Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Ташенова Ж.М. 1, 2 Нурлыбаева Э.Н. 1, 2 Жумадиллаева А.К. 1, 2 Кудайкулов А.К. 1, 2

---

1 Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева, Астана

2 Казахский национальный университет имени К. Сатпаева, Алматы

В данной работе на основе законов сохранения энергии в сочетании применения сплайн функции в пределах каждого дискретного элемента и минимизации полной тепловой энергии строится разрешающая система линейных алгебраических уравнений, решение которого позволит строить поле распределения температур по длине исследуемого несущего элемента конструкций, оба конца которого жестко защемлены. Часть боковой поверхности теплоизолирована, а на ограниченном участке задана температура, по площадям двух защемленных концов несущего элемента. По определенным законам поле распределения строится функционал потенциальной энергии упругих деформаций с учетом наличия поля температур. Далее, минимизируя ее по узловым значениям перемещений, строится вторая разрешающая система уравнений, решение которой позволит строить поле перемещения, составляющих деформаций и напряжений. Разработанный вычислительный алгоритм и метод относительно универсален в смысле возможности численного решения класса установивщихся задач термонапряженного состояния несущих элементов конструкции, которые работают при одновременном наличии локальных температур, тепловых потоков, теплообменов и теплоизоляций.

Статья в формате PDF

882 KB

тепловые потоки

теплообмены

сохранение энергии

сплайн функции

1. Кудайкулов А.К. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных конструктивных элементах. - Туркестан: Байтерек, - 2009. - 168 с.

2. Кенжегулов Б.З., Кудайкулов А.К., Мырзашева А.Н. Численное исследование удлинения стержня из жаропрочного сплава с учетом наличия всех видов источников // Известия вузов. - Бишкек, 2009. - №4. -С. 3-7.

3. Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики. - М.: Изд. «Просвещение», 1967.

4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.

5. Бергер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 568 с.

Некоторые несущие элементы газотурбинных генераторов, водородных двигателей, парагенераторы атомных реакторов выполняются из специальных жаропрочных материалов. При этом локальные поверхности элементов теплоизолированы, через площади некоторых локальных поверхностей происходит теплообмен с окружающими этих поверхностей средами, а также на определенных локальных участках действуют температуры. В следствие этих несущих элементов возникает сложное термонапряженное состояние. В случае увеличения значений некоторых составляющих деформаций и напряжений больше чем предельных происходит разрушение этих несущих элементов. Поэтому разработка специальных вычислительных алгоритмов, методов и соответствующих прикладных программ, позволяющих численно исследовать установившееся термонапряженное состояние несущих элементов стратегических конструкций, является актуальной.

Материалом несущего элемента конструкций был взят высококачественный жаропрочный сплав АНВ-300. вычислительный алгоритм и метод исследования ориентированного использования энергетического метода в сочетании с применением аппроксимационных сплайн функций.

Рассмотрим горизонтальный стержень из жаропрочного сплава АНВ-300, ограниченной длины L, см, и постоянного поперечного сечения F, см². Коэффициент теплопроводности материала стержня K_хх, Вт/(см·°С), а модуль упругости через E, кГ/см². Оба конца стержня жестко защемлены. Координатную ось Ox направим слева направо (рис. 1).

Через площади поперечных сечений обоих концов происходит теплообмен с окружающими их средами. Коэффициент теплообмена и температура окружающих сред для левого конца h₀, Вт/(см²·°С) и T_{ос 0}, °С. Аналогично для правого конца h_L, Вт/(см²·°С) и T_{ос L}, °С. При этом h₀, h_L, T_{ос 0}, T_{ос L} = const.

Боковая поверхность участков (0 ≤ x ≤ L/3) и (2L/3 ≤ x ≤ L) ( стержня считаем теплоизолированной. На участке (L/3 ≤ x ≤ 2L/3) стержня дана температура постоянной интенсивности T_з = const . При наличии вышеприведенных источников тепла и частичной теплоизоляции стержень расширется. Но из-за защемления обоих концов появляются сжимающие усилия R. В связи с этим и из-за неоднородного поля температуры во внутренних сечениях стержня возникает неоднородное поле напряжения. Составляющие деформаций будут ε_x, ε_T, ε, а напряжений σ_x, σ_T, σ. Требуется определить поле перемещения u = u(x) упругих деформации ε_x , температурных деформации ε_T , термоупругих деформаций ε, а также упругих, температурных и термоупругих напряжений σ_x, σ_T, и σ. Для этого рассматриваемый стержень дискретизируется квадратичными элементами с тремя точками. В пределах каждого дискретного элемента поле температуры перемещения аппроксимируется полными полиномами второго порядка [1].

 (1)

где 0 ≤ x ≤ l; l - длина дискретного элемента; узловые значения температуры

для каждого дискретного элемента. Аналогично определяются узловые значения перемещения u_i, u_j, u_k.

φ_i(x), φ_j(x), и φ_k(x) функции формы для квадратного дискретного элемента, которые имеют следующие виды:

 (2)

где 0 ≤ x ≤ l сначала для каждого дискретного элемента пишется функционал полной тепловой энергии и они суммируются

 (3)

где  V₁, V₂, ..., V_n - объем дискретных элементов; F(x = 0) = F(x = L) площадь конечных сечений концов стержня. Далее, минимизируя функционал полной тепловой энергии, по узловым значениям температуры строится разрешающая система линейных алгебраических уравнений

 (4)

Решая эту систему уравнений определяется поле распределения температуры по длине стержня

Далее для каждого элемента пишется выражение функционала потенциальной энергии упругих деформаций с учетом наличия поля температур. Суммировав их по всем дискретным элементам, находим выражение соответствующего функционала для рассматриваемого стержня в целом. Здесь следует отметить, что поле распределения температуры и коэффициента теплового расширения определяются исходя из найденного поля распределения температуры и экспериментальной зависимости α = α(T(x)). Далее минимизируя функционал потенциальной энергии других деформаций, по узловым значениям упругих перемещений строится разрешающая система линейных алгебраических уравнений. При этом, если число дискретных элементов в стержне будет n (где n натуральное положительное число), то число узлов в стержне будет 2n + 1. Но так как оба конца стержня жестко защемленные, то перемещение крайних узлов будет равно нулю, т.е. u₁ = u_2n+1 = 0. Поэтому минимизация функционала, характеризующего потенциальную энергию упругих деформаций при наличии поля температур минимизируется по узловым перемещениям

 (6)

Решая последнюю систему, находим узловые значения перемещения. Далее по соотношениям Коши и законам Гука определяются значение составляющих ε_x, ε_T, ε, σ_x, σ_T, σ в заданных сечениях стержня. Принимаем за исходные следующие данные:

Целью исследования является разработка вычислительного алгоритма, позволяющего численно исследовать установившееся термонапряженное состояние стержней ограниченной длины выполненных из жаропрочных материалов и находящихся под одновременным воздействием локальной температуры, теплообмена и теплоизоляции.

При фиксированных этих значениях варьируем значением h₀ = 7,5; 10; 15; 30 Вт/(см²·°С). Сначала принимаем h₀ = 7,5 Вт/(см²·°С). Поле распределения перемещения, составляющих деформаций и напряжений для h₀ = 30 Вт/(см²·°С)приводится на рис. 2.

Из этого рисунка видно, что сечения на участке 0 < x < 17,6 см стержня перемещаются против направления оси Ох. В то время перемещение в сечении, координата которого x = 17,65 см будет равно нулю. Наибольшее перемещение против оси Ох соответствует к сечению с координатой x = 7,3 см. Значение перемещения против направления оси Ох этого сечения равно u₇₄ = -0,0229 см. Все сечения стержня, которые находятся на участке 17,8 ≤ x < 30 см, перемещаются в направлении оси Ох. При этом наибольшее перемещение соответствует сечению, координата которого x = 23,9 см. Значение этого перемещения u₂₄₀ = 0,011188 см. Из этой таблицы видно, что , или конкретно .

Поле распределения составляющих деформаций и напряжения по длине рассматриваемого стержня приводится на рис. 3. Из рис. 3 видно, что на участках 0 < x ≤ 7,25 см и 23,85 ≤ x < L = 30 см стержня упругая составляющая деформации ведет себя сжимающей. На серединной части она будет иметь растягивающий характер. Остальные составляющие деформации, т.е. ε_T и ε по всей длине стержня будут сжимающими. Из этого же рисунка видно, что ε_T и ε являются симметричными относительно прямой ε = 0,0000046x - 0,0072502.

Поле распределения составляющих компонентов напряжений по длине стержня приводится на рис. 4. Из этого рисунка и таблицы видно, что поведение упругой составляющей напряжение σ_x на участках 0 < x ≤ 7,25 см и 23,85 ≤ x < L = 30 см будет сжимающей. При этом на серединной части стержня 7,25 ≤ x < 23,85 см она ведет себя растягивающей. Остальные обе составляющие напряжение, т.е. σ_Т и σ по всей длине стержня будут сжимающими. Кроме того, поле распределения составляющих напряжений σ_x и σ будут симметричными относительно прямой σ = 9,32956x - 14502,066 [2].

Резюмируя проведенный численный эксперимент, можно построит следующую сравнительную таблицу.

Заключение

Анализируя эту таблицу, можно сделать следующие выводы:

• при увеличении значения h₀ увеличивается амплитуда перемещений против направления оси Ox;
• при увеличении значения h₀, координата сечения, амплитуда перемещения которого будет наибольшим, увеличивается;
• при увеличении значения h₀, амплитуда перемещения по направлению оси Ox уменьшается;
• при увеличении значения h₀, максимальное и среднее значения термоупругого напряжения σ уменьшается.

Разработанный вышеизложенный вычислительный алгоритм, метод и комплекс прикладных Delphi программ позволяет провести серии вычислительных экспериметров по численному исследованию термонапряженного состояния несущих элементов конструкций в зависимости от влияния действующих локальных источников тепла различного рода.

• Боранбаев С.Н., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Информационные системы» Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Астана.
• Искаков К.Т., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Вычислительная техника» Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Астана.

Работа поступила в редакцию 27.02.2012.

Библиографическая ссылка