Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ИНВАРИАНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В МКЭ ДЛЯ УЧЕТА СМЕЩЕНИЯ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА КАК ТВЕРДОГО ТЕЛА

Гуреева Н.А. 1 Киселев А.П. 1 Киселёва Р.З. 1 Николаев А.П. 1
1 ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный аграрный университет»
На алгоритме формирования матрицы жесткости шестигранного объемного конечного элемента оболочки вращения с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных показано, что использование инвариантной аппроксимации перемещений обеспечивает решение общеизвестной проблемы МКЭ – учета смещения как твердого тела. Аппроксимация перемещений внутренней точки конечного элемента выполнялась в двух вариантах: с использованием скалярной аппроксимации компонент вектора перемещения; с использованием разработанной нами инвариантной аппроксимации полей перемещения. При прочностных расчетах в криволинейных системах координат скалярная аппроксимация является некорректной, так как в ней отсутствуют параметры, характеризующие используемую криволинейную систему координат. Отсюда и возникает проблема учета смещения конечного элемента как твердого тела, для решения которой служит разработанная векторная аппроксимация искомых величин.
МКЭ
объёмный шестигранный конечный элемент
узловые неизвестные
инвариантная аппроксимация перемещений
учет смещения элемента как твердого тела
1. Гуреева Н.А. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента / Н.А. Гуреева, А.П. Киселев, Р.З. Киселева // Известия ВолгГТУ. – 2010. – № 4. – С. 125–128.
2. Киселев А.П. Векторная аппроксимация полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2007. – № 1. – С. 21–24.
3. Киселёв А.П. Использование трёхмерных конечных элементов в расчётах прочности многослойных панелей / А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселёва // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2009. – № 4. – С. 37–40.
4. Киселева Р.З. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объёмного конечного элемента / Р.З. Киселёва, А.П. Киселев, Н.А. Гуреева // Изв. Вузов, сер. «Строительство». – 2010. – № 1. – С. 106–112.
5. Седов А.И. Механика сплошной среды. – М:. Наука, 1976. – т. 1. – 535 с.
6. Nikolaev A. The finite elements of a quadrilateral shape for analysis of shells taking into consideration a displacement of a body with rigid body modes / A. Nikolaev, A. Kiselyev, Yu. Klochkov // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2011. – № 3. – С. 49–59.

Геометрия оболочки вращения

В декартовой системе координат оxуz положение точки М срединной поверхности оболочки вращения определяется радиус-вектором

Gureeva01.wmf (1)

где r – радиус вращения точки М относительно оси ox; Gureeva02.wmf – орты декартовой системы координат; θ – угол, отсчитываемый от вертикального диаметра против часовой стрелки.

Векторы локального базиса точки М определяются выражениями

Gureeva03.wmf

Gureeva04.wmf

Gureeva05.wmf (2)

где r,s = r,xx,s – производная радиуса вращения по дуге меридиана s.

Cсоотношение (2) можно представить в матричном виде:

Gureeva06.wmf Gureeva07.wmf (3)

где Gureeva08.wmf Gureeva09.wmf

Дифференцированием (1) при использовании (3) можно получить производные векторов (2) в базисе этих же векторов

Gureeva10.wmf

Gureeva11.wmf (4)

Радиус-вектор произвольной точки оболочки Mς, отстоящей на расстоянии ς от срединной поверхности имеет вид

Gureeva12.wmf (5)

Базисные векторы точки Mς определяются дифференцированием (5) с учетом (4)

Gureeva13.wmf

Gureeva14.wmf (6)

Gureeva15.wmf

Точка Mς под действием на оболочку заданной нагрузки займет положение Mς*, которое определяется вектором Gureeva16.wmf, представляемым компонентами в базисе точки M

Gureeva17.wmf (7)

Производные вектора (7) определяются дифференцированием с учетом (4):

Gureeva18.wmf

Gureeva19.wmf

Gureeva20.wmf (8)

где Gureeva21.wmf

Gureeva22.wmf Gureeva23.wmf

Gureeva24.wmf – функции компонент вектора перемещения и их производных.

Ковариантные компоненты тензора деформации определяются выражениями [5]

Gureeva25.wmf (9)

где Gureeva26.wmf – ковариантные компоненты метрических тензоров в деформированном и исходном состояниях.

С использованием (6) и (8) соотношение (9) можно представить в матричном виде

Gureeva27.wmf (10)

где Gureeva28.wmf

Gureeva29.wmf [L] – матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

Закон Гука

Соотношения между напряжениями и деформациями принимаются в виде [3]

Gureeva30.wmf (11)

где σmn – контравариантные компоненты тензора напряжений; εmn – ковариантные компоненты тензора деформаций; λ, μ – параметры Ламе; amn – контравариантные компоненты метрического тензора; I1(ε) = εmn amn – первый инвариант тензора деформаций.

Соотношение (11) можно записать в матричном виде

{σ} = [D]{ε}, (12)

где {σ}T = {σ11 σ22 σ33 σ12 σ13 σ23}.

Матрица жесткости шестигранного конечного элемента

Объёмный конечный элемент, принимается в координатной системе x, θ, ς в виде шестигранника с узлами i, j, k, l на нижней грани по координате ς и узлами m, n, p, h по верхней грани [1–4, 6]. Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами a, b, c, изменяющимися в пределах –1 ≤ a, b, c ≤  1, с использованием трилинейных функций

Gureeva31.wmf Gureeva32.wmf

Gureeva33.wmf (13)

где Gureeva34.wmf

Gureeva35.wmf

Gureeva36.wmf – матрицы-строки глобальных координат узлов шестигранника.

Дифференцированием (13) определяются производные глобальных координат в локальной системе x,a, x,b, x,c, θ,a, θ,b, θ,c, ς,a, ς,b, ς,c и локальных координат в глобальной системе a,x, a,θ, a,ς, b,x, b,θ, b,ς, c,x, c,θ, c.

Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента определяется выражением

Gureeva37.wmf (14)

Аппроксимация компонент вектора перемещения (14) через узловые неизвестные выполнялась в двух вариантах.

Скалярная аппроксимация компонент вектора перемещения

Узловые неизвестные конечного элемента перемещения и их производные представляются в локальной и глобальной системах матрицами-строками

Gureeva38.wmf

Gureeva39.wmf

t = 1, 2, 3. (15)

Узловые величины (15) связаны матричной зависимостью

Gureeva40.wmf (t = 1, 2, 3), (16)

где элементами матрицы [T] являются производные глобальных координат x, θ, ς в локальной системе a, b, c для узловых точек конечного элемента.

Каждая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые значения этой же компоненты матричным выражением

Gureeva41.wmf (17)

где {ψ}T – аппроксимирующая матрица, элементами которой являются полиномы Эрмита третьей степени.

На основе скалярной аппроксимации (17) выражение (10) представляется в матричном виде

Gureeva42.wmf (18)

где Gureeva43.wmf – строка узловых неизвестных шестигранного конечного элемента;

Gureeva44.wmf

Векторная аппроксимация перемещений

В качестве узловых неизвестных конечного элемента принимаются векторы перемещений узловых точек и их первые производные в локальной и глобальной системах координат и представляются матрицами-строками

Gureeva45.wmf (19)

Gureeva46.wmf

Между столбцами (19) имеет место матричное соотношение

Gureeva47.wmf (20)

Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные (19) матричной зависимостью

Gureeva48.wmf (21)

где

γt = ψt;

Gureeva49.wmf

Gureeva50.wmf

Gureeva51.wmf

ω = i, j, k, l, m, n, p, h;

t = 1, 2, ..., 8. (22)

Производные вектора перемещения внутренней точки конечного элемента определяются дифференцированием (21)

Gureeva52.wmf

Gureeva53.wmf

Gureeva54.wmf (23)

Столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат на основе (7) и (8) можно представить матричным соотношением

Gureeva55.wmf (24)

где

Gureeva56.wmf (25)

Gureeva57.wmf – матрица, ненулевыми элементами которой являются базисные векторы узловых точек конечного элемента Gureeva58.wmf (ω = 1, 2, ..., 8).

На основании соотношений (3) можно базисные векторы узловых точек выразить через базисные векторы рассматриваемой внутренней точки конечного элемента

Gureeva59.wmf (26)

где [sω] – матрица, элементы которой определяются параметрами узловой точки ω.

После замены на основе (26) базисных векторов узловых точек в матрице Gureeva60.wmf аппроксимирующие матрицы (21) и (23) можно представить матричными соотношениями

Gureeva61.wmf

Gureeva62.wmf Gureeva63.wmf

Gureeva64.wmf (27)

Приравнивая правые части выражений (7), (8) и (27), можно получить аппроксимирующие выражения для компонент вектора перемещения внутренней точки конечного элемента

Gureeva65.wmf Gureeva66.wmf

Gureeva67.wmf Gureeva68.wmf (28)

С использованием (28) деформации (10) во внутренней точке конечного элемента определяется матричным выражением

Gureeva69.wmf (29)

где использовано преобразование

Gureeva70.wmf

С использованием соотношений (18), (29) и (12) по алгоритму [1] формируется матрица жесткости конечного элемента

Gureeva71.wmf (30)

в двух вариантах: на основе скалярной аппроксимации перемещений и на основе векторной аппроксимации. Символом {F} обозначен вектор узловых сил конечного элемента.

Пример. Рассматривалась усечённая эллипсоидная оболочка (рисунок), находящаяся под действием внутреннего давления интенсивности q. Были приняты следующие исходные данные: b– = 0,1 м; t = 0,01 м; rk = 0,005 м; Е = 2·105 МПа; ν = 0,3; h = 0,01 м; q = 2,5 МПа.

pic_90.tif

Усеченный эллипсоид вращения, загруженный внутренней равномерно распределенной нагрузкой

Расчеты выполнялись для трех усеченных оболочек с размерами больших полуосей а = 0,5 м; а = 1,0 м; а = 1,5 м. Остальные размеры остались неизменными.

Меридиональные напряжения в точках 1, 2, 3 оказались практически равными для всех оболочек и при каждом варианте аппроксимации перемещений в конечном элементе (σss = 123,5 МПа), что примерно на 0,344 % отличалось от числовых значений меридиональных напряжений, полученных из уравнения равновесия

Gureeva72.wmf

Оказались равными и значения окружных напряжений σθθ в точках 1, 2, 3 для обоих вариантов аппроксимации перемещений в конечном элементе.

а, м

σθθ, МПа

σθθ, МПа

σθθ, МПа

δsk, %

δb, %

1

2

3

4

5

6

0,5

45,32

49,97

51,45

11,9

2,9

0,1

21,42

26,64

27,90

23,20

4,5

1,5

15,51

19,94

20,83

25,5

4,2

В таблице приведены окружные напряжения в точках 5 (на срединных поверхностях оболочек на правом краю). В первой колонке приведены значения полуосей а усеченных оболочек. Во второй колонке приведены окружные напряжения, полученные при использовании скалярной аппроксимации перемещений конечного элемента. В третьей колонке даются окружные напряжения в точках 5, полученные при использовании векторной аппроксимации перемещений. В четвертой колонке даются окружные напряжения, полученные по равенству Лапласа (в данном случае приближенному)

Gureeva73.wmf

где Gureeva74.wmf на правом краю оболочки; Gureeva75.wmf – радиус вращения в концевой точке; ψk – угол наклона касательной к отчетному меридиану в концевой точке. Окружные напряжения из соотношения Лапласа определяются выражением

Gureeva76.wmf

В колонке 5, 6 таблицы приведены расхождения между значениями окружных напряжений.

δsk – расхождения между числовыми значениями напряжения колонки 2 и колонки 4; δb – расхождения между числовыми значениями напряжения колонки 3 и колонки 4.

Как видно значения окружных напряжений, полученные при использовании векторной аппроксимации перемещений (колонка 4) находятся в гораздо лучшем соответствии с результатами, полученными на основе соотношения Лапласа.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-41-02346/16).


Библиографическая ссылка

Гуреева Н.А., Киселев А.П., Киселёва Р.З., Николаев А.П. ИНВАРИАНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В МКЭ ДЛЯ УЧЕТА СМЕЩЕНИЯ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА КАК ТВЕРДОГО ТЕЛА // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 10-1. – С. 37-41;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40805 (дата обращения: 14.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074