемии.

Рецензенты:

Болодурина И.П., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Оренбургский государственный университет, г. Оренбург;

Зиятдинов Н.Н., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой системотехники, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Казань.

Библиографическая ссылка