Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Гукасов А.К. 1 Гукасова Е.В. 2

---

1 ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет»

2 ФГБОУ ВПО «Вятская государственная сельскохозяйственная академия»

В данной работе рассматривается решение задачи оптимального управления границей фазового перехода процессом, описываемым квазистационарной задачей Стефана. Квазистационарная задача Стефана – это задача о стационарных процессах в цилиндрических телах в случае, когда граница фазового перехода движется вдоль образующей, не меняясь, с постоянной скоростью. Задача формулируется следующим образом: управляя тепловым потоком g(x), добиться минимального отклонения границы фазового перехода от заданной границы S. Задача сводится к минимизации функционала . Вводится в рассмотрение оператор А, и доказывается его непрерывность. Приводится формула, определяющая сопряженный оператор. Приводится критерий оптимальности. Для решения аппроксимирующих задач применяется двойственный регуляризованный метод. Приводятся результаты вычислительных экспериментов. Метод Галеркина применяется для решения сопряженной задачи.

Статья в формате PDF

1950 KB

квазистационарная задача Стефана

оптимальное управление

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. – М.: Наука, 2002. – 823 с.

2. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. – 142 с.

3. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи матем. Наук. – 1985. – Т. 40. – Вып. 5 (245). – С. 133–185.

4. Ишмухаметов А.3. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2000. – Т. 40. – № 7. – С. 1045–1060.

5. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М., 1973. – 408 с.

Задача о стационарных процессах в цилиндрических телах в случае, когда граница фазового перехода движется вдоль образующей, не меняясь, с постоянной скоростью, называется квазистационарной задачей Стефана. Такие задачи имеют большое прикладное значение, например, в металлургии, сварке и кристаллизации.

Математическая модель

Пусть пластина, имеющая ширину h и бесконечную длину, движется вдоль неподвижного теплового источника, задаваемого функцией g(x), отличной от нуля на отрезке [– α, α]. Направление движения совпадает с осью x. На достаточно большом расстоянии от теплового источника температура принимается равной нулю. Процесс будет описываться следующей квазистационарной задачей Стефана (рис. 1).

где n – нормаль к S = S1∪S2,V – вектор скорости;

;

на

на ;

;

на .

Рис. 1. G1 – твердая фаза, G2 – жидкая фаза

Рассмотрим следующую задачу: управляя тепловым потоком g(x), добиться минимального отклонения границы фазового перехода от заданной границы S.

Учитывая, что на границе фазового перехода S значение u равно температуре плавления θ, зафиксируем желаемую границу S и рассмотрим задачу минимизации функционала

(1)

где

Представим функцию u(x,y) в виде суммы

где v(x,y) – решение задачи

;

;

;

на ; (2)

на ;

на .

Если задача (2) при g(x) = 0 имеет только нулевое решение, то она однозначно разрешима в пространстве [5] для любой функции g(x)∈L²(– α,α) и будет выполняться неравенство [5]

(3)

Рассмотрим оператор , сопоставляющий функции g след решения v задачи (2) на S.

Теорема. Оператор А является непрерывным. Сопряженный оператор А* определяется равенством

где ψ – решение следующей сопряженной задачи:

,

,

,

на ,

,

на .

Доказательство. Непрерывность оператора A вытекает из неравенства (3) и теорем вложения. Формула для сопряженного оператора получается применением метода интегрирования по частям к равенству

.

Теорема доказана.

Положим . Тогда задачу (1) можно переписать в виде

,

.

Пусть {ek} – базис в H, hi = А*ei. Критерий оптимальности будет иметь следующий вид [2]:

,

где ψ = Ag – z

Пусть , .

Рассмотрим аппроксимирующие задачи:

,

Для решения этих задач можно воспользоваться двойственным регуляризованным методом [4].

Для этого введем регуляризованные задачи

,

, .

Введем функцию Лагранжа

,

.

Решая двойственную задачу

,

,

найдем последовательность {gN} приближений оптимального управления g, которая будет в общем случае слабо сходиться к множеству оптимальных решений.

Рис. 2. График полученного источника gN

Рис. 3. График полученной температуры u (x, 0) на границе y = 0

Рис. 4. Температура на S1 и S2: сплошной линией указана температура на S1, точечной линией указана температура на S2, пунктиром – заданная температура θ

Результаты вычислительных экспериментов

При решении задачи использовались следующие данные: S1 – отрезок x = – r, y∈[0, h], S2 – отрезок x = r, y∈[0, h], α = r = 0,002 м, R = 0,5 м, a1 = 155,7 Вт/(м×К) и a2 = 100Вт/(м×К) – теплопроводность в твердой и жидкой фазе соответственно, h = 0,01 м – толщина, θ 1000 °С – температура, b1 = c1ρ1V, b2 = c2ρ2V, где с1 = 1000 Дж/(кг×К) и с2 = 1000 Дж/(кг×К) – удельная теплоемкость в твердой и жидкой фазе соответственно, ρ1 = 2600 кг/(м3) и ρ2 = 2300 кг/(м3) – плотность в твердой и жидкой фазе соответственно, V = 0,001 м/с – скорость, λ = ρ1k, где k = 315000 Дж/кг – теплота плавления, N = 40.

В качестве базиса в пространстве Н использовалась следующая система векторов:

, .

Решение сопряженной задачи находилось методом Галеркина как решение, удовлетворяющее соответствующему интегральному тождеству.

Рецензенты:

Чермных В.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры фундаментальной и компьютерной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров;

Шатров А.В., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования в экономике, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.

Работа поступила в редакцию 30.12.2014.

Библиографическая ссылка