Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Желдашева А.О. 1 Лесев В.Н. 1
1 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
В работе сформулирована и исследована краевая задача для смешанного уравнения второго порядка в ограниченной области с локальными краевыми условиями. На линии изменения типа уравнения применены разрывные условия сопряжения для следа функции и следа производной. В качестве основного метода доказательства разрешимости поставленной задачи был использован метод конечных интегральных преобразований. При этом вопрос разрешимости задачи был эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствующих частях смешанной области. В частности, в области параболичности исходного уравнения было получено обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого представлено в виде комбинации общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Определив коэффициенты в полученных общих интегралах дифференциальных уравнений, решение исследуемой задачи можно найти после применения обратного интегрального преобразования.
уравнение в частных производных
краевая задача
разрывные условия сопряжения
интегральное преобразование Фурье
1. Елеев В.А., Гучаева З.Х. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка в прямоугольной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2011. – № 6. – С. 34–40.
2. Елеев В.А., Жемухова З.Х. О некоторых краевых задачах для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области // Владикавказский математический журнал. – 2002. – Т. 4. – № 4. – С. 8–18.
3. Лесев В.Н. Исследование разрешимости краевых задач для уравнения четвертого порядка методом конечных интегральных преобразований // Современные проблемы математики: материалы международной конференции. – Махачкала: ДГТУ, 2006. – С. 44–46.
4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия смоленского государственного университета. – 2013. – № 3 (23). – С. 379–386.
5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. – 2012. – № 3 (106). – С. 52–56.
6. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения с разрывными условиями сопряжения // Известия смоленского государственного университета. – 2012. – № 3 (19). – С. 392–399.
7. Лесев В.Н., Шарданова М.А. О разрешимости краевых задач для неоднородного уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами // Theoretical & Applied Science. – 2014. – № 12 (20). – С. 101–103.
8. Лесев В.Н., Шарданова М.А. Применение метода конечных интегральных преобразований к исследованию краевой задачи для уравнения высокого порядка // Theoretical & Applied Science. – 2014. – № 5 (13). – С. 1–4.
9. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: пер. с англ. – М.: Мир, 1985.
10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.

Исследование разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных является одним из основных разделов обширной теории дифференциальных уравнений. Особое место в подобных исследованиях занимают задачи для смешанных и смешанно-составных уравнений. Это обусловлено непосредственными связями уравнений смешанного типа с теорией интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, а также их прикладной значимостью в математической физике и биологии.

В настоящей работе в ограниченной односвязной области исследована классическая краевая задача для линейного неоднородного смешанного уравнения с переменными коэффициентами. Помимо классических краевых условий в постановке использованы разрывные условия сопряжения на линии изменения типа уравнения и условия согласования. Доказательство разрешимости задачи проведено методом конечных интегральных преобразований.

Постановка задачи

В области Ω = {z: 0 < x < ℓ, –t2 < t < t1} евклидовой плоскости точек z = (x, t) рассмотрим уравнение

geldash01.wmf (1)

где ℓ, t1, t2 – const > 0, ai, bi, ci, di – достаточно гладкие функции (i = 1, 2).

Введем обозначения:

J = {z: 0 < x < ℓ, t = 0},

Ω1 = Ω ∩ (t > 0); Ω2 = Ω ∩ (t < 0);

geldash02.wmf geldash03.wmf

причем i = 1 если t → 0+; i = 2 если t → 0–.

Для уравнения (1) в области Ω исследована следующая

Задача A. Найти регулярное в Ω1 ∪ Ω2 решение u(x, t) уравнения (1) из класса

geldash04.wmf

удовлетворяющее краевым условиям

u(0, t) = φ1(t); u(ℓ, t) = ψ1(t), t ≥ 0; (2)

u(0, t) = φ2(t); u(ℓ, t) = ψ2(t), t ≤ 0; (3)

u(x, t1) = f1(x); u(x, –t2) = f2(x), 0 ≤ x ≤ ℓ; (4)

условиям сопряжения

geldash05.wmf

geldash06.wmf (5)

и условиям согласования

f1(0) = φ1(t1); f1(ℓ) = ψ1(t1);

φ1(0) = α1 + α2∙φ2(0); ψ1(0) = α1 + α2∙ψ2(0);

f2(0) = φ2(–t2); f2(ℓ) = ψ2(–t2),

где φi, ψi, fi – заданные функции из C1, а αi, βi – заданные постоянные, такие, что α2∙β2 ≠ 0.

Доказательство разрешимости задачи А проведем методом конечных интегральных преобразований, по аналогии с работами [3, 8, 7].

Заметим, что краевые задачи в характеристических и прямоугольных областях для уравнений, представляющих частный случай уравнения (1), исследовались в работах [1, 2, 4, 5, 6].

Для сформулированной задачи необходимо рассмотреть следующие случаи:

1) ai(t) ≠ 0;

2) ai(t) = 0;

3) a1(t)a2(t) = 0, но geldash07.wmf

Легко видеть, что в случаях (2) и (3) оба или одно из условий (4) являются переопределяющими задачу.

В настоящей работе рассмотрим более подробно последний случай.

Пусть, например, a1(t) = 0, а a2(t) ≠ 0. Тогда уравнение (1) в области Ω1 является уравнением параболического типа и принимает вид:

geldash08.wmf

Далее проведем ряд преобразований пренебрегая первым из условий (4).

Применяя к последнему равенству конечное синус-преобразование Фурье [9]:

geldash09.wmf

n = 1, 2, ... (6)

по переменной x на отрезке [0, ℓ] к уравнению (1) при t > 0, будем иметь

geldash10.wmf

geldash11.wmf geldash12.wmf

где u1 = u1n(t) – результат преобразования функции u(x, t) в Ω1.

Подставляя полученные выражения в уравнение (6), приходим к параметрическому обыкновенному дифференциальному уравнению

geldash13.wmf (7)

Здесь geldash14.wmf geldash15.wmf

geldash16.wmf – результат преобразования функции d1(x, t).

Аналогично при t < 0 получим

geldash17.wmf

geldash18.wmf

geldash19.wmf

geldash20.wmf

где u2 = u2(t) – результат преобразования функции u(x, t) в Ω2,

Подставляя полученные соотношения в уравнение (1) при t < 0, приходим к следующему уравнению:

geldash21.wmf (8)

Здесь

geldash22.wmf geldash23.wmf

geldash24.wmf

geldash25.wmf

δ2 = δ2(t) – результат преобразования функции d2(x, t).

Точно так же из (5) будем иметь

geldash26.wmf

geldash27.wmf (9)

Далее, проинтегрируем уравнения (7), (8). Если b1(t) = 0, то u1(t) сразу определяется из (7), в противном случае, как известно (например [10]), общее решение уравнения (7) имеет вид

geldash28.wmf (10)

где γ1 – произвольная постоянная; F1(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения; F2(t) – частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение уравнения (7) может быть представлено в виде [2, с. 115]:

geldash29.wmf (11)

где γ2, γ3 – произвольные постоянные; Φ1(t) – частное решение неоднородного уравнения; Φ2(t), Φ3(t) – линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Из (10) и (11), с учетом (9), а также принимая во внимание (4), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных γ1, γ2, γ3:

geldash30.wmf (12)

где geldash31.wmf – результат преобразования функции f2(x).

Таким образом, вопрос однозначной разрешимости задачи (1)–(5) редуцирован к вопросу разрешимости системы (12). Применяя обратное преобразование [9]:

geldash32.wmf

к функциям u1, u2, получим решение задачи (1)–(5) в областях Ω1, Ω2 в виде соответствующих рядов Фурье.

В заключение отметим, что случаи (1) и (2) исследуются аналогично.

Рецензенты:

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой геометрии и высшей алгебры, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик;

Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор, заведующая кафедрой системного анализа и компьютерных технологий управления, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик.


Библиографическая ссылка

Желдашева А.О., Лесев В.Н. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 9-3. – С. 460-463;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39205 (дата обращения: 18.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074