Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ АКТУАТОРА С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ И КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Бахвалов Ю.А. 1 Гречихин В.В. 1 Юфанова А.Л. 1
1 ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова»
Статья посвящена расчету магнитного поля актуатора с эффектом памяти формы. Построена математическая модель магнитной системы актуатора, основанная на разложении магнитного поля в линейной среде на сумму полей: полея, создаваемого токами катушек при отсутствии активного элемента из ферромагнетика с памятью формы и поля, образованного намагниченностью элемента при отсутствии тока в катушках. Для расчета магнитного поля в окружающем пространстве и активном элементе используются метод фундаментальных решений и метод конечных элементов соответственно. На основании математической модели разработан вычислительный алгоритм и приведен пример его применения. Достаточная для инженерных задач точность расчета магнитного поля может быть получена при относительно небольшом числе фиктивных магнитных зарядов. Это позволяет реализовать «быструю» компьютерную программу для расчета магнитных полей актуаторов с эффектом памяти формы, что важно в задачах функциональной диагностики.
актуатор с эффектом памяти формы
магнитное поле
метод конечных элементов
метод фундаментальных решений
вычислительный алгоритм
1. Бахвалов Ю.А., Князев С.Ю., Щербакова Е.Е., Щербаков А.А. Моделирование потенциальных полей с применением метода точечных источников. – Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2012. – 158 с.
2. Васильев А. Н, Бучельников В.Д., Такаги Т., Ховайло В.В., Эстрин Э.И. Ферромагнетики с памятью формы // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173. – № 6. – С. 577–608.
3. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. – К.: Технiка, 1974. – 352 с.
4. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. – М.: Наука, 1974. – 943 с.
5. Asua E., Feuchtwanger J., Garcia-Arribas A., Etxebarria V., Orue I., Barandiaran J.M. Ferromagnetic shape memory alloy actuator for micro- and nanopositioning // Sensor Letters. – 2009. – № 7. – Р. 348–350.
6. Gorbatenko N.I., Grechikhin V.V., Shaikhutdinov D.V. Measuring and Actuating Devices Based on Shape Memory Ferromagnets. Metal Science and Heat Treatment. – 2015. – Vol. 56. – Р. 609–613.
7. Suorsa I., Pagounis E., Ullakko K. Magnetic shape memory actuator performance // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. – 2004. – Vol. 272. – Р. 2029–2030.

Одним из современных направлений развития промышленных систем управления является применение интеллектуальных материалов в измерительных и исполнительных элементах. К таким материалам относятся ферромагнетики с памятью формы (ФМПФ), способные изменять геометрические размеры под воздействием электромагнитных и механических сил и запоминать состояние [2, 5, 7]. Это позволяет повысить точность преобразования одного вида энергии в другой, упростить конструкцию устройств, сократить количество составных частей, подверженных поломке и износу. Как следствие, повысить эффективность систем управления. Поэтому разработка теории, принципов построения и средств исследования устройств на основе ФМПФ является актуальной задачей.

Постановка задачи

Целью работы является создание математической модели минимальной размерности и вычислительного алгоритма на ее основе для расчета магнитных полей актуаторов на основе ФМПФ. Полученные результаты могут быть использованы как при проектировании актуаторов, так и в задачах диагностики при прогнозировании состояния объекта и при анализе неисправностей в реальном времени.

Общий вид двухтактного актуатора показан на рис. 1 [6]. В нем используется распределенная намагничивающая система, содержащая n пар катушек без ферромагнитных сердечников, что позволяет повысить быстродействие, уменьшить массу и габариты устройства.

pic_9.tif

Рис. 1. Общий вид актуатора с двумя активными элементами (1), намагничивающими катушками (2) и исполнительным механизмом (3)

Математическая модель

Построим математическую модель магнитного поля одной пары катушек, между которыми находится часть активного элемента из ФМПФ, размеры которого совпадают с размерами окон катушек (рис. 2). Такую модель достаточно просто адаптировать на случай n пар катушек.

Стационарное трехмерное магнитное поле задачи описывается системой уравнений

bahvalov01.wmf (1)

с граничными условиями на границе раздела сред: bahvalov02.wmf bahvalov03.wmf Здесь µ0 – магнитная постоянная; bahvalov04.wmf – плотность тока в катушках; V+ – подобласть, занятая активным элементом (ферромагнетиком); V– – подобласть, окружающего элемент пространства, заполненная линейной средой с µ0; bahvalov05.wmf bahvalov06.wmf –магнитная индукция и напряженность магнитного поля соответственно; bahvalov07.wmf bahvalov08.wmf – нормальные составляющие магнитной индукции; bahvalov09.wmf bahvalov10.wmf – тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля на границе раздела сред V+ и V–.

Для уменьшения размерности задачи будем далее использовать скалярный магнитный потенциал и фиктивные магнитные заряды. Это позволит применить для расчетов параметров поля в V бессеточный численный метод фундаментальных решений (МФР).

pic_10.tif

Рис. 2. Сечение исследуемой системы плоскостью y0z

Представим в V напряженность магнитного поля в виде суммы двух полей [3]:

bahvalov11.wmf (2)

где bahvalov12.wmf – напряженность магнитного поля, созданного токами катушек во всем пространстве V (V = V+ + V) при удалении из V+ ферромагнетика; bahvalov13.wmf – напряженность магнитного поля в V, созданного намагниченностью ферромагнетика при отсутствии тока в катушках.

При использовании разложения (2) в V+ результирующее поле будет определяться как разность близких величин, что приведет к большим погрешностям. Поэтому, в отличие от [5], в V+ будем определять результирующее поле bahvalov14.wmf.

Исходную систему уравнений (1) после введения магнитного потенциала j заменим тремя системами:

bahvalov15.wmf bahvalov16.wmf

bahvalov17.wmf в V; (I)

bahvalov18.wmf

bahvalov19.wmf bahvalov20.wmf в V–; (II)

bahvalov21.wmf

bahvalov22.wmf B = B(H) в V+. (III)

Решение системы (I) заменим вычислением bahvalov23.wmf путем интегрирования по объемам катушек Vc (Vc = Vc1 + Vc2), используя формулу, полученную из закона Био – Савара – Лапласа [4]

bahvalov24.wmf (3)

где bahvalov25.wmf iwc – магнитодвижущая сила, создаваемая током i в катушке с числом витков wc; Sc – площадь сечения катушки; bahvalov26.wmf – единичный вектор, направленный из точки N к точке M.

Решение системы (II) в V выполним МФР, располагая в V+ фиктивные магнитные заряды.

Решение системы (III) в V+ с нелинейной средой из ФМПФ выполним методом конечных элементов (МКЭ).

Начало декартовой системы координат поместим в геометрическом центре активного элемента (рис. 2). Учитывая симметрию магнитной системы относительно плоскости x0y, будем решать задачу в области z ≥ 0. Принимаем, что на плоскости x0y все потенциалы bahvalov27.wmf равны нулю. На боковых гранях параллелепипеда активного элемента положим bahvalov28.wmf. На грани, лежащей в плоскости x0y, φ+ = 0. На верхней грани Sh имеем следующие соотношения, вытекающие из исходных граничных условий (1),

bahvalov29.wmf (4)

где bahvalov30.wmf

bahvalov31.wmf

bahvalov32.wmf

точка Mi ∈ Sh; i = 1, 2, ..., N; N – число точек коллокации на Sh.

Вычислительный алгоритм задачи

Считаем известными геометрические размеры активного элемента: ширину Ae и длину Be (размеры по осям 0x и 0y); толщину He (размер по оси 0z), геометрические размеры катушки (ширину Ac, длину Bc, толщину Hc, толщину намотки провода Cc) и магнитодвижущую силу iwc, создаваемую токами в катушках.

На верхней грани активного элемента разместим точки коллокации Mi (i = 1, 2, ..., N). Точки коллокации Mi имеют одинаковую z-координату bahvalov33.wmf. Фиктивные магнитные заряды (количество их 2N) разместим в точках, x-координаты и y-координаты которых совпадают с соответствующими координатами точек коллокации Mi, причем bahvalov34.wmf, что следует из равенства нулю потенциалов всех точек плоскости x0y.

На рис. 3 показано положение точек коллокации M, при их числе N = 5, и фиктивных магнитных зарядов q, число зарядов 2N. Размеры a = b = 2∙10–3 м.

pic_11.wmf

а

pic_12.wmf

б

Рис. 3. Верхняя грань активного элемента Sh с точками коллокаций M(a) и расположением фиктивных магнитных зарядов q(b)

Аппликаты всех зарядов равны h для qi и –h для bahvalov35.wmf. Принимаем h = He/20.

Потенциал в точке коллокации Mi определим по формуле [1]

bahvalov36.wmf (5)

где bahvalov37.wmf

bahvalov38.wmf

(xi, yi, zi) – координаты точки коллокации Mi; (xj, yj, zj) – координаты точки, в которой находится заряд qj; bahvalov39.wmf – координаты точки, в которой находится заряд bahvalov40.wmf.

Z-составляющую напряженности магнитного поля в точке Mi, созданного зарядами, будем определять на основании (5) по формуле

bahvalov41.wmf (6)

где zj = h; bahvalov42.wmf

Система (4) с учетом соотношения (5) и (6) принимает следующий вид:

bahvalov43.wmf (7)

Величина bahvalov44.wmf системы (7) определяется по формуле (3), bahvalov45.wmf находиться из соотношения

bahvalov46.wmf (8)

Таким образом, система (7), состоящая из 2N уравнений, содержит 3N неизвестных bahvalov47.wmf. Дополнительно N уравнений, связывающих φ+(Mi) и bahvalov48.wmf, получим, решая систему (III) МКЭ.

Алгоритм решения исходной задачи состоит из следующих этапов:

1. Выбираем расположения N точек коллокаций. Формируем массивы координат точек коллокации и точек, в которых расположены фиктивные магнитные заряды. Например, для точки Mi имеем Mi(xi, yi, H/2), qi(xi, yi, h), bahvalov49.wmf.

2. Вычисляем по формулам (3) и (8) в точках коллокации значения bahvalov50.wmf и bahvalov51.wmf, i = 1, 2, ..., N.

3. Учитывая, что bahvalov52.wmf и bahvalov53.wmf, полагаем φ+(Mi) = 0 и, решая первые N уравнений системы (7), найдем qi j = 1, 2, ..., N.

4. Решая вторые N уравнений системы (7), находим bahvalov54.wmf i = 1, 2, ..., N.

5. Решая краевую задачу МКЭ – систему (III) с граничными условиями: на Sh значения bahvalov55.wmf, где M ∈ Sh, в узлах конечной элементной сетки, которые определяются по второй формуле системы (7); на грани V+, лежащей в плоскости x0y, полагаем φ+ = 0, на боковых гранях bahvalov56.wmf.

6. В тех случаях, когда магнитная проницаемость среды V+ зависит от H+, производится уточнение значений m и H+ с использованием зависимости B(H) ФМПФ.

7. Определив φ+(Mi), можно уточнить значения зарядов qi, решая систему (7).

Результаты экспериментальных исследований

Выберем для исследования систему (рис. 2), имеющую следующие параметры:

Ae = Be = Ac = Bc = 2∙10–3 м; He = 1∙10–3 м;

Hc = 2∙10–3 м; Cc = 0,5∙10–3 м.

Для оценки погрешности моделирования комбинированным методом (МФР и МКЭ) решим задачу МКЭ, при этом катушки и активный элемент поместим в центре параллелепипеда со сторонами 0,5×0,25×0,25 м, который заполним 87434 тетраэдрами. На гранях параллелепипеда задаем векторный магнитный потенциал bahvalov57.wmf. На первом этапе расчетов определяем при iwc = 103. А каждой катушки значения bahvalov58.wmf в точках коллокации Mi, а также в ряде точек на отрезке [0, zi], где zi = He/2. Далее численным интегрированием вычисляем bahvalov59.wmf с использованием соотношения (8). Затем определяем величины bahvalov60.wmf и φ+ в точках коллокаций.

Перейдем к решению задачи комбинированным методом (МФР и МКЭ).

Вариант I. Выбираем N = 5 точек коллокаций (рис. 3). В силу симметрии их положения имеем q1 = q2 = q3 = q4. Таким образом, в этом варианте имеем два неизвестных заряда q0 и q1, а также bahvalov61.wmf, bahvalov62.wmf, bahvalov63.wmf и bahvalov64.wmf.

Величины bahvalov65.wmf и bahvalov66.wmf в точках коллокации M0 и M1 определяем по формулам (3), (8). В результате имеем систему уравнений

bahvalov67.wmf

bahvalov68.wmf

Полагая φ+(M0) = φ+(M1) = 0, найдем q0 и q1. Далее определяем H+(M0) и H+(M1) при начальном значении μ(0) = 103μ0. В случае μ(H+) решаем краевую задачу в V+ МКЭ, уточняя bahvalov69.wmf φ+, q0, q1. Результаты сведем в табл. 1.

Среднеквадратичное отклонение (RMSD) вычисляем по формуле

bahvalov70.wmf

Таблица 1

Результаты расчетов при N = 5

Номер точки (i)

Расчет комбинированным методом (МФР и МКЭ)

Расчет МКЭ

Относительная погрешность

bahvalov71.wmf, А/м

bahvalov72.wmf, А

bahvalov73.wmf, А/м

φ+, А

bahvalov74.wmf, А/м

bahvalov75.wmf, %

0

176613,4

83,8

445,8

0,1

266,2

67,4

1

125161,4

57,7

311,6

0,082

212,5

46,6

Относительное RMSD для N = 5 составило 53,3 %.

Вариант II. Разместим N = 13 точек коллокаций (рис. 4) на Sh. В силу симметрии положения точек имеем четыре неизвестных заряда q0, q1, q2, q3, а также неизвестные bahvalov76.wmf и φ+(Mi), i = 0, 1, 2, 3.

Система уравнений составляется так же, как в варианте I. Результаты сведены в табл. 2. Относительное RMSD для N = 13 составило 9,1 %.

Замечание. Результаты, приведенные в табл. 1, 2, получены при μ = 103μ0.

pic_13.wmf

Рис. 4. Расположение точек коллокации N = 13

Таблица 2

Результаты расчетов при N = 13

Номер точки (i)

Расчет комбинированным методом (МФР и МКЭ)

Расчет МКЭ

Относительная погрешность

bahvalov77.wmf, А/м

bahvalov78.wmf, А

bahvalov79.wmf, А/м

φ+, А

bahvalov80.wmf, А/м

bahvalov81.wmf, %

0

176613,4

83,8

306,5

0,089

266,2

15,1

1

125161,4

57,7

238,9

0,070

212,5

12,4

2

161570,5

69,5

233,0

0,099

238,0

–2,1

3

157664,0

74,0

265,1

0,055

246,4

7,6

Выводы

Предложена математическая модель минимальной размерности и алгоритм для расчета магнитного поля актуатора на основе ФМПФ. Модель и алгоритм основаны на разложении магнитного поля в линейной среде, окружающей устройство, на два поля: bahvalov82.wmf – напряженность магнитного поля, созданная токами катушек при отсутствии активного элемента из ФМПФ и поля bahvalov83.wmf, создаваемого намагниченностью ФМПФ при отсутствии катушек с током. Для определения магнитного поля в окружающем пространстве bahvalov84.wmf и активном элементе bahvalov85.wmf используются МФР и МКЭ соответственно. При этом магнитное поле bahvalov86.wmf вычисляется по формуле, вытекающей из закона Био – Савара – Лапласа.

Достаточная для инженерных задач точность расчета параметров магнитного поля может быть получена при относительно небольшом числе фиктивных магнитных зарядов, что характерно для МФР [1]. Так при 26 зарядах погрешность расчета не превышает 9 %. Как следует из рис. 3, дальнейшее увеличение зарядов приведет к уменьшению погрешности. При 34 зарядах следует ожидать менее 5 %.

При учете симметрии магнитной системы размерность задачи существенно сокращается: при 10 зарядах число неизвестных равно двум (q0, q1), при 18 зарядах – трем (q0, q1, q2), при 26 зарядах – 4 (q0, q1, q2, q3). Это позволяет реализовать «быструю» компьютерную программу для расчета магнитных полей актуаторов на основе ФМПФ, что важно в задачах диагностики при прогнозировании состояния объекта и при анализе неисправностей в реальном времени.

Результаты работы получены при поддержке гранта РФФИ № 14-08-01288 «Разработка теории натурно-модельных испытаний измерительных и исполнительных систем, построенных на основе ферромагнитных материалов с эффектом памяти формы».

Рецензенты:

Савелов Н.С., д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматика и телемеханика», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова», г. Новочеркасск;

Седов А.В., д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматика и телемеханика», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный политехнический университет имени М.И. Платова», г. Новочеркасск.

 


Библиографическая ссылка

Бахвалов Ю.А., Гречихин В.В., Юфанова А.Л. РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ АКТУАТОРА С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ И КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 11-1. – С. 21-26;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39277 (дата обращения: 15.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074