Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Будылина Е.А. 1 Мурачев Е.Г. 1 Гарькина И.А. 2 Данилов А.М. 2

---

1 Московский государственный университет машиностроения

2 ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»

Исследуются решения уравнения Клейна ‒ Гордона типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности. Актуальность исследований связана с разработкой различных приближенных моделей для изучения акустических свойств жидкостей с пузырьками газа (в том числе исследование волн конечной амплитуды в смесях с крупными пузырьками газа); ряда математических моделей, описывающих нелинейные сейсмические эффекты в геофизических средах (в том числе уравнение синус-Гордона и его модификации) и др. Рассматриваются существенные при моделировании сложных систем различной природы вопросы существования решения уравнения Клейна ‒ Гордона типа уединенной волны, сглаживающейся на бесконечности, для задачи Коши. Доказана теорема об условиях существования такого решения. Предварительно сформулированы и доказаны необходимые леммы. Изучены типы особых точек. Приведены фазовые портреты.

Статья в формате PDF

1289 KB

уравнение Клейна ‒ Гордона

решения типа бегущей волны

поведение в бесконечности

приложения

1. Будылина Е.А. Исследование существования и анализ решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Гордона / Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2013. – № 3 (27). – С. 25 – 31.

2. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. – 2013. – № 2 (16). – С. 138-142.

3. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Декомпозиция динамических систем в приложениях / Региональная архитектура и строительство.– 2013. – № 3(17). – C. 95–100.

4. Данилова Е.А. Об отсутствии решений солитонного типа для одной модификации уравнения синус-Гордона / Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – 2011. – № 3 (19). – С. 32 – 36.

5. Данилов А.М., Гарькина И.А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография. – Пенза: ПГУАС, 2011. – 308 с.

В настоящее время наблюдается большой интерес к проблеме распространения волн в газожидкостных системах (гидродинамические процессы современной технологии и энергетики, ультразвуковые технологии); реальная жидкость рассматривается двухфазной средой с начальными параметрами газосодержания, соответствующими экспериментальным данным. При описании движения газожидкостной смеси используются различные приближенные модели, в том числе уравнение Клейна ‒ Гордона [1, 4]. На основе этих моделей проводится изучение акустических свойств жидкостей с пузырьками газа, исследуются волны с конечной амплитудой в смесях с крупными пузырьками. Описываются взрывные неустойчивости поверхностей жидкого металла во внешнем электрическом поле и диэлектрической жидкости, а также тангенциальный разрыв по механизму Кельвина ‒ Гельмгольца и др. Уравнение синус-Гордона и его модификации применяются и при описании нелинейных сейсмических эффектов в геофизических средах наряду с известными математическими моделями (канонические нелинейные уравнения Бусинеска, Бургерса, Кортевега де Фриза, Шредингера). Здесь диссипация и дисперсия (основные характеристики геофизической среды и волновых процессов, протекающих в ее пределах) рассматриваются как существенные нелинейности.

Ниже исследуется решение одной конкретной модификации уравнения Клейна ‒ Гордона и обсуждаются возможности обобщений полученных результатов (частично рассматривались в [1…5]). Особое внимание уделяется решению типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности (решение вида φ(x, t) = g(x – v·t), отличное от константы, у которого g(ξ) стремятся к константам при ξ → +∞ и при ξ → –∞, и у которого g′(ξ) стремятся к нулю при ξ → +∞ и при ξ → –∞).

Предварительно рассмотрим уравнение Клейна ‒ Гордона:

φxx(x, t) – φtt(x, t) = f(φ(x, t)). (1)

Сделаем замену φ(x, t) = g(ξ), где ξ = x – v·t. При v ≠ ±1 уравнение (1) эквивалентно

Умножая на g′(ξ), после интегрирования получим:

где ξ0 – произвольная точка того промежутка, где определена g(ξ).

По определению классического решения дифференциального уравнения второго порядка функция g(ξ) должна иметь второй порядок гладкости. Если f(ζ) непрерывна на ¡, то к интегралу в правой части можно применить теорему о замене переменной в определенном интеграле:

g0 = g(ξ0). (2)

Пусть – промежуток строгой монотонности функции g(ξ) и пусть ; правая часть (2) – положительна и можно к (2) применить теорему об обратной функции:

Таким образом, чтобы решение φ(x, t) было бегущей волной, сглаживающейся на бесконечности, необходимо и достаточно расходимости интеграла

при

и при .

Воспользуемся приведенным методом для исследования одной модификации уравнения синус-Гордона (частный случай уравнения Клейна ‒ Гордона):

φxx(x, t) – φtt(x, t) = sin(φ(x, t)) + sin(2l·φ(x, t)), l ≥ 2. (3)

Будем искать решение в виде φ(x, t) = g(ξ), где ξ = x – v·t. Тогда:

(1 – v2)·g″(ξ) = sin(g(ξ)) + sin(2l·g(ξ)), l ≥ 2. (4)

В случае v = ±1 получим, что 0 = in(g(ξ)) + sin(2l·g(ξ)) или n ∈ ¢ и m ∈ ¢. Решение – константа, что противоречит определению бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.

При v ≠ ±1 уравнение (4) эквивалентно системе:

(5)

Теорема. При v ≠ ±1 у уравнения (3) существуют решения типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности.

При v ≠ ±1 решения уравнения (3) будут типа бегущей волны, сглаживающейся на бесконечности, если g′(ξ) будет стремиться к нулю и при ξ → +∞, и при ξ → –∞.

Для доказательства изучим положения равновесия системы (4). Поскольку правые части этой системы периодически зависят от g, то ее особые точки делятся на несколько видов в зависимости от значения g:

1. n ∈ ¢.

2. m ∈ ¢.

В первом случае имеем:

(cos(g1) = 0 только при

и

k ∈ ¢; здесь и далее предполагается, что ).

Систему (5) можно переписать в виде

Собственные значения λ определятся из уравнения:

(6)

Отсюда видно, что в зависимости от λ особая точка может быть разных типов:

– седло при (уравнение (6) имеет два корня разных знаков);

– центр при |v| > 1.

Из теоремы о положении равновесия по первому приближению известно, что если собственные значения чисто мнимые, то первое приближение может не давать ответа на вопрос о типе особой точки. В рассматриваемом случае будут центры (замкнутые траектории, гомотопные окружностям, охватывают особую точку).

Исследуем исходную нелинейную систему (5). Умножив первое уравнение системы на , а второе – на p(ξ), на фазовой плоскости получим семейство линий:

или

Расстояние между границами этих областей (внешность окружности и внутренность эллипса)

При ε ≤ 0,5 справедливо

Справедливы утверждения (лемма): если выполнены условия:

1.

2.

3.

4.

5. ,

то множество точек (x, y) заключено между окружностью (внутренняя граница)

y² + x² – C ≥ 0

и эллипсом (внешняя граница)

y² + (1 – ε)·x² – C ≤ 0.

Рассмотрим особые точки, в окрестности которых:

Здесь точки распадаются на два подсемейства:

a) k ∈ ¢ ⇔

b) k ∈ ¢.

В случае а) систему (5) можно представить в виде

Собственные значения λ определяются из уравнения:

(7)

При (уравнение (7) имеет два корня разных знаков) особая точка есть седло; центр – при |v| > 1 (уравнение (7) имеет два чисто мнимых корня).

В случае b) систему (5) можно представить в виде:

Фазовые портреты системы (5) представлены на рис. 1, 2.

Рис. 1. Фазовый портрет системы (5) при |v| > 1

Рис. 2. Фазовый портрет системы (5) при

Лемма. Если фазовая траектория пересекает ось абсцисс не в особой точке, то она проходит цикл полностью на конечном промежутке изменения параметра.

Действительно, умножив уравнение (4) на g′, проинтегрировав полученное равенство и перейдя к обратной функции ξ = ξ(g), получим:

(8)

Для доказательства леммы необходимо показать, что в точках g0, где знаменатель обращается в нуль, интеграл сходится. Следует отметить, что это именно те точки, где фазовые линии пересекают ось абсцисс. Разложим знаменатель в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки g0:

Заметим, что , так как g0 не является особой точкой. По признаку сравнения интеграл (8) будет сходиться – значение ξ конечно. Лемма доказана.

Замечание. В случае, когда g0 – особая точка, интеграл (8) будет расходиться – значение ξ бесконечно.

Имеем:

По признаку сравнения интеграл расходится (непосредственной подстановкой можно убедиться, что коэффициент либо при 2 степени, либо при 3 степени отличен от нуля).

Можно показать, что фазовые траектории системы (5) имеют вид, приводимый на рис. 3, 4. Умножив первое уравнение системы на а второе – на p(ξ), получим на фазовой плоскости семейство линий:

При (множество особых значений постоянной C – это

возможны случаи (рис. 3):

1. , тогда p2 > 0, а значит, g′(ξ) ≠ 0 при любом ξ.

2. C ∈ EC, тогда p2 ≥ 0 при любом ξ. Причем p2 = 0 тогда и только тогда, когда рассматриваемая траектория пересекает ось абсцисс в особых точках первого вида.

3. , тогда p2 < 0, а значит, решений не существует.

4. Иначе траектории пересекают ось абсцисс в точке, которая не совпадает с особыми точками, а значит, к этому случаю применима лемма.

Итак, решение типа волны, сглаживающейся на бесконечности, существует.

При (множество особых значений постоянной С – это

возможны случаи (рис. 4):

1. , тогда p2 > 0, а значит, g′(ξ) ≠ 0 при любом ξ.

2. C ∈ EC, тогда p2 ≥ 0 при любом ξ. Причем p2 = 0 тогда и только тогда, когда рассматриваемая траектория пересекает ось абсцисс в особых точках первого вида.

3. , тогда p2 < 0, а значит, решений не существует.

4. Иначе траектории пересекают ось абсцисс в точке, которая не совпадает с особыми точками, а значит, к этому случаю применима лемма.

Итак, решение типа волны, сглаживающейся на бесконечности, существует.

Рис. 3. Фазовый портрет системы(5) при (траектории уединенных волн отмечены красным, зеленым и синим)

Рис. 4. Фазовый портрет системы (5) при (траектории уединенных волн отмечены красным и синим)

Теорема доказана.

Заключение

Доказано, что уравнение (3) в случае имеет решения типа уединенной волны; приведены формулы для этих решений. Результаты исследований легко обобщить на случай уравнения Клейна ‒ Гордона с произвольной правой частью; могут быть использованы при изучении эффекта Джозефсона и решения других задач, приводящих к уравнению Клейна ‒ Гордона и их модификациям (для исследования нелинейных сейсмических эффектов и процессов, в технологиях связи, в волновой генетике).

Рецензенты:

Голованов О.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры общепрофессиональных дисциплин Пензенского артиллерийского инженерного института, г. Пенза;

Камбург В.Г., д.т.н., профессор кафедры информационно-вычислительных систем Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза.

Работа поступила в редакцию 26.03.2014.

Библиографическая ссылка