Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОСТИ, ПОКРЫТОЙ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНОЙ, НАХОДЯЩЕЙСЯ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ

Лемясева Н.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева»
На наш взгляд, эта тема очень важна для современной науки. Идея статьи заключается в построении модели распространения поверхностных волн в слое жидкости, покрытой тонкой упругой пластиной, на пористом основании. Первым, что необходимо рассмотреть, является пористая среда, ограниченная снизу твердой непроницаемой стенкой и насыщенная этой же жидкостью целиком. На поверхности жидкости находится тонкая упругая пластина. Согласно этому построена математическая модель распространения поверхностных волн в слое жидкости, покрытой тонкой упругой пластиной, находящейся на пористом основании. В статье представлен вывод дисперсионного уравнения распространения волн из решения соответствующей однородной системы линейных уравнений, полученной из граничных условий. Основными характеристиками распространения поверхностных волн являются частота и декремент затухания. Построены графики изменения декремента затухания и частоты в зависимости от толщины слоя жидкости и пористого основания, сделаны выводы. Из этого всего следует, что эта тема очень интересна для исследования.
поверхностные волны
тонкая упругая пластина
декремент затухания
частота
1. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. – М.: Мир, 1964. – 350 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975. – 431 с.
3. Тактаров Н.Г. Конвекция намагничивающихся жидкостей в пористых средах // Магнитная гидродинамика. – 1981. – № 4. – С. 33–35.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. – М.: Наука, 1976. – 573 с.
5. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. – М.: Наука, 1977. – 815 с.

Система координат выбирается так, что ось z направлена вертикально вверх, а плоскость z = 0 совпадает с поверхностью раздела свободной жидкости и пористой среды, насыщенной жидкостью. Толщины плоских слоев пористой среды и свободной жидкости равны h1 и h2 соответственно. Величины, относящиеся к насыщенной пористой среде, обозначим индексом 1, а к свободной жидкости – 2.

Уравнения движения жидкости в пористой среде запишем в виде [1, 2]

lemays01.wmf

lemays02.wmf (1)

Здесь ? – пористость матрицы; ?, ? – плотность и динамическая вязкость жидкости; K – коэффициент проницаемости; lemays03.wmf – макроскопическая скорость фильтрации; p1 – давление; lemays04.wmf – ускорение свободного падения.

Потенциал скорости lemays05.wmf в слое свободной жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа [2]

?? = 0. (2)

Применяя к первому уравнению (1) операцию rot rot и проецируя получившееся уравнение на ось z, получим уравнение для вертикальной компоненты скорости u1z

lemays06.wmf (3)

Граничные условия на поверхностях раздела имеют вид (1), (4)

lemays07.wmf lemays08.wmf (4)

lemays09.wmf

При lemays10.wmf

lemays11.wmf (4?)

Здесь ? – смещение точек пластины в вертикальном направлении; lemays12.wmf – цилиндрическая жесткость пластины; ?0 – плотность материала пластины; h0 – толщина пластины; E – модуль Юнга; ? – коэффициент Пуассона.

Первое из условий (4) – это условие непротекания на твердой стенке, ограничивающей снизу пористую среду; второе – условие непрерывности расхода на границе раздела жидкость – пористая среда, насыщенная жидкостью; третье – непрерывность давления на этой же границе; четвертое условие является следствием непрерывности давления на свободной возмущенной поверхности слоя жидкости с учетом линеаризованного интеграла Кош – Лагранжа [3] и кинематического условия

lemays13.wmf

где ?(x, y, t) – смещение точек свободной поверхности в вертикальном направлении.

Решение уравнений (2), (3) с граничными условиями (4) и (4?) ищем в виде

lemays14.wmf (5)

lemays15.wmf

lemays16.wmf

lemays17.wmf lemays18.wmf

где k1, k2 – вещественные волновые числа, характеризующие периодичность волновых решений (5) по направлениям x и y; ? – частота колебаний; Re(?) = ? – декремент затухания колебаний.

Подставляя (5) в (2), (3), находим

lemays19.wmf (6)

lemays20.wmf lemays21.wmf

где штрих означает дифференцирование по z.

Граничные условия (4) и (4?) для амплитуд U(x), ?(z) имеют вид

U(z) = 0 (z = –h1); U(z) = ??(z) (z = 0); (7)

lemays22.wmf (z = 0);

lemays23.wmf (z = h2).

Решением системы дифференциальных уравнений (6) являются функции

lemays24.wmf (8)

lemays25.wmf

Граничные условия (7) с учетом (8) приводят к однородной системе алгебраических уравнений

lemays26.wmf

lemays27.wmf (9)

lemays28.wmf

lemays29.wmf

Приравнивая определитель системы (9) к нулю, находим дисперсионное уравнение для поверхностных волн

lemays30.wmf (10)

lemays31.wmf

lemays32.wmf

lemays33.wmf

lemays34.wmf

Уравнение (10) кубическое относительно ? с действительными коэффициентами, которое может быть приведено к «неполному» кубическому уравнению [5]. Запишем для этого уравнение (10) в виде

lemays35.wmf (11)

где коэффициенты a, b, c – действительные числа, причем

lemays36.wmf

lemays37.wmf (12)

lemays38.wmf

Величину ? представим в виде lemays39.wmf Тогда получим уравнение относительно неизвестного y, которое не содержит квадрата этого неизвестного:

lemays40.wmf (13)

где lemays41.wmf lemays42.wmf

Выражение

lemays43.wmf (14)

называется дискриминантом уравнения (13). При условии D < 0 в формуле Кардано [5] под знаком каждого из кубичных радикалов оказывается действительное число. Кубический корень из действительного числа имеет одно действительное и два комплексно-сопряженных числа. В этом случае существует колебательное движение жидкости.

При условии D ? 0 комплексно-сопряженных корней нет, т.е. в этом случае колебательное движение отсутствует, поэтому этот случай не рассматривается при решении уравнения (13), т.к. при этом волны отсутствуют.

На рис. 1 приведены графики рассчитанных зависимостей декремента затухания ? от волнового числа k при фиксированной толщине пористого слоя h1 = 10 см и толщине тонкой упругой пластины h0 = 0,1 см для различных значений толщины свободной жидкости h2 = 5, 10, 25, 50.

pic_7.tif

Рис. 1. Зависимость ? от k при h1 = 10 см, h0 = 0,1 см и различных значениях толщины свободной жидкости: 1 – h2 = 5 см; 2 – h2 = 10 см; 3 – h2 = 25 см; 4 – h2 = 50 см

Из рис. 1 видно, что при увеличении волнового числа k при заданном значении h2 модуль декремента затухания уменьшается, т.е. более длинные волны затухают быстрее коротких.

На рис. 2 приведены графики рассчитанных зависимостей частоты ? от волнового числа k при фиксированной толщине пористого слоя h1 = 10 см и толщине тонкой упругой пластины h0 = 0,1 см для различных значений толщины свободной жидкости h2 = 5, 10, 25, 50.

Из рис. 2 видно, что при увеличении волнового числа k при заданном значении частота увеличивается.

На рис. 3 приведены графики рассчитанных зависимостей декремента затухания ? от волнового числа k при фиксированной толщине пористого слоя h2 = 10 см и толщине тонкой упругой пластины h0 = 0,1 см для различных значений толщины свободной жидкости h1 = 5, 10, 25, 50.

Из рис. 3 видно, что при увеличении волнового числа k при заданном значении h1 модуль декремента затухания увеличивается, т.е. более короткие волны затухают быстрее длинных.

На рис. 4 приведены графики рассчитанных зависимостей частоты ? от волнового числа k при фиксированной толщине пористого слоя h2 = 10 см и толщине тонкой упругой пластины h0 = 0,1 см для различных значений толщины свободной жидкости h1 = 5, 10, 25, 50.

pic_8.tif

Рис. 2. Зависимость ? от k при h1 = 10 см, h0 = 0,1 см и различных значениях толщины свободной жидкости: 1 – h2 = 5 см; 2 – h2 = 10 см; 3 – h2 = 25 см; 4 – h2 = 50 см

pic_9.tif

Рис. 3. Зависимость ? от k при h2 = 10 см, h0 = 0,1 см и различных значениях толщины свободной жидкости: 1 – h1 = 5 см; 2 – h1 = 10 см; 3 – h1 = 25 см; 4 – h1 = 50 см

pic_10.tif

Рис. 4. Зависимость ? от k при h2 = 10 см, h0 = 0,1 см и различных значениях толщины свободной жидкости: 1 – h1 = 5 см; 2 – h1 = 10 см; 3 – h1 = 25 см; 4 – h1 = 50 см

Из рис. 4 видно, что при увеличении волнового числа k при заданном значении h1 частота увеличивается.

Таким образом, исследовано распространение поверхностных волн в слое жидкости, покрытой тонкой упругой пластиной, находящейся на пористом основании. Получено дисперсионное уравнение распространения волн, построены графики изменения декремента затухания и частоты в зависимости от толщины слоя жидкости и пористого основания.

Работа выполнена в рамках гранта на проведение научно-исследовательских работ по приоритетным направлениям научной деятельности вузов-партнёров по сетевому взаимодействию (ФГБОУ ВПО ЧГПУ и МордГПИ) по теме: «Математическое моделирование поверхностных волн в средах, взаимодействующих с магнитным и электрическим полями».

Рецензенты:

Свешников В.К., д.т.н., профессор кафедры физики и методики обучения физике, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск;

Тактаров Н.Г., д.ф.-м.н., профессор кафедры математики и методики обучения математике, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск.


Библиографическая ссылка

Лемясева Н.А. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОСТИ, ПОКРЫТОЙ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНОЙ, НАХОДЯЩЕЙСЯ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 11-6. – С. 1089-1093;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39693 (дата обращения: 19.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074