Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Филиппова Т.С. 1 Ахмедиев С.К. 1 Орынтаева Г.Ж. 1
1 РГП на ПХВ «Карагандинский государственный технический университет»
В работе проведено исследование плоских статически определимых и статически неопределимых ферм. Для определения перемещений узлов и усилий в стержнях применен метод конечных элементов (МКЭ). Приведены все разрешающие матрицы отдельного конечного элемента в местной и глобальной системах координат. Матрица жесткости системы для двухнапольной фермы с параллельными поясами для различных размеров и осевых жесткостей. Приведены результаты расчета при различных схемах загружения и разнообразных условиях опирания. В частности, выполнено исследование влияния геометрических размеров фермы на значения узловых перемещений и осевых усилий в стержнях фермы. Полученные теоретические положения и численные результаты могут найти широкое применение как в научных исследованиях, так и в практике проектирования строительных и машиностроительных ферм.
напряженно-деформированное состояние
плоские формы
узловые перемещения
конечный элемент стержневой системы
матрица преобразований
матрица жесткости системы
вектор узловых сил
продольные силы
матрица опорных связей
статически определимые и статически неопределимые фермы
1. Бакиров Ж.Б., Жадрасинов Н.Т., Ахмедиев С.К. Вычислительная механика. – Караганда, КарГТУ, 2004. – 102 с.
2. Бате К., Вилсон Е. Численные методыанализа и метод конечных элементов (пер. с англ.) / под ред. А.Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат, 1982. – 448 с.
3. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий А.С., Пискунов В.Г. Метод конечных элементов/ под. ред. П.М. Варвака. – Киев: Будiвельник, 1981. – 176 с.
4. Зенкевич О. Метод конечныхэлементов в технике. – М.: Наука, 1975. – 271 с.
5. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики. – М.: Стройиздат, 1981. – 435 с.
6. Постнов В.А, Хархурин Н.Я. Метод конечных элементов. – Л.: Судостр., 1974. – 344 с.
7. Справочник по теории упругости / под ред. П.М. Варвака, Ф.Ф. Рябова. – Киев: Будiвельник, 1971. – 418 с.
8. Турсунов К.А. Метод конечных элементов в строительной механике стержневых систем: уч. пособие. – Караганда: КарПТИ, 1984. – 60 с.

В строительстве, машиностроении, горном деле, а также в других отраслях материального производства зачастую применяются стержневые ажурные конструкции – фермы.

Они различаются большим многообразием геометрических размеров и схем, в том числе и по очертанию поясов, и по структуре стержневой решетки (взаимное расположение стоек и раскосов).

В процессе проектирования подобных конструкций имеется необходимость в изучении их напряженно-деформированного состояния – вычисление перемещений узлов и значений осевых усилий в стержнях.

В данной работе для решения таких задач использован метод конечных элементов для стержневых систем [1–8].

Экспериментальная часть

В качестве базового конечного элемента принят стержневой элемент фермы, произвольно ориентированный на плоскости (рис. 1).

Связь между величинами ui, zi имеет вид

filippova02.wmf

filippova03.wmf (1)

или в матричной форме

filippova04.wmf (2)

где filippova05.wmf filippova06.wmf; («Т» – индекс трансформирования);

filippova07.wmf (3)

– матрицы преобразований.

pic_44.tif

а б

Рис. 1. Конечный элемент стержневой системы: zi (i = 1, 2, 3, 4) – узловые перемещения в глобальной системе координат xy; Ni (i = 1, 2, 3, 4) – узловые силы; ui; νj (i = 1, 2; j = 3, 4) – узловые перемещения в локальной системе координат filippova01.wmf

На основе известных процедур метода конечных элементов (МКЭ) имеем

filippova08.wmf (4)

где filippova09.wmf

или filippova10.wmf (5)

– вектор узловых реакций в глобальной системе координат;

filippova11.wmf (6)

– матрица жесткости стержневого конечного элемента в глобальной системе координат; filippova12.wmf – матрица деформации конечного элемента; «Т» – индекс трансформирования соответствующих матриц.

Представим выражение (5) в блочном виде

filippova13.wmf (7)

Здесь: первый индекс элементов блока указывает на узел, в котором возникает соответствующая узловая реакция, второй индекс – номер узла, единичное смещение которого вызывает эти реакции.

По вектору filippova14.wmf продольная (осевая) сила в стержнях фермы определяется так:

filippova15.wmf (8)

Разрешающая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) метода конечных элементов имеет стандартную форму

filippova16.wmf (9)

где Sa·а – матрица реакций элементов, вызванных единичными перемещениями (матрица жесткости системы); filippova17.wmf – вектор неизвестных узловых перемещений заданной фермы; filippova18.wmf – вектор узловых реакций, вызванных заданными внешними силами, при в узлах фермы (как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении).

Учет опорных устройств (закреплений) заданной системы производится добавлением к диагональным элементам матрицы «S» значений жесткостных коэффициентов опор (их значения находятся в пределах 0–∞), т.е.

filippova19.wmf (10)

где

filippova20.wmf (11)

– матрица коэффициентов жесткостей. При наличии жестких опор filippova21.wmf при их отсутствии filippova22.wmf.

В качестве примера, иллюстрирующего предложенную выше методику расчета «МКЭ», рассмотрена плоская двухпанельная ферма с параллельными поясами (рис. 2) с шарнирными соединениями стержней в узлах фермы.

Далее приняты обозначения (рис. 2):

сβ = cos β; cα = cos α; sβ = sin β; sα = sin α;

сβ•sβ = cos β•sin β; сα•sα = cos α•sin α;

filippova23.wmf filippova24.wmf

filippova25.wmf filippova26.wmf (12)

Для рассматриваемой фермы (рис. 2) на основе уравнения (9) получена матрица жесткости системы.

Решение СЛАУ (9) дает значения искомых узловых перемещений zi (i = 1, 2, ..., 12)

filippova27.wmf (13)

где S–1 – обратная матрица.

Далее приведены результаты расчета фермы (рис. 2) при следующих конкретных значениях: a = b = c = 3,0 м; α = 45°; сα = Sα = cβ = Sβ = 0,71; k = f = 4,24.

В таблице даны значения узловых перемещений для ферм с различными схемами загружения.

Для фермы № 4 (таблица) проведено исследование изменения величин узловых прогибов zi (i = 1, 2, 3). При Ра = 10 кН в зависимости от следующих факторов:

Рис. 3: при (а = b = 3 м = const); с = 2, 4, 6, 8, 10 м.

Рис. 4: при (с = 3 м = const); a = b = 2, 3, 4, 5 м (переменно).

Рис. 5: при (а = b = 3 м = const); p = 2, 4, 6, 8, 10 кН (переменно).

pic_45.tif

Рис. 2. Расчетная схема МКЭ: zi (i = 1, 2, ..., 12) – неизвестные узловые перемещения; Nj (j = 1, 2, ..., 9) – осевые усилия в стержнях фермы

Заключение

1. В данной работе доказана эффективность расчета стержневых конструкций методом конечных элементов. В качестве иллюстрационного примера рассмотрена плоская ферма с узловым нагружением.

2. Выполнено сравнение результатов численного расчета с классическим методом аналитического расчета ферм (определение усилий способом моментной точки, способом проекций, способом вырезания узлов). При этом установлено, что эти результаты совпадают без каких-либо погрешностей, т.е. решения будут точными.

3. Установлено, что разрешающие уравнения, представляющие собой матрицы различного порядка, эффективно реализуются на ЭВМ.

Результаты расчета различных ферм «МКЭ»

 

№ п/п

Схема фермы с загружением узлов

Расчетные величины

Статически определимая ферма

1

pic_48.tif

EFzi

Ni, кН

2

pic_49.tif

 

Статически неопределимая ферма

3

pic_50.tif

EFzi, (Р4 = 6кН)

Статически определимая ферма

4

pic_51.tif

Результаты исследований даны на рис. 3–5

Окончание таблицы

 

Номера расчетных величин (узлов или стержней)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

0

0

9,091

9,091

0

61,364

0

43,182

–9,091

9,091

0

0

–3,03

0

–3,03

4,19

–6,06

–3,03

4,23

0

–3,03

2

1,914

1,914

7,177

0

7,177

3,828

16,268

3,828

3,828

3

4,396

2,198

2,198

17,417

0,382

12,257

–0,765

2,963

 

4

Результаты исследований даны на рис. 3–5

pic_46.tif

Рис. 3

pic_47.tif

Рис. 4

pic_52.tif

Рис. 5

4. Изменение размеров панелей a, b при постоянной высоте фермы «с» приводит к незначительному изменению значений перемещений z1, z3 (рис. 4).

5. Возрастание узловой нагрузки Р4 приводит к линейному изменению перемещений узлов фермы (рис. 5).

6. Изменение высоты фермы «с» при (a, b = const) линейно увеличивает значения z2, и нелинейно – z1, z3 (рис. 4).


Библиографическая ссылка

Филиппова Т.С., Ахмедиев С.К., Орынтаева Г.Ж. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛОСКИХ ФЕРМ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 6-2. – С. 329-333;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40418 (дата обращения: 21.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074