Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОСРЕДСТВОМ СОУДАРЕНИЙ

Крупенин В.Л

Изучаются проблемы, характерные для математического моделирования динамических объектов сложной структуры, взаимодействующих через сильно нелинейные (в данном случае –ударные) силы. Рассматривается семейство стационарных склерономных линейных упруго-вязких систем с полной диссипацией энергии, обозначаемое далее A={A0;A1,..AN} Каждой из систем Ar семейства A отвечает поле перемещений ur(xr,t)ОR3, причем вектора xrОXrМR3 - суть векторные координаты точек систем Ar; tОR; r=0,1,..,N.Динамика всех членов семейства А определяется системами матричных операторов динамической податливости [1]L(r)(yr,xr;p), где p - оператор дифференцирования. Указанные операторы имеют размерность [3x3] и ставят в соответствие нелинейным силовым полям fr(xr,t) [xrОXr] поля перемещений

ur(xr,t)= L(r)(yr,xr;p) fr(yr,t) (1)

Предположим теперь, что каждая из систем Ar (r=1,...,N) соударяется с системой A0 следующим образом.

Пусть при xr=xr0 в каждой из систем Ar сосредоточено по одному включению, содержащему точечные тела с сосредоточенными массами mr0, и в то же время система A0 содержит N подобных включений приx0=x0r, в которых сосредоточены точечные тела с массами m0r; r=1,...,N. Пусть далее тела с массами mr0 могут соударяются с телами с массами m0r соответственно, так что объединенная система (семейство) A содержит N сосредоточенных ударных пар. Введем относительные координаты ur(t)=u0(x0r,t)-ur(xr0,t) и обозначим Фr силу удара в r-й ударной паре. Тогда можно записать систему из (N+1)-го операторного уравнения движения объединенной системы А (ср.[1]):

u0(x0,t)=L(0)(y0,x0;p){f0(y0,t) - Фr[ur(t), pur(t)]d(y0-x0r)}; (2)

ur(xr,t)= L(r)(yr,xr;p){fr(yr,t) + Фr[ur(t), pur(t)]d(yr-xr0)},

где d(x) - d-функция Дирака; r=1,...,N. Проведя N раз вычитаний второго уравнения (2) из первого уравнения (2), получаем для относительных координат (2) при r=1,...,N

ur(t)=Ur0(t)-L(0)(x0r,x0;p) Фr[ur(t),pur(t)]-L(r)(xr0,xr;p)Фr[ur(t),pur(t)] (3)

где обозначено: Ur0(t)=L(0)(y0,x0;p)f(y0,t)-L(r)(yr,xr;p)f(yr,t)-изменение относительных координат в отсутствии ударов и введены операторы Lk(0,r)(p)=L(0)(x0r,x0r;p); L0r(p)=L(0)(x0r,x0r;p)+L(r)(xr0,xr0;p).Таким образом соотношения (3) можно для удобства переписать и так:

ur(t)=Ur0(t)-L0r(p)Фr[ur(t),pur(t)]- L(0)(x0r,x0;p) Фk[uk(t),puk(t)] , (4)

Выведенные соотношения - весьма общи, так как моделируют поведение представительного класса линейных между ударами систем. Если необходимые системы операторов динамической податливости и распределения внешних сил заданы, а гипотеза удара, определяющая функции Фk - конкретизирована, то, найдя представления относительных координат ur0, можно при помощи соотношений (2) найти перемещения любой точки семейства А.

Основной предмет рассмотрений – моделирование периодических режимов движения, анализируются при помощи методов частотно-временного анализа [1]. В частности, изучается модель, цепочки N массивных бусин, расположенных на невесомой струне, колебания каждой из которых ограничивает линейный между соударениями осциллятор:

muk+c(2uk-uk+1-uk-1)+Фk(ur, ur)= gk(uk,…,t); k=1,....,N; u0=uN+1=0. (5)

Здесь gk - гладкие неконсервативные силы; Фk - сила удара в каждой из N ударных пар; ur,- относительные координаты. К уравнениям (5) добавим 2N уравнений ударных осцилляторов. Для группы (1) из N «верхних» осцилляторов и для группы (2) из N «нижних» осцилляторов имеем:

m1u1j + c1u1j+ Фj(ur, ur)=f1j(u1j, u1j,t) ; j=1,....,N; (6)

m1u2q + c1u2q+ Фj(ur, ur)=f2j(u2q, u2q,t) ; q=1,....,N (7)

Для отыскания периодических движений в системе (5) - (7) необходимо перейти к операторным моделям и, посредством методов частотно-временного анализа получить искомые представления через периодические функции Грина линейных систем [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 05-08-50183).

Список литературы:

1. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М.: Наука, 1985.-320 с.


Библиографическая ссылка

Крупенин В.Л МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОСРЕДСТВОМ СОУДАРЕНИЙ // Фундаментальные исследования. – 2007. – № 12-2. – С. 251-252;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=4128 (дата обращения: 23.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074