Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ В СИСТЕМАХ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ И ОЦЕНКА ЕГО ПАРАМЕТРОВ ПРИ НЕЧЕТКОСТИ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Козловская Я.И. 1 Петров А.Д. 1 Севодин М.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Настоящая работа посвящена изучению экономических моделей леонтьевского типа. Исследуемая проблема состоит в том, что в процессе производства возникают ограничения на объемы выпуска продукции. Кроме того, начальные данные для расчета продуктивности модели могут быть неточны. Цель данной работы – обобщить модель Леонтьева на случай ограничений на интенсивности производства и нечеткости исходных данных. В работе рассматривается такой случай ограничения интенсивностей отраслей, когда вектор интенсивностей лежит в выпуклом конусе. Приводится доказательство существования равновесия при ограничении такого вида. Затем осуществляется переход к задачам оптимизации. Описывается модель Леонтьева с интервальной производственной матрицей. На основе оптимизационных задач дается оценка положения равновесия для моделей с производственными матрицами, описанными с помощью интервальных чисел.
выпуклый конус
интервальная неопределенность
положение равновесия
производственное множество
1. Альсевич В. В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 256 с.
2. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. – М. ОНИКС, 2012. – 199 с.
3. Макаров В.Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия / Макаров В.Л., Рубинов А.М. – М.: Наука, 1973. – 335 с.
4. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. – М.: Мир, 1972. – 519 с.
5. Панюков А.В., Латипова А.Т. Оценка положения равновесия в модели Неймана при интервальной неопределенности исходных данных // Вестник УГАТУ. – 2008, – т.10, № 2(27). – С. 150–153.
6. Рубинов А.М. Экономическая динамика // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики». – М., 1982. – № 19. – С. 59–110.
7. Севодин М.А. Динамические системы леонтьевского типа с ограничениями на интенсивности технологических процессов // Наука и бизнес: пути развития. – 2013. – № 8. – С. 66–70.
8. Севодин М.А. Модель Неймана с ограничениями пропорций роста интенсивностей производственных процессов // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6. – Режим доступа: http://www.science-education.ru/pdf/2014/1/268.pdf.

Процессы, протекающие в экономике, таковы, что постоянно изменяются различные показатели деятельности предприятий, спроса, предложения, качества жизни и т.п. В связи с этим возникает задача выбора между удовлетворением текущего потребительского спроса и обеспечением будущего спроса. Капитальные вложения в производство должны быть такими, чтобы объем производства увеличивался наиболее оптимально. Такое увеличение объема зависит от ограничений, возникающих вследствие технических особенностей процесса производства, от ценовой стабильности, полной занятости рабочей силы и прочих экономических характеристик. Таким образом, возникает необходимость выбора такого состояния экономики из возможных, которое обеспечит наиболее долгосрочную и устойчивую перспективу развития. Такая задача выбора называется задачей определения положения равновесия в экономике.

При описании задачи нахождения положения равновесия чаще всего [1–4, 6] главной задачей считается определение таких условий и параметров экономической системы, при которых это равновесное состояние достижимо. Одновременно с этим приходится учитывать ограничения на технологические множества, описывающие интенсивность производства [7, 8].

В данной работе продолжаются исследования, начатые в [7, 8]. Рассматривается технологическое множество, представленное в виде выпуклого конуса. Делается попытка изучить влияние ограничений интенсивностей производственных отраслей на векторы цен. В более ранних исследованиях [7, 8] этот момент не изучался. В данной работе ограничения на векторы цен устанавливаются в виде конуса, сопряженного к конусу, в котором лежат векторы интенсивностей производственных процессов.

Кроме того, в статье оценивается положение равновесия в случаях, когда матрица модели представляет собой интервальную матрицу [5]. Вполне логично, что при нечетких начальных данных параметры модели могут существенно изменяться. Для оценки положения равновесия модели в этом случае осуществляется переход к оптимизационным задачам.

Постановка задачи и решение

Будем рассматривать модель Леонтьева, определяемую технологической матрицей A = (aij) [2, 7]. Предположим, что число базисных процессов равно числу товаров, т.е. матрица A является квадратной матрицей размерности n×n; более того, пусть A ≥ 0 – неразложима и примитивна.

Обозначим через z = (z1, ..., zn) – вектор интенсивностей базисных процессов, а через p = (p1, ..., pn) – соответствующий вектор цен. Говорят [2], что модель Леонтьева находится в состоянии динамического равновесия, если выполнены условия

z(E – γA) ≥ 0; (E – γA)pT ≤ 0;

z(E – γA)pT = 0, (1)

где E – единичная матрица, а γ – положительное число.

Предположим, что в связи с технологической реализуемостью в рассматриваемой экономике возникают ограничения на векторы интенсивности. Будем считать, что эти векторы z принадлежат не всему kozlovsk01.wmf, как обычно [6], а некоторому подмножеству kozlovsk02.wmf множеству Tz, которое является выпуклым многогранным конусом.

Пусть [4], kozlovsk03.wmf с некоторой квадратной матрицей Qn×n, причем qij ≥ 0, и матрицы A и Q коммутативны. Пусть матрица Q имеет обратную матрицу Q–1. Обозначим через Tp конус, определяемый соотношением kozlovsk04.wmf. Имеет место

Теорема 1

Пусть в неотрицательной матрице A нет нулевых строк. Тогда существует решение системы (1) z ∈ Tz, p ∈ Tp.

Доказательство. При доказательстве существования равновесия принципиальным является переход от неравенства z(E – γA) ≥ 0, z ∈ Tz к неравенству (E – γA)pT ≤ 0, p ∈ Tp [2]. Опишем этот переход подробно.

Обозначим λ = 1/γ. Тогда неравенства

kozlovsk05.wmf (2)

при подстановке z = wQ равносильны неравенствам

kozlovsk06.wmf

kozlovsk07.wmf

Тогда

kozlovsk08.wmf

kozlovsk09.wmf

или

kozlovsk10.wmf

kozlovsk11.wmf

Таким образом, неравенства (2) эквивалентны неравенствам

kozlovsk12.wmf

kozlovsk13.wmf (3)

Система неравенств (3) соответствует модели Неймана (AQ, Q) и, значит [2], имеет решение. Так как эта система эквивалентна системе (2), то и система (2) имеет решение. Справедливость третьего соотношения в (1) устанавливается аналогично.

Теорема доказана.

Общим положением равновесия модели Леонтьева с производственной матрицей A и матрицей ограничений Q назовем решение (λ, z, p) системы (2), соответствующее решению системы (3).

Для исследования модели важны частные положения равновесия с соответствующими экстремальными значениями λ, которые можно найти, перейдя к следующим оптимизационным задачам [1]:

kozlovsk14.wmf (4)

kozlovsk15.wmf (5)

Числа λn и λ* называются числами Неймана и Фробениуса и определяют максимальный и минимальный темп равновесного роста модели соответственно.

Примем во внимание два обстоятельства. Во-первых, все элементы матрицы Q неотрицательны (qij ≥ 0). Во-вторых, векторы w и q принадлежат симплексам, что является следствием однородности задачи. При введении в систему матрицы Q однородность сохраняется, поэтому по-прежнему можно считать, что (z, en) = 1, z ∈ Tz, и (p, en) = 1, p ∈ Tp. Здесь en = (ei)T, ei = 1, i = 1...n – единичный вектор размерности n. Тогда из (4) и (5) следует, что для нахождения параметров продуктивности модели и ее положения равновесия следует решить оптимизационную задачу вида [5]:

kozlovsk16.wmf (6)

kozlovsk17.wmf (7)

Интересно отметить, что в указанном случае возможны некоторые оценки положения равновесия для интервальных моделей леонтьевского типа.

Интервальные модели

Обозначим kozlovsk18.wmf – параметры равновесия модели Леонтьева, задаваемой матрицей A с матрицей ограничений Q, соответствующего системе (2).

Интервальной назовем модель Леонтьева (2) с матрицей затрат kozlovsk19.wmf kozlovsk20.wmf kozlovsk21.wmf

Здесь midA – матрица центров интервалов матрицы A; kozlovsk22.wmf kozlovsk23.wmf – матрицы точных верхних и нижних граней соответственно [5].

Теорема 2

Пусть интервальная модель Леонтьева с матрицей затрат A и ограничением на вектор производства в виде выпуклого конуса с матрицей Qn×n задана интервальной матрицей A. Пусть также для точечной матрицы kozlovsk24.wmf выполнены условия: kozlovsk25.wmf,

kozlovsk26.wmf (8)

kozlovsk27.wmf (9)

kozlovsk28.wmf (10)

Тогда kozlovsk29.wmf.

Доказательство. Точечная матрица представима в виде

kozlovsk30.wmf

где kozlovsk31.wmf kozlovsk32.wmf причем элементы матриц A′ и A″ неотрицательны. Подставив kozlovsk33.wmf в (8), получим

kozlovsk34.wmf

kozlovsk35.wmf

Так как матрица A″ неотрицательна, kozlovsk36.wmf. Таким образом, ∀j = 1, 2, ... n выполняется:

kozlovsk37.wmf (11)

Последнее неравенство следует из условия (9) теоремы, смысл которого

kozlovsk38.wmf kozlovsk39.wmf

Отсюда kozlovsk40.wmf.

Неравенство kozlovsk41.wmf доказывается аналогично. Действительно, при подстановке kozlovsk42.wmf в (8) получим

kozlovsk43.wmf

kozlovsk44.wmf

Так как матрица A′ неотрицательна, из первого неравенства следует kozlovsk45.wmf, поэтому для ∀i = 1, 2, ..., n выполняется:

kozlovsk46.wmf (12)

Последнее неравенство следует из условия (10) теоремы, смысл которого

kozlovsk47.wmf

kozlovsk48.wmf

Отсюда kozlovsk49.wmf. Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что для модели Леонтьева с интервальной матрицей затрат A и матрицей ограничений Qn×n число Фробениуса лежит в интервале kozlovsk50.wmf, где kozlovsk51.wmf – число Фробениуса для модели с матрицей kozlovsk52.wmf, а kozlovsk53.wmf – для модели с матрицей kozlovsk54.wmf.

Теорема 3

Если в модели Леонтьева с интервальной матрицей затрат A и ограничением на вектор производства в виде выпуклого конуса с матрицей Qn×n точечная матрица kozlovsk55.wmf удовлетворяет условию kozlovsk56.wmf то kozlovsk57.wmf.

Доказательство теоремы проводится аналогично [5].

Выводы

Модели экономики леонтьевского типа, описанные выше, являются естественным обобщением модели Леонтьева: обобщение заключается в том, что допускаются ограничения на интенсивности базовых производственных отраслей, причем множество ограничений описывается в виде выпуклого конуса. Описывается переход к оптимизационным задачам, позволяющим также получить некоторые оценки положения равновесия в интервальных моделях.


Библиографическая ссылка

Козловская Я.И., Петров А.Д., Севодин М.А. СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ В СИСТЕМАХ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ И ОЦЕНКА ЕГО ПАРАМЕТРОВ ПРИ НЕЧЕТКОСТИ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 2-1. – С. 159-162;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39899 (дата обращения: 28.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674