Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Абакумова С.И. 1 Руденко В.Г. 1 Стригун Н.С. 1

---

1 ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» филиал

Введение. В настоящее время хорошо разработаны методы решения линейных рекуррентных соотношений (возвратные уравнения). Нелинейные рекуррентные уравнения, представляющие интерес, решаются численными методами. Цель. Найти аналитические решения нелинейных уравнений. Материалы и методы. Обнаружен особый класс нелинейных рекуррентных соотношений – мультипликативные уравнения, решения которых можно получать в аналитическом виде, что позволяет получать аналитически перестройку решений при изменении параметров. Результаты. Предложен метод решения таких уравнений путем сведения их к системе линейных рекуррентных (возвратных) уравнений. Найдены решения таких уравнений при различных значениях параметров. Получены периодические числовые последовательности с различными значениями периодов. Выводы. В предложенных мультипликативных уравнениях, которые являются сильно нелинейными, можно получать аналитические решения и аналитически проследить перестройку их при изменении параметров, что представляет интерес для различных разделов нелинейной динамики.

Статья в формате PDF

1500 KB

рекуррентные

мультипликативные уравнения

перестройка решений

1. Абакумова С.И., Руденко В.Г. Исследование мультипликативного уравнения второго порядка // Состояние и перспективы развития электротехнологии: XVII Международная научно-техническая конференция (Бенардосовские чтения), 29–31 мая 2013, III том «Электротехника». – Иваново: ИГЭУ, 2013. – С. 312–314.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т., т. VI. Гидродинамика – М.: Наука. 1986. – С. 169–183.

3. Руденко В.Г., Тимченко О.В. Эластичность многофакторных экономических показателей // Научные труды № 32 (часть 4) «Дни науки». – Пятигорск: ПГТУ, 2009. – С. 114–119.

4. Фейгенбаум М. Универсальное поведение в нелинейных системах // УФН. – 1983. – Т. 141, Вып. 2. – С. 343–374.

5. Figenbaum M.J. Univercal behaviour in nonlinear systems // Los Alamos Sci. –1980. – № 1. – Р. 4–27.

Рассмотрение различных вопросов нелинейной динамики позволило по-новому посмотреть на соотношение непрерывного и дискретного при описании нелинейных процессов. Обнаруженное в 1980 г. М. Фейгенбаумом [1] сложное поведение сравнительно простого одномерного нелинейного отображения , n = 1, 2, ..., дающего при λ < 4 отображение отрезка [0, 1] в себя, было сразу замечено и использовано для разработки различных сценариев поведения нелинейных систем [2, 3], для уточнения таких понятий, как предельный цикл, аттрактор, область притяжения, бифуркации и т.п., универсальное поведение. Бифуркации удвоения периода, обнаруженные Фейгенбаумом стали одним из сценариев развития турбулентности в гидродинамике. Отметим, что исследование проведенное Фейгенбаумом – численное исследование при различных λ этого отображения.

Здесь мы хотели бы привлечь внимание к одному, пока еще не востребованному, классу нелинейных уравнений, в которых регулярным образом можно получать решение в явном виде и тем самым аналитически выяснить зависимость решений от параметров модели, аналитически проследить перестройку решений при их изменении. Речь идет о мультипликативном рекуррентном автономном уравнении k-го порядка вида:

, n = 1, 2, ..., (1)

x1 = a1, x2 = a2, …, xk = ak, (1*)

в котором g > 0, a_i > 0, i = 1, 2, ..., k, δ_j Î R, (j = 0, 1, ..., k – 1). Величины a_i – начальные данные, а g и δ_j будем рассматривать как параметры модели (1).

Вид модели (1) с начальными условиями (1*) подсказывает, что решение (1) следует искать в виде

, n = 1, 2, ..., при выполнении (1*). (2)

Искомая функция

x_n = x(n, a₁, a₂, …, a_k, δ₀, δ₁, …, δ_k–1)

будет определяться k + 1 функциями: k функциями α_i(n) (i = 1, 2, …, k) и функцией γ(n) натурального аргумента.

Для нахождения функций α_i(n) получаем – линейных однородных рекуррентных уравнений k-го порядка

(3)

c начальными условиями

i, m = 1, 2, ..., k, (3*)

а для γ(n) – линейное неоднородное рекуррентное уравнение k-го порядка

(4)

c нулевыми начальными условиями

γ(i) = 0, i = 1, 2, …, k. (4*)

Начальные условия (3*) и (4*) следуют из (2) и (1*).

Общее решение однородного линейного рекуррентного уравнения есть линейная комбинация k его частных линейно независимых решений, для нахождения которых нужно составить и решить характеристическое алгебраическое уравнение k-й степени с коэффициентами δ₀, δ₁, ..., δ_k–1.

Таким образом, аналитическое решение уравнения (1) с начальными условиями (1*) возможно в той мере, в какой возможно найти решение соответствующего характеристического алгебраического уравнения. В этой связи особое место среди мультипликативных уравнений (1) занимают уравнения второго и третьего порядков. Исследуем подробно уравнение второго порядка этого вида:

, n = 1, 2, ...; (5)

x₁ = a > 0, x₂ = b > 0, δ₀, δ₁ ∈ R.

Решение его ищем в виде (здесь a₁ = a, a₂ = b)

. (6)

Для показателей αn и βn получаем линейные однородные рекуррентные уравнения второго порядка

α_n+2 = δ₁α_n+1 + δ₀α_n, α₁ = 1, α₂ = 0; (7)

β_n+2 = δ₁β_n+1 + δ₀βn, β₁ = 0, β₂ = 1. (7*)

Их частные решения ищем в виде α_n = β_n = q_n, n = 1, 2, ..., и для q получаем характеристическое уравнение

.

Его решение

.

Случай 1. Корни действительные, различные,

и

.

Общее решение тогда запишется в виде

(8)

Для нахождения постоянных линейной комбинации имеем системы

и

Решая, находим

С учетом этого получаем

n = 2, 3, ...; (8*)

n = 1, 2, ... (8**)

Случай 2. Корни комплексные,

, .

Тогда

;

. (9)

Запишем корни в виде

и , (9*)

где (10)

Если δ₁ > 0, то

(10*)

Если δ₁ < 0, то

(10**)

Общее решение αn и β_n дается формулами (8), постоянные линейных комбинаций легко находятся, получаем

, n = 1, 2, ...; (11)

, n = 1, 2, ... (11*)

Значения ϖ и определяются комбинацией с учетом требований и δ₀ < 0; «амплитуды» колебаний α_n и β_k меняются по закону с изменением n и при δ₀ = –1 от n не зависят. Зафиксировав значение , мы тем самым фиксируем ϖ и T. Другими словами, если , то

α _n+T = α_n, β _n+T = β_n, n = 1, 2, ...,

если , то

, , n = 1, 2, ...,

Случай 3.

В этом случае

n = 1, 2, ...,

n = 1, 2, ... (12)

Для нахождения γn получаем неоднородное линейное рекуррентное соотношение второго порядка с нулевыми начальными условиями

, n = 1, 2, ..., (13)

γ₁ = 0, γ₂ = 0, схема решения которого хорошо известна. При рассмотрении конкретного вида (5) удобнее все выкладки проводить с самого начала, а не пользоваться готовыми формулами.

Рассмотрим случай с δ₀ = –1, δ₁ = 1. Непосредственно легко убедиться, что уравнение

, n = 1, 2, ...,

x₁ = a, x₂ = b (14)

задает периодическую последовательность с периодом Т = 6 и частотой .

(xn): (15)

Члены этой последовательности имеют вид и с учетом (15) находим, что показатели γ_n, α_n, β_n – периодические, с периодом Т = 6

(γ_n): 0, 0, 1, 2, 2, 1; 0, 0, 1, 2, 2, 1;…

(α_n): 1, 0, –1, –1, 0, 1; 1, 0, –1, –1, 0, 1; … (16)

(β_n): 0, 1, 1, 0, –1, –1; 0, 1, 1, 0, –1, –1; …

Для любого n имеет место равенство

γ_n + α_n + β_n = 1, n = 1, 2, ...

Найдем аналитическую запись решения (15). Имеем

. (17)

Получаем для определения показателей линейные рекуррентные уравнения

α _{n + 2} = α _{n + 1} – α_n, α₁ = 1, α₂ = 0;

β _{n + 2} = β _{n + 1} – β_n, β₁ = 0, β₂ = 1;

γ _{n + 2} = γ _{n + 1} – γ _{n + 1}, γ₁ = 0, γ₂ = 1.

Характеристическое уравнение для этих уравнений имеет вид: , а его корни:

;

дают два частных решения и . Запишем общие решения этих уравнений и начальные условия:

α1 = 1, α2 = 0;

β1 = 0, β2 = 1;

, γ1 = 0, γ2 = 0.

Определяя постоянные линейной комбинации, находим явные выражения для функций α_n, β_n, γ_n:

, n = 1, 2, ...;

, n = 1, 2, ...;

, n = 1, 2, ... (18)

Решение уравнения (14), задаваемое формулами (17), (18), определяет функцию x = x(a, b, k, n). При фиксированных a, b, k она определяет периодическую числовую последовательность (5). Структура шести членов последовательности, составляющих период , такова, что изменение одного из этих трех параметров вызывает изменение только четырех чисел из этой шестерки.

Частные эластичности этой функции по трем переменным будут равны соответствующим показателям:

(19)

но полная эластичность этой функции [5]

:

изменение всех параметров функции на 1 % вызовет изменение членов ряда (17) тоже на 1 %.

Рассмотренному случаю δ0 = –1, δ1 = 1 отвечает значение и согласно (10) , так что . Но значение может достигаться и при других комбинациях δ0 и δ1, так для и δ0 = –2 имеем , так что и Т = 6. В этом случае мы имеем дело с уравнением (k = g = 1)

n = 1, 2, …, x₁ = a, x₂ = b

записано с помощью (11) и (11*):

n = 1, 2, ...; (20)

n = 1, 2, ... (20*)

Убеждаемся, что

, n = 1, 2, ...

В качестве следующего примера рассмотрим случай, когда . Тогда при δ1 > 0 tgw = 1, соответственно , а . Если δ0 = –1, , то уравнение

, x₁ = a, x₂ = b (21)

определяет периодическую числовую последовательность с периодом Т = 8, описываемую формулами

n = 1, 2, ... (22)

В этом случае |δ0| = 1, так что

α _{n + 8} = α_n, β _{n + 8} = β_n, n = 1, 2, ...

Если , но δ₀ ≠ –1 и δ₁ > 0, то

n = 1, 2, ...

n = 1, 2, ... (23)

Возьмем δ₀ = –2, δ₁ = 2 > 0, , тогда для последовательности

, n = 1, 2, ...,

x₁ = a, x₂ = b. (24)

Получаем

n = 1, 2, ...

В этом случае

n = 1, 2, ...

Соответственно, xn+8 = (xn)16 – восемь чисел очередного цикла получаются возведением в 16-ю степень чисел предыдущего цикла. Числа первой восьмерки этой последовательности

(xn):

Если a = b, то (x_n):

Если a ≠ 1, то при n → ∞, три числа из восьмерки цикла стремятся к нулю, три к бесконечности, два остаются равными единице.

Совсем по-другому ведут себя числа восьмерки цикла, если , δ1 = 1 > 0 .

Имеем

, n = 1, 2, ..., x1 = a, x2 = b. (26)

В этом случае

, n = 1, 2, ...

, n = 1, 2, ... (27)

Находим, что

, ,

Если и δ1 > 0, то ; , а T = 12. Но при δ1 = –1, δ1 = –1 имеем и Т = 3.

Если δ₁ = δ₀ = 1, то для уравнения

x _n+2 = x_nx_n+1, n = 1, 2, ..., x₁ = a, x₂ = b.

Находим и

α _n+2 = α _n+1 + α_n, α₁ = 1, α₂ = 0;

β _n+2 = β _n+1 + β_n, β₁ = 0, β₂ = 1.

Оба уравнения определяют последовательность Фибоначчи с начальными данными 1,0 для α_n и 0,1 для β_n.

Проведенный здесь анализ свидетельствует о возможности аналитически изучать перестройку решений этого класса уравнений при изменении параметров модели.

Рецензенты:

Алтухов В.И., д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник отдела стратегического и инновационного развития СКФУ, филиал, г. Пятигорск;

Казуб В.Т., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой физики и математики Пятигорского медико-фармацевтического института, филиал ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздрава РФ, г. Пятигорск.

Работа поступила в редакцию 05.08.2014.

Библиографическая ссылка