Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

КУСОЧНО-ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ

Ромм Я.Е. 1 Джанунц Г.А. 1
1 Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»
Метод варьируемого кусочно-интерполяционного решения одноточечной и двухточечной задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений строится на системе подынтервалов, в смежных границах которых для интерполяции берутся равные узловые значения. На основе первообразной от интерполяционного полинома Ньютона, построенного для функции правой части и представленного в виде алгебраического полинома с числовыми коэффициентами, выполняется итерационное уточнение по типу последовательных приближений Пикара. Полученное приближенное решение непрерывно и непрерывно дифференцируемо на всем промежутке приближения. Метод равномерно сходится к точному решению с ростом числа подынтервалов, одновременно выполняется равномерное приближение производной. Программная реализация дает точность приближения, существенно превосходящую точность разностных методов. Для двухточечной задачи Коши приближенное решение обладает теми же свойствами и правильным значением в конечной точке.
обыкновенные дифференциальные уравнения
одноточечная и двухточечная задача Коши
кусочно-интерполяционное решение
итерационное уточнение
1. Афанасьев А.П., Дзюба С.М., Кириченко М.А., Рубанов Н.А. Приближенное аналитическое решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2013. – Т. 53. – № 2. – С. 321–328.
2. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Метод построения приближенных аналитических решений дифференциальных уравнений с полиномиальной правой частью // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55. – № 10. – С. 1694–1702.
3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. – М.: Наука, 1966. – 632 с.
4. Дзядык В.К. О применении линейных методов к приближению полиномами решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Гаммерштейна // Известия АН СССР. Сер. матем. – 1970. – Т. 34. – Вып. 4. – С. 827–848.
5. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике: монография. – М.: Мир, 1976. – 224 с.
6. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 420 с.
7. Ромм Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки: автореф. дис. ... д-ра техн. наук. – Таганрог: ТРТУ, 1998. – 42 с.
8. Ромм Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. – 2007. – № 2. – С. 161–174.
9. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. – 2013. – № 3. – С. 169–189.
10. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерное кусочно-интерполяционное решение одноточечной и двухточечной задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений / Ин-т им. А.П. Чехова (филиал) «РГЭУ (РИНХ)» – Таганрог. – 49 с., Деп. в ВИНИТИ 05.04.16, № 57-В2016.
11. Awoyemi D.O., Kayode S.J., Adoghe L.O. A Five-Step P-Stable Method for the Numerical Integration of Third Order Ordinary Differential Equations // American Journal of Computational Mathematics. – 2014. – № 4. – PP. 119–126.
12. Fatimah B.O., Senapon W.A., Adebowale A.M. Solving Ordinary Differential Equations with Evolutionary Algorithms // Open Journal of Optimization. – 2015. – № 4. – P. 69–73 (http://dx.doi.org/10.4236/ojop.2015.43009).

Численное решение нелинейной двухточечной граничной задачи актуально для разделов оптимального управления, вариационных задач, астрофизики, биологии [5]. К основным методам решения относится сведение двухточечных задач к одноточечным задачам Коши с помощью конечно-разностных схем [6]. Излагаемый ниже метод отличается от известных по построению и тем, что дает непрерывное и непрерывно дифференцируемое компьютерное приближение решения двухточечной задачи. Метод основан на варьируемом кусочно-интерполяционном приближении решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с итерационным уточнением [9, 10]. Теоретические аналоги содержатся в [1, 2, 4], сходные эксперименты описаны в [11, 12]. В отличие от аналогов, предлагаемое итерационное уточнение строится на каждом подынтервале с помощью первообразной от интерполяционного полинома Ньютона, аппроксимирующего функцию правой части. Интерполяционный полином на подынтервале преобразуется к виду алгебраического полинома с числовыми коэффициентами, что обеспечивает табличную первообразную и позволяет программировать последовательность интегральных приближений Пикара. Для решения двухточечной задачи данный метод строится одновременно от начальной точки по направлению конечной и от конечной – к начальной. В окрестности точки пересечения встречные приближения интерполируются с применением итерационного уточнения. В результате в один проход получается непрерывное и непрерывно дифференцируемое кусочно-интерполяционное решение двухточечной задачи с точными значениями в начале и в конце промежутка.

Пусть вначале рассматривается задача Коши для ОДУ,

y′= f(x, y); y(x0) = y0, (1)

предполагается, что в области

romm01.wmf

функция f(x, y) определена, непрерывна, непрерывно дифференцируема (в точках x0 – справа, xfin – слева), удовлетворяет условию Липшица: romm02.wmf romm03.wmf. Предполагается также, что решение задачи (1) существует и единственно во всей R.

Варьируемое кусочно-интерполяционное приближение

Пусть F(x) – действительная функция одной действительной переменной, x ∈ [α, β], ε > 0 – априори заданная граница абсолютной погрешности. Строится объединение подынтервалов равной длины:

romm04.wmf P = 2k, k = 0, 1, ... (2)

На каждом подынтервале строится интерполирующий F(x) полином Ньютона Ψin(t) степени n с отстоящими на romm05.wmf узлами, n выбирается одинаковым для всех подынтервалов и минимальным при условии

romm06.wmf x ∈ [xri, xri+1], romm07.wmf romm08.wmf (3)

Интерполяционный полином

romm09.wmf romm10.wmf (4)

где xij = xi + jh – узлы интерполяции, romm11.wmf; ΔjFi0 – конечная разность j-го порядка, преобразуется к виду romm12.wmf romm13.wmf. Для этого вычисляются romm14.wmf romm15.wmf romm16.wmf, полагается bij = ΔjFi0, romm17.wmf. Полином romm18.wmf разложен по корням k = 0, 1, ..., j – 1, находятся его коэффициенты:

romm19.wmf (5)

Пусть zl = l, romm20.wmf. Для любых корней zl коэффициенты (5) дает формула [7, 8]

romm21.wmf

где k-й шаг умножения матриц справа налево записывается в виде

romm22.wmf (6)

Здесь

romm23.wmf,

romm24.wmf, romm25.wmf.

При k = j левые части (6) совпадут с коэффициентами (5). После преобразований интерполяционный полином примет вид

romm26.wmf (7)

где ai0 = F(xi0), romm27.wmf Проверка точности приближения (3) полиномом (7) выполняется на каждом подынтервале в точках, равноотстоящих на h/γ, γ ≥ 3 – параметр. Для x ∈ [xi, x i+1) адрес выборки соответственных коэффициентов (7) даст i = [(x – α)/ρ], ρ = x i+1 – xi, romm28.wmf. Построение полинома начинается от n = 1 при k = 0 для каждого i из (2), P = 2k, с проверкой (3) во всех проверочных точках. При нарушении (3) хоть в одной из них значение k увеличивается на единицу, так продолжается до априори заданной границы k ≤ k0. Если в результате искомая точность приближения не достигнута, то полагается k = 0, при этом n увеличивается на единицу, и так – до априори заданной границы n ≤ n0. Фиксируется наименьшее n, при котором (3) верно во всех проверочных точках всех подынтервалов, в соответствии с этим фиксируется k [7, 9].

Подобным способом аппроксимируется f(x, φ(x)) из (1), где y ≈ φ(x). Вначале в правую часть вместо y подставляется y0. Функция f(x, y0) приближается полиномами вида (7) по изложенной схеме так, как если бы F(x) равнялась f(x, y0). При фиксированных на выходе алгоритма n и k на подынтервале [xi–1, xi], i = 1, аналогично, при i = 2, 3, ..., выполняется итерационное уточнение. Первообразная

romm29.wmf

в виде romm30.wmf принимается за приближение решения на данном подынтервале: romm31.wmf. Полагается romm32.wmf, при той же степени n на том же подынтервале строится аппроксимирующий полином (4) в форме (7):

romm33.wmf.

Снова берется первообразная с тем же значением константы

romm34.wmf

в виде romm35.wmf, подставляется в правую часть, romm36.wmf, которая аппроксимируется аналогично:

romm37.wmf

Итерации

romm38.wmf

romm39.wmf l = 1, 2, ...,

где romm40.wmf, продолжаются до достижения заданной малости невязки, при реализации l ≤ q = const, t из (3).

Весь отрезок решения задачи (1) разбивается на отрезки равной длины:

romm41.wmf

α r+1 = βr, romm42.wmf, (8)

каждый отрезок [αr, βr] обрабатывается как [α, β] из (2), аналогично (2) рассматривается

romm43.wmf

r = 0, 1, ..., M – 1, P = 2k, k ∈ {0, 1, ...}. (9)

За начальное значение на левой границе подынтервала [xri, xri+1] всегда принимается конечное значение на правой границе предыдущего подынтервала [xri–1, xri]: romm44.wmf, i = 1, 2, ..., P – 1, аналогично, при переходе от [αr, βr] к [α r+1, βr+1].

Пусть произвольно выбрано n, 1 ≤ n ≤ n0, n0 = const. Предполагается, что f(x, y(x)) имеет n + 1 непрерывную производную в R. Обозначим romm45.wmf, где romm46.wmf – приближение y(x) с помощью полинома romm47.wmf. При P = 1, i = 0, [xr0, xr1] = [αr, βr], погрешность приближения полиномом (4), обозначаемым Ψr0n(t), оценивается из неравенства [3]:

romm48.wmf romm49.wmf (10)

где romm50.wmf romm51.wmf Оценка соответствует k = 0 в (9), что интерпретируется как 0-й этап разбиения αr, βr]. Из (10) следует [9, 10]:

P = 1, [αr, βr] = [xr0, xr1], romm52.wmf romm53.wmf (11)

где 1 ≤ n ≤ n0,

romm54.wmf c = const. (12)

Если P = 2, и на каждом из подынтервалов [xr0, xr1], [xr1, xr2] разбиения (9) выполняется интерполяция полиномом (4) с тем же значением n, то с учетом равенства числа узлов, отстоящих друг от друга на каждом подынтервале на h/2, получится аналог соотношения (11) с вдвое меньшим h romm55.wmf, i = 0, 1. В общем случае [9] –

P = 2k; romm56.wmf romm57.wmf

romm58.wmf

h – шаг интерполирования полинома Ψr0n(t) на [αr, βr] при k = 0. В предположении h < 1,

romm59.wmf romm60.wmf

Пусть romm61.wmf x ∈ [xri, x ri+1]. Для приближения y(x) показано [10], что

romm62.wmf

romm63.wmf (13)

Равномерная по n оценка получится, если учесть, что 1 ≤ n, и выбрать h < 1:

romm64.wmf

romm65.wmf (14)

В рассматриваемых условиях имеет место теорема 1.

Теорема 1 [9, 10]. При любом n, 1 ≤ n ≤ n0, n0 = const, последовательность полиномов Prin+1(x), где i из (9), r из (8), равномерно на [x0, xfin] сходится к решению y(x) задачи (1) при k → ∞. Скорость сходимости оценивается из (13), где c из (12), h – расстояние между узлами полинома Ψr0n(t), интерполирующего правую часть (1) на [αr, βr]. Значение h не зависит от r и не меняется с ростом k при разбиении данного отрезка на 2k подынтервалов. При h < 1 скорость сходимости оценивается как из (13), так и из (14).

В частности, теорема верна в случае двукратной непрерывной дифференцируемости правой части (1).

Следствие 1 [10]. В тех же условиях последовательность полиномов Ψrin(t) равномерно на [x0, xfin] приближает производную y′(x) при k → ∞ с оценками:

romm66.wmf

romm67.wmf

и если h < 1, то, в частности,

romm68.wmf

romm69.wmf

На практике вариации n, 1 ≤ n ≤ n0, и k, 1 ≤ k ≤ k0, реализуются по минимуму невязки так, чтобы дробь 2–k(n+1) оказалась наименьшей за счет произведения k(n+1).

Итерационное уточнение

Вначале на отрезке [αr, βr] выполняются вариации, на основе которых выбираются и фиксируются степень полиномов n, а также количество подынтервалов 2k. Затем на каждом подынтервале [xri, xri+1], i = 0, 1, ..., 2k – 1, выполняется итерационное уточнение:

romm70.wmf

где romm71.wmf x ∈ [xri, x ri+1]; romm72.wmf

romm73.wmf romm74.wmf (15)

romm75.wmf romm76.wmf romm77.wmf

где q – конечный номер итераций на подынтервале

[xri–1, xri], romm78.wmf romm79.wmf romm80.wmf

При l ≥ 2:

romm81.wmf romm82.wmf romm83.wmf (16)

Обозначение romm84.wmf вводится для отличия от romm85.wmf, относительно которого итерационное уточнение не предполагалось. Итерации (15), (16) продолжаются до некоторой фиксированной границы l = q. Абстрактно допускается l → ∞. Показано [10], что если

romm86.wmf (17)

то

romm87.wmf romm88.wmf (18)

где romm89.wmf Если же

romm90.wmf romm91.wmf (19)

то на этом подынтервале

romm92.wmf

romm93.wmf

В условиях (19) итерационное уточнение снижает погрешность кусочно-интерполяционного приближения к решению и его производной пропорционально romm94.wmf при l → ∞, где L – константа Липшица. При условии (17) уменьшение погрешности ckr в (18) имеет коэффициент меньший единицы, если romm95.wmf.

Структура невязки

На отрезке [xj, x] фиксированной длины, x – xj << βr – αr, невязку можно представить в виде

romm96.wmf

где romm97.wmf и i – переменные значения индекса подынтервала, включающего x. Определяется разность аналогичных приближений для текущего и предшествующего количества подынтервалов:

romm98.wmf (20)

где M из (8); i1, i2 – индексы соответственно конечного и начального подынтервалов, которым принадлежат x и xj в случае 2k подынтервалов в (9). По определению, romm99.wmf для 2k подынтервалов, аналогично для – i2, romm100.wmf для 2 k–1 подынтервалов, аналогично – для i4; для случая 2k–1 подынтервалов i3, i4 – номера конечного и начального подынтервалов, соответственно включающих x и xj на отрезке [αr, βr]. Отрезки [xj, x] покрывают [αr, βr]. Для начальной пары фиксированных n и k на объединении (9) находится и запоминается наибольшее ΔM(r, k, n, l), обозначаемое ∇M(r, k, n, l). Поиск ∇M(r, k, n, l) возобновляется при том же n и возрастании k на единицу в пределах romm101.wmf, затем при увеличении n на единицу от начального k, romm102.wmf, и т.д. Среди таких максимумов определяется минимальный по всем k и n:

romm103.wmf

romm104.wmf (21)

В соответствии со значением ∇M(r, k, n, l; min) фиксируется 2k и n в границах [αr, βr]. В программной реализации минимум (21) определяется с итерационным уточнением полиномов в (20) при некотором l = const. Для соответственно зафиксированных k и n заново выполняется окончательное итерационное уточнение. Наибольшая точность и устойчивость метода относительно вида задачи достигается со следующей невязкой [10]:

romm105.wmf.

Здесь ω – постоянное целое, выбранное экспериментально: ω = 5; ωτ – фиксированная часть длины [αr, βr], в случае 1 << βr – αr экспериментально выбранная как romm106.wmf. В случае жестких задач βr – αr < 1, и romm107.wmf p ≥ 2. Знаменатель нормирует невязку, ε > 0 – наименьшее число для исключения деления на ноль. С romm108.wmf выполняется то же, что с ΔM(r, k, n, l), для выбора romm109.wmf, определяемого аналогично ∇M(r, k, n, l; min).

Случай системы ОДУ

Рассматривается задача

Y′ = F(x, Y); Y(x0) = Y0, (22)

где F(x, Y) = (f1(x, Y), f2(x, Y), ..., fN(x, Y)); Y = (y1(x), y2(x), ..., yN(x)); Y0 = (y01, y02, ..., y0N). Здесь и ниже F обозначает вектор-функцию N + 1 переменных в отличие от обозначения функции одной переменной в (3), (4). Используется romm110.wmf Предполагается, что в области romm111.wmf выполнены условия существования и единственности, функция F(x, Y) определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема, удовлетворяет условию Липшица:

romm112.wmf romm113.wmf romm114.wmf romm115.wmf

Кусочно-интерполяционное приближение и итерационное уточнение строятся для каждого уравнения системы (22) в полной аналогии случаю одной переменной. Здесь и ниже приближения всех компонентов на шаге рассматриваются при одних и тех же значениях l, k, n одновременно во всех уравнениях системы. Если правая часть (22) (n + 1)-кратно непрерывно дифференцируема в R0, то при каждом romm116.wmf выполнено [10]:

romm117.wmf x ∈ [xr0, xr1],

где Ψjr0n(t) – интерполяционный полином Ньютона в форме с числовыми коэффициентами, построенный для аппроксимации romm118.wmf romm119.wmf romm120.wmf Отсюда следует

romm121.wmf x ∈ [xr0, xr1], (23)

где romm122.wmf C = const,

romm123.wmf

romm124.wmf romm125.wmf (24)

h – шаг интерполирования полинома Ψjr0n(t) на [αr, βr] при k = 0, одинаковый для всех k = 1, 2, ... и для всех romm126.wmf. В предположении h < 1, –

romm127.wmf romm128.wmf (25)

На основе (23)–(25) получаются следующие оценки [10]:

romm129.wmf romm130.wmf

где P jrin+1(x) – первообразная от Ψjr0n(t), приближающая j-ю компоненту решения, при ограничении n ≤ n0, n0 = const,

romm131.wmf

romm132.wmf

и, в предположении h < 1, –

romm133.wmf romm134.wmf

romm135.wmf

romm136.wmf

Отсюда следует равномерная сходимость romm137.wmf к Y(x) на [x0, xfin]. С данными оценками формулируется аналог теоремы 1 для системы (22). Доказывается [10], что romm138.wmf равномерно на [x0, xfin] приближает производную Y′(x) при k →∞ с оценками:

romm139.wmf

romm140.wmf

и, при h < 1,

romm141.wmf

romm142.wmf

Итерационное уточнение

На [αr, βr] выполняются вариации, на основе которых выбираются и фиксируются степень полиномов n и количество подынтервалов 2k, затем на каждом подынтервале [xri, x ri+1], i = 0, 1, ..., 2k – 1, выполняется итерационное уточнение:

romm143.wmf romm144.wmf romm145.wmf

romm146.wmf romm147.wmf romm148.wmf

romm149.wmf romm150.wmf

где q – конечный номер итераций на предыдущем подынтервале [xri–1, xri]. Далее,

romm151.wmf

romm152.wmf

romm153.wmf

romm154.wmf

Если

romm155.wmf

то romm156.wmf

romm157.wmf romm158.wmf (26)

если же

romm159.wmf

l = 0, 1, ..., romm160.wmf

то [10]

romm161.wmf (27)

Согласно (26), (27) итерационное уточнение уменьшает погрешность кусочно-интерполяционных приближений решения задачи (22) аналогично одномерному случаю.

Варьируемое кусочно-интерполяционное приближение решения двухточечной задачи Коши для системы ОДУ

Двухточечная задача Коши для системы (22) на отрезке [x0, xfin] ставится в виде

Y′ = F(x, Y); Y(x0) = Y0; Y(xfin) = Yfin,

где Y, F(x, Y) – те же, что в (22), Y0 = (y01, y02, ..., y0N); Yfin = (yfin1, yfin2, ..., yfinN). Для ее решения отрезок [x0, xfin] делится на две части, примерно, возле середины:

romm162.wmf.

На отрезке [x0, xpr] задача решается в точности описанным выше способом (движение вдоль этого отрезка обозначается romm163.wmf). На отрезке [xpr, xfin] решение задачи выполняется в полной аналогии с предыдущим, однако за вектор начальных значений принимается (Y(xfin) = Yfin, и от точки xfin движение решения идет в обратном направлении – к xpr (движение в обратном направлении обозначается romm164.wmf). Обратное направление реализуется отрицательным значением шага –h во всех конечных разностях, построенных от xfin как от начальной точки, в каждом интерполяционном полиноме Ньютона на каждом подынтервале. Итерационное уточнение также строится в обратном направлении и имеет вид

romm165.wmf

romm166.wmf romm167.wmf

где romm168.wmf – правый конец подынтервала и romm169.wmf. Этих изменений достаточно для получения кусочно-интерполяционного приближения на romm170.wmf с теми же свойствами и с той же точностью, как в прямом направлении [10]. Приближения решения и его производной склеиваются на romm171.wmf и на romm172.wmf в точке xpr с помощью интерполяционного полинома Ньютона той степени, которая получена на правой границе xpr по направлению вдоль romm173.wmf. При этом часть узловых значений заимствуется слева от xpr, часть – справа от этой точки на romm174.wmf. Полученный полином подвергается итерационному уточнению. Метод реализует программа [10], результат работы которой ниже приводится для задачи

romm175.wmf romm176.wmf y1(1) = 2; y2(1) = 4, .... y1(512) = 262656; y2(512) = 263169:

1.00, 6.12, … , 26.60, 31.72, 36,84, … , 509.44, 5.12

0.00, 0.00, , … , 0.00, 1.11×10–16, 0.00, …, 0.00, 0.00

В первой строке – значения независимой переменной, во второй – соответственная норма абсолютной погрешности приближенного решения. Точность приближения сравнима с точностью изложенного метода для соответствующих одноточечных задач Коши. Программы, эксперименты, доказательства приведенных утверждений приведены в [10].

Заключение

Компьютерный метод приближенного решения одноточечной и двухточечной задач Коши для ОДУ дает аналитическое приближение решения и его производной на основе кусочной интерполяции путем соединения узлов на смежных границах подынтервалов и задания в них равных узловых значений. С ростом числа подынтервалов метод равномерно сходится к решению, одновременно равномерно приближается производная. Скорость сходимости обратно пропорциональна числу подынтервалов. На основе преобразования интерполирующих решение и производную полиномов к алгебраическому виду с числовыми коэффициентами выполняется итерационное уточнение по типу последовательных приближений Пикара. Достигается сравнительно высокая точность приближения решения и производной для жестких и нежестких задач [10].


Библиографическая ссылка

Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. КУСОЧНО-ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 6-2. – С. 308-317;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40415 (дата обращения: 22.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074