Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

АНАЛОГ ЗАДАЧИ ФРАНКЛЯ ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ

Лайпанова А.М. 1 Желдашева А.О. 2 Лесев В.Н. 2
1 Московский государственный университет путей сообщения
2 ГОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
В работе поставлена и исследована краевая задача типа задачи Франкля для обобщенного смешанного уравнения параболо-гиперболического типа с переменными коэффициентами при младших членах в конечной односвязной области. Для исходной задачи была сформулирована и доказана методом «abc» теорема единственности. Выполнение условий этой теоремы обеспечивает тривиальность соответствующей однородной задачи, что и гарантирует единственность решения исследуемой краевой задачи в целом. Доказательство существования явного аналитического решения задачи проведено для одного частного случая исходного уравнения. При этом были использованы метод функций Грина и метод интегральных уравнений. В результате определены условия, при которых вопрос разрешимости задачи в требуемом классе функций может быть эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости соответствующего интегрального уравнения.
задача Франкля
смешанное уравнение
метод «abc»
однозначная разрешимость
1. Елеев В.А., Лайпанова А.М. О существовании и единственности решения задачи Ф.И. Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия КБНЦ РАН. – 2000. – № 2 (5). – С. 50–56.
2. Елеев В.А., Лесев В.Н. О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа // Владикавказский математический журнал. – 2001. – Т. 3. – № 4. – С. 9–22.
3. Лайпанова А.М., Лесев В.Н. Об однозначной разрешимости краевой задачи для модельного уравнения второго порядка // Сборник научных трудов Северо-Кавказского государственного технического университета. Серия: Естественные науки. – 2007. – С. 31.
4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного модельного уравнения второго порядка с нелокальными условиями сопряжения // Сборник научных трудов Sworld. – 2012. – Т. 2. – № 3. – С. 99–104.
5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. – 2013. – № 3 (23). – С. 379–386.
6. Псху А.В. Задачи Франкля для уравнений смешанного типа: автореф. канд. дис. ... – Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 1999.
7. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. – М.: Высшая школа, 1985. – 304 с.

В связи с появлением все новых приложений уравнений смешанного типа теория краевых задач для них в последние годы получила новый импульс развития. При этом существенную роль в приложениях занимают краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений (например [1–5]), отличающиеся от иных в первую очередь специальными методами, применяемыми при их исследовании. Говоря о задаче Франкля и ее аналогах для смешанных параболо-гиперболических уравнений, следует отметить, что их изучение не носит систематического характера, несмотря на значительную важность подобных исследований [6].

В настоящей работе представлено доказательство единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного параболо-гиперболического уравнения с переменными коэффициентами, а также доказано существование частного аналитического решения.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

laypan01.wmf (1)

в конечной односвязной области Ω евклидовой плоскости независимых переменных x, y, ограниченной отрезком A′A оси x = 0; –1 ≤ y ≤ 1; отрезками B′B, AB прямых x = ℓ, y = 1; характеристикой A′Cm:

laypan02.wmf

уравнения (1), где A′(0, –1), C(ℓ1, 0) ℓ1 ≤ ℓ и отрезком CB′ оси x, ℓ1 ≤ x ≤ ℓ, ℓ1 = 2/(m + 2).

Обозначим через laypan03.wmf; OP – часть характеристики уравнения (1), исходящей из точки O(0,0) до пересечения с A′C в точке P; Ω2 – область, ограниченная кривыми OP, PC и OC; Ω3 – область, ограниченная кривыми OA′, A′P и PO.

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что

laypan04.wmf laypan05.wmf

laypan06.wmf laypan07.wmf,

причем b1(x, y) < 0, c1(x, y) ≤ 0, a1(x, y) ≤ 0, b2(x, y) ≤ 0.

Задача Ф. Требуется найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:

1) laypan08.wmf

2) Lu(x, y) = 0, laypan09.wmf;

3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям:

laypan10.wmf (2)

laypan11.wmf ℓ1 ≤ x ≤ ℓ; (3)

laypan12.wmf 0 ≤ y ≤ 1; (4)

laypan13.wmf –1 ≤ y ≤ 1, (5)

где Ψ1(x), Ψ2(y), f(y) – заданные функции, удовлетворяющие условию Гельдера.

Доказательство единственности решения задачи Ф

Покажем, что однородная задача Ф (Ψ1 = Ψ2 = f = 0) имеет только нулевое решение.

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию

laypan14.wmf

где

laypan15.wmf

laypan16.wmf

laypan17.wmf

laypan18.wmf laypan19.wmf.

Тогда решение u(x, y) однородной задачи Ф в области Ω тождественно равно нулю.

Для доказательства теоремы 1 применим метод «abc». Умножим уравнение (1) на выражение

laypan20.wmf

где α, β, γ – пока произвольные достаточно гладкие функции, и проинтегрируем полученное соотношение по области Ω.

В результате, принимая во внимание, что ux = xnun, uy = ynun на B′B, где xn и yn − направляющие косинусы внешней нормали laypan21.wmf к границе области Ω, laypan22.wmf на характеристике A′C и учитывая однородные граничные условия, приходим к равенству

laypan23.wmf (6)

где In – интегралы от искомой функции, а F – слагаемые, содержащие квадраты искомой функции в явном виде.

Выбирая функции α, β, γ таким образом, чтобы все интегралы In в (6) были неотрицательны. Для этого достаточно положить в Ω1 α = –exp(ky); β = 0, γ = 0, а в Ωi, i = 2, 3,

laypan24.wmf laypan25.wmf

laypan26.wmf

где laypan27.wmf laypan28.wmflaypan29.wmf таковы, что выполняются неравенства:

laypan30.wmf

laypan31.wmf

laypan32.wmf laypan33.wmf

Тогда нетрудно убедиться в том, что при выполнении условий теоремы 1, u ≡ 0 в Ω. Следовательно, в силу тривиальности решения однородной задачи решение задачи Φ единственно.

Доказательство существования решения задачи Ф

Проведем доказательство существования решения для случая

a1 = c1 = a2 = b2 = 0,

b1 = –1.

Решение уравнения (1) при y < 0, удовлетворяющее условиям Коши

u(x, 0) = τ(x),

uy(x, 0) = v(x),

имеет вид [7]:

laypan34.wmf (7)

где laypan36.wmf laypan37.wmf laypan38.wmf

Учитывая условие (6), получим соотношение между τ(x), v(x), φ(y) = u(0, y), 0 ≤ y ≤ 1. Для этого положим в равенстве (7) x = 0, затем заменим (–y) на laypan39.wmf, полученное выражение умножим на laypan40.wmf, проинтегрируем по y от 0 до x и, наконец, продифференцируем полученное равенство по x. Получим

laypan41.wmf (8)

где laypan42.wmf laypan43.wmf

laypan44.wmf laypan45.wmf

Решая в параболической части Ω1 смешанную задачу ux(0, y) = 0, u(x, 0) = τ(x), u(ℓ, y) = Ψ2(y) для уравнения (1) при y > 0, получим

laypan46.wmf (9)

где laypan47.wmf (10)

– функция Грина смешанной задачи уравнения теплопроводности.

Полагая в (9) x = 0 и учитывая условие (2) после замены переменной ξ по формуле laypan48.wmf в первом интеграле, получим

laypan49.wmf (11)

где laypan50.wmf

В равенстве (11) y заменим через laypan51.wmf, затем умножим обе части на laypan52.wmf и проинтегрируем от 0 до x по переменной y и, наконец, полученное выражение продифференцируем по x, получим

laypan54.wmf (12)

где laypan55.wmf

laypan56.wmf

В силу свойств функции Грина (10) и заданных функций Ψ1(x), Ψ2(y) заключаем, что

laypan57.wmf

laypan58.wmf

laypan59.wmf

по переменным x и t.

Исключая φ(y) из (8) и (12), будем иметь

laypan60.wmf (13)

Решая задачу: laypan61.wmf laypan62.wmf получим соотношение между τ(x) и v(x) на линии y = 0 из параболической части Ω1 в виде

laypan63.wmf (14)

где G0(x, t) – функция Грина.

Подставим значение τ(x) из (14) в (13)

laypan64.wmf (15)

где laypan65.wmf

Обозначая правую часть уравнения (15) через ρ(x) и обращая полученное уравнение Абеля, будем иметь

laypan66.wmf (16)

Возвращаясь от ρ(x) к v(x) и P(x), в результате элементарных преобразований, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно v(x):

laypan67.wmf (17)

где Q(x, t) и laypan68.wmf выражаются через заданные функции.

Таким образом, в силу единственности решения задачи Φ убеждаемся в однозначной разрешимости уравнения (17).

Определив из (17) v(x), а затем по формуле (15) и τ(x), находим решение задачи Φ в области Ω1, которое будет иметь вид (9), а в области Ω2 – вид (7). В области Ω3 решение задачи Φ можно продолжить как решение задачи Дарбу.

Заключение

В работе установлены единственность решения нелокальной краевой задачи для смешанного уравнения второго порядка в замкнутой области. Для доказательства единственности решения применен метод «abc». Доказательство существования частного решения поставленной задачи проведено на основе методов функции Грина и интегральных уравнений.

Рецензенты:

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ГиВА, КБГУ им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик;

Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор кафедры ИМОАС, КБГУ им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик.

Работа поступила в редакцию 28.07.2014.


Библиографическая ссылка

Лайпанова А.М., Желдашева А.О., Лесев В.Н. АНАЛОГ ЗАДАЧИ ФРАНКЛЯ ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 8-6. – С. 1351-1355;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34767 (дата обращения: 21.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074