Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ ОБЛАСТЯХ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА МУСАЕВА В.К. В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

Тахо-Годи А.З. 1
1 Донской государственный аграрный университет
В работе приводится информация о моделировании волн напряжений при взрывном воздействии в объекте угледобывающих предприятий с помощью численного метода Мусаева В.К. в перемещениях. Показаны нормальные напряжения в характерных точках исследуемой области. Задачи решаются с помощью численного моделирования двумерных плоских уравнений волновой теории упругости. В настоящее время активно применяются численные методы для решения различных задач нестационарной механики деформируемого твердого тела. Численное моделирование волн напряжений в областях сложной формы является актуальной фундаментальной и прикладной научной задачей. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сооружения.
моделирование
волны
взрывное воздействие
объект
численный метод
перемещение
напряжение
теория упругости
конечные элементы
алгоритм
комплекс программ
1. Мусаев В.К. Численное решение волновых задач теории упругости и пластичности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Прикладная математика и информатика. – 1997. – № 1. – С. 87–110.
2. Мусаев В.К. О безопасности сложных технических систем при нестационарных динамических воздействиях в детерминированной постановке // Проблемы управления безопасностью сложных систем. Материалы VIII Международной конференции. – М.: РГГУ, 2000. – С. 243–244.
3. Мусаев В.К. Численное решение некоторых задач безопасности жизнедеятельности с помощью метода конечных элементов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Проблемы комплексной безопасности. – 2005. – № 1. – С. 17–23.
4. Мусаев В.К. О разрушениях в сложных деформируемых телах, вызванных импульсными воздействиями // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Проблемы комплексной безопасности. – 2006. – № 1. – С. 36–42.
5. Мусаев В.К. О некоторых возможностях математического моделирования и численного компьютерного эксперимента // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2006. – № 1. – С. 81–86.
6. Мусаев В.К. Оценка достоверности и точности результатов вычислительного эксперимента при решении задач нестационарной волновой теории упругости // Научный журнал проблем комплексной безопасности. – 2009. – № 1. – С. 55–80.
7. Мусаев В.К. Вычислительный эксперимент в задачах моделирования нестационарных волн напряжений в областях сложной формы // Исследования по теории сооружений. – 2010. – № 2 (XXVII). – С. 138–149.
8. Тахо-Годи А.З., Ситник С.В., Куранцов В.В., Кормилицин А.И., Акатьев С.В. Достоверность результатов численного метода Мусаева В.К. в перемещениях при решении задачи об отражении упругих волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности // Техносферная безопасность, надежность, качество, энерго- и ресурсосбережение: Т38. Материалы Международной научно-практической конференции. Выпуск XIII. Т. 2. – Ростов-на-Дону: Ростовский государственный строительный университет, 2011. – С. 280–284.
9. Тахо-Годи А.З. О методе решения нестационарных волновых задач с помощью численного метода Мусаева В.К. в перемещениях // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Безопасность и экология технологических процессов и производств». – Поселок Персиановский Ростовской области: Донской государственный аграрный университет. – 2012. – С. 73–78.
10. Musayev V.K. Testing of stressed state in the structure-base system under non-stationary dynamic effects // Proceedings of the second International conference on recent advances in geotechnical earthquake engineering and soil dynamics. – Sent Louis: University of Missouri-Rolla, 1991. – Vol. 3. – P. 87–97.

Некоторые результаты рассматриваемого численного метода приведены в следующих работах [1–10].

Поставленная задача реализуется с помощью уравнений математической нестационарной динамической теории упругости.

Для решения поставленной задачи рассмотрим некоторое тело Γ в прямоугольной декартовой системе координат OXY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

Eqn37.wmf

Eqn38.wmf (x, y) ∈ Γ;

Eqn39.wmf

Eqn40.wmf

Eqn41.wmf

Eqn42.wmf Eqn43.wmf

Eqn44.wmf (x, y) ∈ (Γ ∪ S), (1)

где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – cоставляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; Eqn45.wmf – скорость продольной упругой волны; Eqn46.wmf – скорость поперечной упругой волны; v – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; S (S1 ∪ S2) – граничный контур тела Γ.

Систему (1) в области, занимаемой телом Γ, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Начальные условия в области Γ зададим в виде

Eqn47.wmf Eqn48.wmf

Eqn49.wmf Eqn50.wmf (x, y) ∈ Γ , (2)

где u0, v0, Eqn51.wmf и Eqn52.wmf – заданные в области Γ функции.

Граничные условия зададим в виде:

• составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе S1

Eqn53.wmf

Eqn54.wmf (x, y) ∈ S1; (3)

• составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2

u = Bx; v = By;, , (x, y) ∈ S2, (4)

где l и m – направляющие косинусы; Ax, Ay, Bx и By – заданные на границе S функции.

pic_39.tif

Рис. 1. Некоторое тело Γ в прямоугольной декартовой системе координат OXY

Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1–4) используем метод конечных элементов в перемещениях.

Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Γ, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

Eqn55.wmf

Eqn56.wmf Eqn57.wmf (5)

где Eqn58.wmf – матрица инерции; Eqn59.wmf – матрица жесткости; Eqn60.wmf – вектор узловых упругих перемещений; Eqn61.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; Eqn62.wmf – вектор узловых упругих ускорений; Eqn63.wmf – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (5) − система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях линейную задачу с начальными и граничными условиями (1–4) привели к линейной задаче Коши (5).

Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

Eqn64.wmf Eqn65.wmf (6)

Интегрируя по временной координате соотношение (6) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

Eqn66.wmf

Eqn67.wmf (7)

где Δt– шаг по временной координете.

Определим упругое контурное напряжение на границе области, свободной от нагрузок.

С помощью вырождения прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками получим контурный конечный элемент с двумя узловыми точками (рис. 2).

pic_40.tif

Рис. 2. Контурный конечный элемент с двумя узловыми точками

При повороте оси x на угол α против часовой стрелки получим упругое контурное напряжение σk в центре тяжести контурного конечного элемента с двумя узловыми точками

Eqn68.wmf (8)

Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках

Eqn69.wmf (i = 1, 2, 3, ...), (9)

где Δl – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на уникальные сооружения.

При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.

Автор выражают благодарность Мусаеву В.К. за внимание к работе.

Рецензенты:

Мусаев В.К. Оглы, д.т.н., профессор, директор научно-производственной фирмы «Интерсейм», г. Пушкино;

Шаршак В.К., д.т.н., профессор кафедры «Механика, машины и оборудование пищевых производств» Донского государственного аграрного университета, г. Новочеркасск.

Работа поступила в редакцию 18.10.2012.


Библиографическая ссылка

Тахо-Годи А.З. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ ОБЛАСТЯХ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА МУСАЕВА В.К. В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 1-1. – С. 159-162;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=30910 (дата обращения: 30.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074