Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАПАСА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ИХ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Сибгатуллин К.Э. 1 Сибгатуллин Э.С. 1
1 Набережночелнинский институт (филиал) Казанский (Приволжский) федеральный университет
Рассмотрены стержни произвольной формы, изготовленные из однородного изотропного материала. В общем случае в поперечном сечении стержня отличны от нуля все внутренние силовые факторы (ВСФ) – три силы и три момента. При известных значениях ВСФ определяется соответствующий вектор прочности в пространстве ВСФ и коэффициент запаса как отношение модуля вектора прочности к модулю вектора ВСФ. Расчётная модель базируется на гипотезах плоских сечений, малых деформаций, на соотношениях теории течения для жёсткопластического тела, использует постулат Друккера. Предлагаемые метод и алгоритм определения коэффициента запаса прочности, с использованием предельной комбинации ВСФ в сечении стержня, дают существенно более правильное представление о его прочности, чем соответствующий расчёт с использованием предельной комбинации напряжений в опасной точке этого сечения. Приведены примеры расчетов: составного стержня, поперечное сечение которого составлено из прямоугольника, швеллера и равнобокого уголка, и крыла самолёта Ту-154.
стержни
изотропия
запас прочности
метод предельных состояний
1. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1975. – 654 с.
2. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Монахов Н.И. и др. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1975. – 480 с.
3. Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. шк., 1984. – 472 с.
4. Сибгатуллин К.Э., Сибгатуллин Э.С. Метод вычисления предельных сил и моментов для изотропных стержней произвольного поперечного сечения в общем случае их сложного сопротивления // Изв. вузов. Авиационная техника. – 2008. – № 2. – С. 14–16.
5. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.
6. Сибгатуллин К.Э., Сибгатуллин Э.С., Тимергалиев С.Н. Прогнозирование прочности стержней, входящих в конструкцию несущей системы автомобиля КамАЗ // Изв. ТулГУ. Технические науки. – 2010. – Вып. 4. – Ч. 2. – С. 153–160.
7. Сибгатуллин К.Э., Сибгатуллин Э.С., Шибаков В.Г. Оценка предельной грузоподъемности несущей системы самосвала КамАЗ 65115 // Перспективы науки. – 2010. – № 11(13). – С. 64–73.
8. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.

Во многих курсах науки о сопротивлении материалов [1, 2, 3 и др.] рассматривают, как правило, следующие частные случаи сложного сопротивления стержня: косой изгиб, внецентренное сжатие (растяжение), изгиб с кручением. Влиянием поперечных сил на разрушение стержня при его сложном сопротивлении часто пренебрегают, считая это влияние несущественным. Проверку прочности стержня осуществляют, сопоставляя наибольшее нормальное (или эквивалентное) напряжение max|σ|, действующее в опасной точке стержня, с соответствующим опасным напряжением |σu| для материала. В настоящей работе предложена методика проверки прочности изотропных стержней, при нахождении в пространстве сил и моментов. Она является развитием работы [4].

На рис. 1 показаны ВСФ, действующие в поперечном сечении стержня: sibgatull01.wmf – нормальная сила; sibgatull02.wmf – поперечные силы; sibgatull03.wmf – крутящий момент; sibgatull04.wmf – изгибающие моменты. При известном векторе ВСФ sibgatull05.wmf необходимо определить соответствующий ему вектор прочности sibgatull06.wmf и коэффициент запаса несущей способности рассматриваемого сечения

sibgatull07.wmf (1)

На рис. 2 схематически изображена предельная поверхность (поверхность прочности) Σ в пространстве ВСФ. Здесь sibgatull08.wmf – известный вектор ВСФ (например, из решения задачи о напряженно-деформированном состоянии стержня методами сопротивления материалов). sibgatull09.wmf – искомый вектор прочности, соответствующий вектору sibgatull10.wmf. Очевидно, что векторы sibgatull11.wmf и sibgatull12.wmf должны лежать на одной прямой и быть одинаково направленными; их начала должны совпадать с началом координат в пространстве ВСФ.

pic_68.tif

Рис. 1. ВСФ, действующие в поперечном сечении стержня

pic_69.tif

Рис. 2. Поверхность прочности Σ в пространстве ВСФ

Критерий достижения предельного состояния материала стержня запишем в следующем виде:

sibgatull13.wmf (2)

Критерий (2) для стержней следует из критерия Мизеса [5], когда справедливы следующие гипотезы:

σyy = σzz = 0; εyz = εzy = 0.

Здесь σij, εij (i, j = x, y, z) – компоненты тензоров напряжений и деформации соответственно; σ0 – опасное значение нормального напряжения при линейном напряженном состоянии. В работе [4], исходя из уравнения (2) и используя жесткопластическую модель деформируемого твердого тела, получили следующие параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве ВСФ для изотропных стержней:

sibgatull14.wmf

sibgatull15.wmf

sibgatull16.wmf

sibgatull17.wmf (3)

sibgatull18.wmf

sibgatull19.wmf

Параметрами в системе уравнений (3) являются отношения компонент вектора скоростей обобщенных перемещений sibgatull20.wmf. В общем случае эти параметры невозможно исключить из уравнений (3), используя для этой цели точные математические методы. В работе [4] приведены алгоритм построения различных сечений поверхности (3) и некоторые примеры построения таких сечений. Информация о сечениях поверхности (3) полезна, например, при решении задач о предельном состоянии стержневых конструкций (балок, ферм, рам) с применением кинематического и статического методов теории предельного равновесия [5] и аппарата математического программирования (см., например, работы [6, 7]). Различные сечения поверхности (3) могут быть полезными и при определении коэффициента запаса по несущей способности в частных случаях сложного сопротивления стержней. Например, имея сечения поверхности (3) координатной плоскостью NxOMx,, можно сравнивать соответствующие векторы sibgatull21.wmf и sibgatull22.wmf при растяжении (сжатии) с кручением. Можно предположить, что область практических приложений уравнений (3) существенно расширится, если удастся использовать их при определении коэффициента запаса несущей способности в самом общем случае сложного сопротивления стержней. Ниже приведен вариант решения этой проблемы.

Компоненты коллинеарных векторов sibgatull23.wmf и sibgatull24.wmf удовлетворяют следующим равенствам:

sibgatull25.wmf (4)

Используя (4), можно записать следующую систему уравнений:

sibgatull26.wmf sibgatull27.wmf

sibgatull28.wmf (5)

sibgatull29.wmf sibgatull30.wmf

Подставив (3) в (5), получаем

sibgatull31.wmf

sibgatull32.wmf

sibgatull33.wmf (6)

sibgatull34.wmf

sibgatull35.wmf

Так как в рассматриваемом случае существенное значение имеет только направление вектора sibgatull36.wmf, а его длина может быть произвольной, в качестве дополнительного к системе (6) примем уравнение

sibgatull37.wmf (7)

Алгоритм определения коэффициента запаса по предельным состояниям изотропных стержней в общем случае их сложного сопротивления:

1. Определить вектор ВСФ sibgatull38.wmf в опасном сечении стержня.

2. Решить систему уравнений (6), (7) относительно sibgatull39.wmf sibgatull40.wmf sibgatull41.wmf sibgatull42.wmf sibgatull43.wmf sibgatull44.wmf т.е. найти вектор sibgatull45.wmf, связанный с вектором прочности sibgatull46.wmf ассоциированным законом [5] (рис. 2).

3. Используя формулы (3), по известному вектору sibgatull47.wmf определить соответствующий вектор прочности sibgatull48.wmf.

4. Проверить выполнение условий (4).

5. Используя (1), определить коэффициент запаса прочности k изотропного стержня по методу предельных состояний.

Искомые компоненты вектора sibgatull49.wmf присутствуют и в составе подынтегральных функций интегралов по площади поперечного сечения I1–I6 [4].

pic_70.tif

Рис. 3. Поперечное сечение составного стержня

Рассмотрим составной стержень, поперечное сечение которого показано на рис. 3. Прямоугольник имеет размеры 0,02×0,32 м, размеры швеллера соответствуют № 16, а равнобокого уголка – № 8. На рис. 3 представлен вариант разбиения сечения на конечные элементы – для численного вычисления интегралов I1–I6. Оси y, z – главные центральные оси сечения, y1, z1 – произвольные оси. Для этого стержня в работе [4] приведены некоторые сечения предельной поверхности (3).

С использованием программы, реализующей вышеописанный алгоритм, были получены результаты, приведенные в таблице. Строки 1–8 соответствуют сечению, изображённому на рис. 3; в них силы умножены на 103, моменты – на 104. Строки 9–14 соответствуют сечению, приведённому на рис. 4. Силы имеют размерность м2, моменты – м3.

В качестве второго примера рассмотрим определение коэффициентов запаса прочности для сечения крыла самолёта Ту-154 при различных сочетаниях заданных внутренних сил и моментов (рис. 4). Геометрические параметры крыла приведены на сайте http://www.twirpx.com/files/transport/aircrafting/ft.blueprint/. На рис. 4 выделена учитываемая при расчётах часть профиля крыла.

Предлагаемая методика проверки прочности стержней имеет следующие достоинства:

1. Исчезает необходимость выделения частных видов сложного сопротивления стержней (косой изгиб, изгиб с кручением и т.п.).

2. Все компоненты ВСФ, действующие в поперечном сечении стержня, на равных правах участвуют в процессе проверки прочности.

3. На форму и размеры стержня накладываются только самые общие ограничения, принятые в теории стержней.

4. Метод проверки прочности по предельным состояниям позволяет точнее определять коэффициент запаса прочности, чем метод расчета по допускаемым напряжениям – особенно в тех случаях, когда имеет место вязкое разрушение. В работе [8] отмечено: «Очевидно, что расчет по предельным нагрузкам дает существенно более правильное представление о прочности конструкции, чем расчет по максимальным напряжениям». Это утверждение справедливо и для отдельно взятых стержней.

Предлагаемая методика проверки прочности стержней по предельным состояниям может найти применение в практике расчетов и проектирования различных изделий.

Некоторые результаты определения k

№ п/п

sibgatull50.wmf

sibgatull51.wmf

sibgatull52.wmf

sibgatull53.wmf

sibgatull54.wmf

sibgatull55.wmf

k

1

5,2523

10,505

2,4208

4,8417

2,267

4,5339

1,4023

2,8047

3,8428

7,6857

0,3701

0,74019

0,5

2

–5,2523

–5,2523

–2,4208

–2,4208

–2,267

–2,267

–1,4023

–1,4023

–3,8428

–3,8428

–0,3701

–0,3701

1

3

5,3438

3,5625

2,2673

1,5115

2,1172

1,4114

1,9013

1,2676

3,6628

2,4419

0,39165

0,2611

1,5

4

–5,3438

–2,6719

–2,2673

–1,1336

–2,1172

–1,0586

–1,9013

–0,95066

–3,6628

–1,8314

–0,39165

–0,19582

2

5

1,3077

0,52307

0,67519

0,27007

1,5247

0,6099

3,0607

1,2243

4,0957

1,6383

1,2397

0,49587

2,5

6

–8,184

–2,728

–1,9351

–0,64505

–1,8908

–0,63028

–0,61323

–0,20441

–0,63986

–0,21329

–0,056516

–0,018839

3

7

–3,7883

–0,75766

2,0758

0,41515

–1,8939

–0,37878

0,21893

0,043785

–0,42052

–0,084104

0,088655

0,017731

5

8

3,7883

0,37883

–2,0758

–0,20758

1,8939

0,18939

–0,21893

–0,021893

0,42052

0,042052

–0,88655

–0,088655

10

9

808,3

538,87

–183,62

–122,41

127,53

85,018

8,28·106

5,52·106

2,00·106

1,33·106

3,69·107

2,46·107

1,5

10

–808,3

–404,15

183,62

91,81

–127,53

–63,764

–8,28·106

–4,14·106

–2,00·106

–9,99·105

–3,69·107

–1,85·107

2

11

47656

19062

7942,7

3177,1

7942,7

3177,1

–0,00010795

–4,32·10–5

0,00102

0,000408

–0,00037232

–0,00015

2.5

12

–47656

–15885

–7942,7

–2647,6

–7942,7

–2647,6

10,795·10–5

3,60·10–5

–0,00102

–0,00034

0,00037232

0,000124

3

13

753,26

215,22

–219,09

–62,598

93,55

26,728

8,28·106

2,37·106

2,0·106

5,71·105

3,70·107

1,06·107

3.5

14

–753,26

–188,31

219,09

54,773

–93,55

–23,387

–8,28·106

–2,07·106

–2,00·106

–5,00·105

–3,70·107

–9,24·106

4

pic_71.tif

Рис. 4. Поперечное сечение крыла самолёта Ту-154

Рецензенты:

Габбасов Н.С., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математики, Набережночелнинский институт (филиал), Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Набережные Челны;

Хабибуллин Р.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой сервиса транспортных систем, Набережночелнинский институт (филиал), Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Набережные Челны.


Библиографическая ссылка

Сибгатуллин К.Э., Сибгатуллин Э.С. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАПАСА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ИХ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 11-1. – С. 105-109;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39292 (дата обращения: 20.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074