Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Иванов В.М. 1 Лобачев В.И. 1 Соколов Н.Л. 1

---

1 ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения»

В настоящей работе исследуется энергетически оптимальное управление космическим аппаратом (КА) вектором тяги двигательной установки в процессе проведения межорбитальных маневров. Методической новизной предлагаемого решения является разработка алгоритмов преобразования исходных систем дифференциальных уравнений и формул связи между неизвестными параметрами движения КА и сопряженными переменными. Предложен алгоритм аналитического решения дифференциальных уравнений сопряженных переменных. Это дает возможность разработать дополнительные зависимости, связывающие неизвестные параметры. Наряду с использованием условий трансверсальности в граничных точках траекторий эти преобразования позволяют свести многопараметрическую краевую задачу по поиску оптимальных траекторий движения КА к двухпараметрической. Определена структура оптимального управления вектором тяги двигательной установки. Приводится доказательство, что для широкого диапазона граничных условий, весовых и энергетических характеристик КА максимальное число переключений двигательной установки равно двум. При первом включении реализуется перевод КА с начальной орбиты на промежуточную, имеющую точку пересечения с конечной орбитой, где скорость и радиус вектора КА соответственно равны заданным значениям. При втором включении, осуществляемом в точке пересечения орбит, проводится коррекция траекторного угла. В целом предложенный методологический подход может быть положен в основу решения широкого класса задач оптимизации межорбитальных маневров и коррекций и может быть внедрен в практику проектирования перспективных миссий ближнего и дальнего космоса.

Статья в формате PDF

1035 KB

космический аппарат

сход с орбиты

минимизация энергозатрат

баллистический спуск

посадка на заданный полигон

аналитические алгоритмы расчета

1. Авдуевский В.С., Антонов Б.М., Анфимов Н.А. и др. Основы теории полета космических аппаратов. – М.: Машиностроение, 1972.

2. Иванов Н.М., Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппаратов. – М.: Машиностроение. 1986.

3. Летов А.М. Динамика полета и управление. – М.: Наука, 1969.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.П., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1969.

5. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. – М.: Наука, 1965.

Исследуется управление КА вектором тяги двигательной установки на внеатмосферном участке спуска с орбиты ИСЗ, обеспечивающее минимум расхода топлива. Решение задач оптимального управления КА сопряжено с большими затратами расчетного времени. Поэтому целесообразно использовать быстродействующие квазиоптимальные алгоритмы решения вариационных задач.

Проведенные исследования посвящены разработке таких алгоритмов для определения оптимального управления КА вектором тяги на внеатмосферном участке спуска с орбиты ИСЗ. Решалась задача минимизации потребной массы топлива (J = ∆m_Т = min) при посадке КА баллистического типа в заданную точку поверхности Земли.

Постановка задачи

Движение КА описывается системой дифференциальных уравнений, являющейся частным случаем системы [1]:

(1)

где V – скорость КА; θ – траекторный угол; ε – курсовой угол; r – радиус-вектор, соединяющий центр Земли и центр масс КА; λ и φ – геоцентрические долгота и широта, соответственно; m – масса КА; ρ – плотность атмосферы; μ – произведение постоянной притяжения на массу Земли; P_x – приведенная нагрузка на лобовую поверхность КА; C_x – аэродинамический коэффициент лобового сопротивления; P – тяга двигательной установки; P_уд – удельная тяга; g_З – ускорение свободного падения на поверхности Земли; α – угол между проекцией вектора тяги на плоскость движения и вектором скорости КА; β – угол между вектором тяги и плоскостью движения КА.

Управление КА осуществлялось путем изменения параметров вектора тяги – P, α и β:

0 ≤ P ≤ P_mix; –π ≤ α ≤ π; –π ≤ β ≤ π. (2)

Начальное состояние КА определялось параметрами орбиты ИСЗ и его массой:

V₀ = V(t₀); θ₀ = 0; ε₀ = ε(t₀);

r0 = r(t₀); λ0 = λ(t₀);

φ₀ = φ(t₀); m₀ = m(t₀). (3)

Концом траекторий является точка на поверхности Земли (h_R = 0) c координатами

λ_R = λ(h_R); φ_R = φ(h_R). (4)

Учитывались промежуточные условия при входе КА в атмосферу (h_вх = 100 км):

V_вх = V(h_вх); θ_вх = θ(h_вх). (5)

Исследования по разработке алгоритмов основывались на теории оптимального управления: для КА, движение которого описывается уравнениями (1) требуется найти законы управления P(t), α(t), β(t), обеспечивающие экстремум функционала J = ∆m_T = m₀ – m_к – min при ограничениях (2), краевых (3), (4) и промежуточных (5) условиях.

Для решения вариационной задачи использовался принцип максимума Понтрягина [4]. Введем в рассмотрение гамильтониан

H = PF₁ + F₂. (6)

Сопряженные переменные ψ_i (i = 1, 2, …, 7) определяются соотношениями:

(7)

Законы изменения параметров α, β и P определяются из условия

(8)

(9)

Тяга двигательной установки принимает граничные значения

P = P_max при F₁ > 0, P = 0 при F₁ < 0. (10)

Алгоритм расчета оптимальных маневров

Докажем, что число участков полета КА с включенной тягой не превышает двух. Для определения числа переключений исследуем функцию F₁, вычисляемую из уравнения [3]:

С учетом формул (9) и (10) получим

(11)

Будем считать, что полет КА при включенной двигательной установке определяется в основном активными силами, а на пассивном участке – гравитационными силами. Предположим, что углы α, β и θ на активных участках полета КА меняются слабо. Тогда уравнения для переменной ψ₁, влияющей на функцию F1, имеют вид

при P ≠ 0;

при P = 0

В условиях сделанных предположений в обоих случаях , т.е. ψ2 = С*.

Покажем, что при t₀ ≤ t ≤ t_R. Уравнение для ψ₁ при P ≠ 0 с учетом (8) и (9) преобразуется следующим образом:

Поскольку выражение ψ₁/cos α имеет тот же знак, что и cos β, то справедливо неравенство при P ≠ 0.

Знак переменной ψ₁ при P = 0 зависит от знака постоянной ψ₂ = С*, который определяется из следующих соображений. Для перевода КА с орбиты ИСЗ на траекторию снижения угол α должен находиться в диапазоне –π ≤ α < –π/2. Тогда из уравнения (11) получим, что ψ₁ ≤ 0, а с помощью уравнения (8) определим, что ψ₂ = C* ≤ 0. Следовательно, на пассивном участке полета. Анализ зависимости показал, что переменная ψ₁ скачком меняет свою величину в момент переключения тяги двигателя P. Отсюда заключаем, что переменная ψ₁ на всем участке полета КА меняет свой знак не более двух раз, а число переключений тяги двигательной установки КА равно двум. Причем переключения осуществляются с P = P_max на P = 0, а затем опять на P = P_max.

Используя допущение об импульсном характере работы двигателей и решая уравнения движения [2], определим начальные углы ориентации вектора тяги α₀ и β₀:

, (12)

где

(13)

где

Кроме того, рассмотрен двухимпульсный переход: первый импульс величиной ∆V₁ с α₀ = π обеспечивает вход КА в атмосферу с заданными значениями V_вх и L_бвх, а с помощью второго импульса ∆V₂, подаваемого при r = r_вх, корректируется величина θ.

Алгоритм расчета траекторий спуска

Разработан быстродействующий алгоритм расчета траекторий баллистического спуска КА с орбиты ИСЗ в заданную область поверхности Земли. Поскольку параметры точки посадки аппаратов баллистического типа определяются фазовыми координатами при входе КА в атмосферу, задача обеспечения спуска аппарата в заданную область поверхности Земли в данной постановке сводится к нахождению координат схода КА с орбиты λ_сх и φ_сх и требуемого бокового смещения траекторий спуска L_бвх при входе аппарата в атмосферу относительно плоскости орбиты.

Пусть граничные условия (3) и (4) принимают такие значения, при которых возможен спуск КА с орбиты ИСЗ в заданную точку поверхности Земли на текущем витке. Найдем зависимость величины Lбк от исходных условий. Пусть в некоторый момент времени t_э КА проходит экватор и характеризуется подспутниковой точкой A с географическими координатами λ = λ_э, φ = 0. Конечная точка B имеет координаты φ_B и λ_B (рисунок).

Схема для определения координат схода КА с орбиты: А – положения КА на экваторе; В – точка посадки КА; С – точка пересечения ортогональных плоскостей АОС и ВОС; D – точка схода с орбиты, B′ – уход точки B из за поворота Земли за время t₁

Определим угловое расстояние между точками A и B для невращающейся Земли:

∆ν = arccos(cos φ_в cos Δλ), (14)

где Δλ = λ_в – λ_А.

Уточненное значение ∆ν можно вычислить по формуле (14), подставляя в нее величину Δλ, полученную с учетом поворота Земли (рисунок):

(15)

Вычислим наклонение условной орбиты, проходящей через точки А и B:

Определим угловое расстояние b между точками B и C:

b = arcsin(sin Δν sinΔi),

где Δi = i₀ – i_усл.

Между искомой величиной L_бк и угловым расстоянием b имеет место зависимость

L_бк = bR₃. (16)

Величину L_вн будем вычислять для импульсной постановки задачи по формуле

Дальность полета КА баллистического типа в атмосфере может быть вычислена с помощью интегрирования системы (1). С целью сокращения расчетного времени предлагается методика, состоящая в том, что в качестве опорного рассматривается аналитическое решение уравнений, приведенных, в частности, в [5]:

(17)

По этим формулам для высот h от h_вх = 100 км до h_R = 0 вычисляются величины скорости V^(R) , траекторного угла θ^(R) и дальности атмосферного участка L^(R) . Зависимость для скорости полета с учетом влияния аэродинамических сил запишем в виде

(18)

Используя допущение об экспоненциальном характере изменения плотности атмосферы от высоты зависимость (18) преобразуется к виду

(19)

Обоснован интервал изменения аргумента ∆h, на котором сохраняется допущение о кусочном постоянстве аэродинамических сил. Показано, что при значении ∆h = 10 км погрешность вычисления дальности баллистического спуска δL не превышает ~1 %.

Найдем координаты схода КА с орбиты λ_сх и φ_сх (рисунок, точка D). Из рассмотрения сферического треугольника DCB получим формулы для расчета координат схода λ_сх и φ_сх:

(20)

Определим боковое смещение точки входа КА в атмосферу относительно плоскости орбиты L_бвх, которая, являясь входным параметром для расчета траекторий движения КА на внеатмосферном участке, обеспечивает требуемое смещение L_бк на поверхности Земли:

(21)

С помощью аналитических формул (18)–(21) вычисляются координаты схода КА с орбиты ИСЗ и требуемое боковое смещение входа КА в атмосферу L_бвх, при которых в сочетании с применением схемы управления вектором тяги на внеатмосферном участке обеспечивается спуск аппарата баллистического типа в некоторую окрестность на поверхности Земли около точки с заданными координатами φ_R и λ_R (4).

Представленные преобразования позволяют свести поставленную задачу оптимального управления к безитерационной задаче моделирования уравнений (1). Показано, что в условиях отсутствия случайных возмущающих воздействий отклонения точек посадки КА баллистического типа составляют в среднем 2–3 км, достигая в отдельных случаях ~ 5 км. Для снижения этих отклонений до величин, меньших 1 км, проводится уточненный расчет траекторий, где в формулы для вычисления координат схода с орбиты ИСЗ (20) и для бокового смещения точки входа КА в атмосферу (16), (21) вводятся поправки на величины продольного δL и бокового δL_б отклонений точки посадки, вычисленной при первом просчете, относительно заданной с φ = φ_R и λ = λ_R.

Заключение

Проведенные исследования оптимального управления вектором тяги, обеспечивающего спуск КА баллистического типа с орбиты ИСЗ в заданную область поверхности Земли при минимальной расходуемой массе топлива, позволяют сделать следующие основные выводы:

• в результате решения вариационной задачи определена структура оптимального управления КА вектором тяги на внеатмосферном участке спуска с орбиты ИСЗ, обеспечивающая минимум потребной массы топлива;
• разработан быстродействующий алгоритм расчета приближенно-оптимальных траекторий КА, спускаемых с орбиты ИСЗ в заданную область поверхности Земли.

Для безитерационного варианта расчета отклонения точек посадки от заданной составляют в среднем 2–3 км, продолжительность вычислений ~10 с. Для одноитерационного варианта отклонения уменьшаются до величины, меньшей 1 км, а продолжительность вычислений увеличится примерно вдвое.

Рецензенты:

Лаврентьев В.Г., д.т.н., начальник отдела, ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения», г. Королев;

Разумный Ю.Н., д.т.н., профессор, генеральный директор ЗАО «Научно-техническое агентство «Космоэкспорт», г. Москва.

Работа поступила в редакцию 28.05.2014.

Библиографическая ссылка