Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Баязитова Я.Р. 1

---

1 Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Составлена математическая модель для изучения эволюции нелинейных волн в трубке с эластичными стенками, заполненной пузырьковой жидкостью. Проведены численные расчеты параметров волны для двух моделей трубы с эластичными стенками: в первом случае полагается, что справедлив закон Гука для всей трубы, во втором случае учитывается радиальная инерция стенок трубы. Проведен сравнительный анализ результатов численных экспериментов. Установлено, что процессы, характерные для пузырьков при распространении волн двухфазной жидкости, оказывают влияние на динамику волн при радиусе пузырьков, при уменьшении радиуса пузырьков до диссипация на пузырьках, межфазное взаимодействие пренебрежимо малы, радиальная инерция стенок трубки сохраняет свое воздействие на динамику волны. Аналогичная тенденция наблюдается при изменении концентрации пузырьков единого радиуса: при малых концентрациях пузырьков на эволюцию волн давления оказывают большее влияние свойства эластичности стенок трубки, при увеличении концентрации пузырьков динамика волн определяется процессами, протекающими в пузырьковой жидкости. Скорость волн двухфазной жидкости меньше скорости звука, и она убывает с увеличением концентрации пузырьков. Эта тенденция сохраняется и при учете радиальной инерции стенок трубки. Следует отметить, что скорость волн в этом случае близка к значениям данного параметра, характерного для случая отсутствия радиальной инерции у эластичных стенок трубки.

Статья в формате PDF

1004 KB

пузырьковая жидкость

эластичность

волна давления

скорость

амплитуда

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. – М.: Наука Т1, 2, 1987. – 360 с.

2. Нигматулин Р.И., Проявление сжимаемости несушей фазы при распространении волны в пузырьковой среде / Р.И. Нигматулин, В.Ш. Шагапов, Н.К. Вахитова // Докл. РАН. – 1989.  – Т. 304, № 5. – С. 1077–1088.

3. Bayazitova Ya.R. Features of the dynamics of the detonation waves in layered bubble systems / Ya.R. Bayazitova, I.K. Gimaltdinov, A.R. Bayazitova // Tyumen State University Herald. – 2013. – № 7. – P. 25–32.

4. Волобуев А.Н., Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // УФН. – 1995. – Т. 165, № 2. – С. 177–186, доступно: http://mi.mathnet.ru/ufn1052.

5. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. – М.: Наука, 1975. – 352 с.

Интерес к проблемам волновой динамики пузырьковых жидкостей, протекающей в эластичных трубках, обусловлен важностью применения результатов исследований к проблемам расчета гидравлических систем в летательных аппаратах, в нефтяной и газовой промышленности, химической технологии.

Целью нашей работы является развитие теории волновых течений пузырьковых жидкостей в трубках с эластичными стенками.

Постановка задачи и система уравнений. Рассмотрим одномерные волновые возмущения, распространяющиеся в трубке малого радиуса, заполненной пузырьковой жидкостью.

Стенки трубки считаем эластичными. На рис. 1 представлено схематическое изображение системы, которое иллюстрирует трубку толщиной h, длиной L и радиусом a₀ (L >> a₀). Возмущения в системе возникают вследствие воздействия давлением по торцу трубки.

Рис. 1. Схема задачи

Полагая общепринятые допущения для пузырьковых жидкостей, запишем основные уравнения для описания движения волн в пузырьковой жидкости в трубке с эластичными стенками. Макроскопические уравнения сохранения масс, числа пузырьков, импульсов в односкоростном приближении имеют вид [1]

здесь и далее ρ_i – плотность фазы; n – число пузырьков; S – площадь поперечного сечения трубки; υ – скорость; α_i – объемное содержание фазы; а – радиус пузырьков; γ – показатель адиабаты для газа; q – тепловой поток; p_g – давление газа.

Будем считать жидкость акустически сжимаемой, газ калорически совершенным:

здесь – начальное давление жидкости; R – газовая постоянная; T_g – температура газа.

При описании радиального движения в соответствии с уточнением, предложенным в [2], будем полагать, что w = w_R + w_A, где w_R – определяется из уравнения Релея – Ламба, а wA – определяется из решения задачи о сферической разгрузке на сфере радиуса a в несущей жидкости в акустическом приближении:

где v_l – вязкость жидкости; C_l – скорость звука в «чистой» жидкости.

Тепловой поток задаем следующим приближенным конечным соотношением [3]:

где

Температура газа в пузырьках меняется по закону

.

Рассмотрим два случая: будем считать, что стенки трубки помимо эластичных свойств обладают массой, обусловливающей радиальную инерцию стенок при распространении волновых возмущений, и исследуем динамику нелинейных волн в эластичной трубке без инерционных свойств ее стенок. Закон Гука для эластичной трубки имеет вид [4]

В случае учета радиальной инерции стенок трубки считаем, что радиус трубки меняется согласно уравнению

,

где E – модуль Юнга; h₀ – толщина стенки трубки; b₀ – начальное значение внутреннего радиуса трубки; ρ_w – плотность материала трубки.

Для численного анализа удобнее пользоваться системой уравнений, записанной в лагранжевых координатах, запишем приведенную выше систему уравнений в лагранжевых переменных:

Для случая отсутствия радиальной инерции стенок трубки давление жидкости и объемное содержание пузырьков, изменение поперечных размеров трубки определяется следующими частными производными:

Для случая эластичных стенок трубки с радиальной инерцией давление в жидкости, объемное содержание пузырьков, изменение радиуса стенок трубки определяются следующим образом:

Системы уравнений решаются численно по явной схеме с использованием метода конечных разностей [5].

Начальные и граничные условия. Нелинейные волны, возникающие в трубке, распространяются вдоль положительного направления оси z до противоположного торца трубки, ограниченного жесткой стенкой: z = L: υ_z = 0, 0 < a₀ < R.

Начальные условия для остальных входных параметров соответствуют следующим:

t = 0: p_l = p₀, S = S₀, p_g = p₀, w_R = 0, a0 = 1 мм или 0,1 мм.

Возмущения в трубе возникают вследствие воздействия по торцу трубки давлением согласно условиям при t* = 1 мс и Δp = 1 атм:

(1)

(2)

Обсуждение результатов

Рис 2. Зависимость скорости нелинейных волн в пузырьковой жидкости от концентрации пузырьков

На рис. 2 представлены графики, иллюстрирующие влияние концентрации пузырьков на скорость распространения нелинейных волн. Сплошная линия соответствует значениям скоростей для волн, распространяющихся в трубке с жесткими стенками, пунктирная линия – случаю распространения волн в трубке с поликарбонатными стенками с учетом радиальной инерции стенок, точечная линия – случаю распространения волн в трубке с поликарбонатными стенками без учета радиальной инерции. Из рис. 2 видно, что по мере увеличения концентрации пузырьков скорость нелинейных волн снижается, значения скоростей для волн, распространяющихся в поликарбонатных трубках с учетом и без учета инерции стенок трубки, близки друг другу, их значения по мере увеличения концентрации пузырьков.

На рис. 3 представлены эпюры давления в жидкости в момент времени 1,5 мс, графики получены при различных радиусах пузырьков: на рис. 3, а эпюры построены при a₀ = 1 мм, на рис. 3, б – при a₀ = 0,1 мм приближаются к значению скорости для волн в трубке с жесткими стенками. Сплошная линия на рис. 3 соответствует случаю распространения нелинейных волн в трубке с поликарбонатными стенками с учетом радиальной инерции стенок трубки, пунктирная линия – случаю распространения волн в трубке с жесткими стенками.

Из графиков видно, что при радиусе пузырьков a₀ = 1 мм осцилляционная структура волны характерна для нелинейных волн, распространяющихся в жесткой трубке и трубке, стенки которой обладают эластичностью и радиальной инерцией. Пульсации давления связаны здесь главным образом с изменением радиуса пузырьков жидкости во фронте распространяющейся волны.

а б

Рис. 3. Зависимость давления двухфазной жидкости от координаты в момент времени 1,5 мс при различных радиусах пузырьков: а – случай соответствует радиусу пузырьков 1 мм; б – случай – радиусу пузырьков 0,1 мм

При уменьшении радиуса пузырьков в 10 раз для волн в трубке с жесткими стенками изменение давления в жидкости вдоль трубы носит монотонный характер, а динамика волн в поликарбонатной трубке с радиальной инерцией стенок сохраняет осцилляционную структуру. Данный эффект обусловлен тем, что более мелкие воздушные пузырьки слабее воздействуют на жидкость, передавая ей дополнительное давление, таким образом, процессы связанные с диссипацией на пузырьках, межфазным взаимодействием оказывают на динамику волны незначительное влияние. Доминирующая роль на процесс формирования и эволюции волны здесь переходит к радиальной инерции стенок трубки.

На рис. 4 представлены графики изменения давления в жидкости от времени в фиксированной точке, находящейся в 500 см от торца трубки, по которому производилось первоначальное воздействие. Графики получены при различных значениях концентраций пузырьков: на рис. 4, а графики соответствуют α = 0,001, на рис. 4,б – α = 0,01. Пунктирная линия на рис. 4 соответствует случаю распространения нелинейных волн в трубке с поликарбонатными стенками с учетом радиальной инерции стенок трубки, сплошная линия – случаю распространения волн в трубке с эластичными стенками без учета инерции стенки. Из рис. 4 видно, что амплитуды волн давления при концентрации пузырьков α = 0,001 различаются на величину 0,1 атм в случаях распространения волн по трубке с эластичными поликарбонатными стенками с учетом и без учета радиальной инерции стенок, что обусловлено различными способами описания изменения поперечных размеров трубки.

а б

Рис. 4. Зависимость давления двухфазной жидкости от времени в точке, удаленной от нижнего торца трубы на расстояние z = 500 см, при различных объемных содержаниях пузырьков: а – случай соответствует концентрации пузырьков 0,001; б – случай – концентрации пузырьков 0,01

По мере увеличения концентрации пузырьков (α = 0,01) значение амплитуд волн давления оказывается единым, что обусловлено едиными процессами, протекающими в пузырьковой жидкости, оказывающих первостепенное влияние на динамику волн, распространяющихся в трубке.

Заключение

По результатам исследования сделали следующие выводы: процессы, характерные для пузырьков при распространении волн двухфазной жидкости, оказывают влияние на динамику волн при радиусе пузырьков r = 1 мм, при уменьшении радиуса пузырьков до r = 0,1 мм диссипация на пузырьках и межфазное взаимодействие пренебрежимо малы, радиальная инерция стенок трубки сохраняет свое воздействие на динамику волны. Аналогичная тенденция наблюдается при изменении концентрации пузырьков единого радиуса: при малых концентрациях пузырьков на эволюцию волн давления оказывают большее влияние свойства эластичности стенок трубки, при увеличении концентрации пузырьков динамика волн определяется процессами, протекающими в пузырьковой жидкости. Скорость волн двухфазной жидкости меньше скорости звука, и она убывает с увеличением концентрации пузырьков. Эта тенденция сохраняется и при учете радиальной инерции стенок трубки. Следует отметить, что скорость волн в этом случае близка к значениям данного параметра, характерного для случая отсутствия радиальной инерции у эластичных стенок трубки.

Рецензенты:

Гималтдинов И.К., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Прикладная математика и механика» Стерлитамакского филиала БашГУ, г. Стерлитамак;

Михайлов П.Н., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Алгебра, геометрия и методика преподавания математики» Стерлитамакского филиала БашГУ, г. Стерлитамак.

Работа поступила в редакцию 05.08.2014.

Библиографическая ссылка