Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Ахтямов А.М. 1, 2 Аксенова З.Ф. 2

---

1 ФГБУН «Институт механики Уфимского НЦ РАН им. Р.Р. Мавлютова»

2 ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Рассматривается механическая колебательная система в виде графа из трех ребер-струн с одной общей вершиной. Струны графа являются однородными и имеют одинаковую длину. Все три тупиковых вершины графа упруго закреплены и в местах закрепления сосредоточены массы. Вся система колеблется, как батут. Решается задача определения значений коэффициентов жесткости пружинок и сосредоточенных масс по конечному числу собственных частот этой механической системы. Показывается, что 9 собственных частот достаточно для нахождения коэффициентов жесткости пружинок и сосредоточенных масс с точностью до перестановок закреплений на тупиковых концах механической системы местами. Находится метод решения этой обратной задачи, доказывается теорема и приводится соответствующий пример. Полученные результаты могут быть применены как для проектирования, так и для диагностики виброзащитных систем, а также условий заземления электрических сетей.

Статья в формате PDF

736 KB

виброзащитные системы

собственные частоты

обратная задача

граф

электрические сети

условия заземления электрических сетей

1. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Акустическая диагностика сосредоточенных масс на концах струнного графа с упругим закреплением на концах // Вестник Башкирского университета. – 2014. – Т. 19, № 1. – С. 14–18.

2. Ахтямов А.М., Аксенова З.Ф. Восстановление сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа // В мире научных открытий. – 2013. – № 2.1 (38). – С. 56–67.

3. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. – М.: Физматлит, 2009. – 272 с.

4. Ахтямов А.М., Ямилова Л.С. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока // Электромагнитные волны и электронные система. – 2006. – Т. 11, № 2–3, – С. 15–17.

5. Валеев Н.Ф., Рабцевич С.А., Нугуманов Э.Р. О задаче определения параметров граничных условий оператора Штурма-Лиувилля по спектру // Вестник СамГУ. Серия: Естественнонаучная. – 2009. – № 6 (72). – С. 12–20.

6. Кадченко С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2013. – № 6 (107).

7. Какушкин С.Н. Математическое моделирование спектральной задачи об электрических колебаниях в протяженной линии методом регуляризованных следов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. – 2013. – Т. 6, № 3.

8. Капустин Н.Ю. О классической задаче с комплекснозначным коэффициентом и спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 10. – С. 1361–1367.

9. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. – М.: Наука, 1984. – 240 с.

10. Мартынова Ю.В. Модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма–Лиувилля на геометрическом графе // Вестник Башкирского университета. – 2011. – Т. 16, № 1. – С. 4–10.

11. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. и д.р. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.

12. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. – 184 с.

13. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 384 с.

14. Benedek A.I., Panzone R. Problemas de contorno para equaciones differenciales ordinarias de sequndo orden con condiciones de borde dependientes del parametro spectral // Trab. Mat. Inst/ argent. mat, 1983. – № 53. – P. 1–21.

15. Kapustin N.Yu., Moiseev E.I. Spectral problems with the spectral parameter in the boundary condition // Differential Equations. – 1997. – Т. 33, № 1. – С. 116–120.

Целью настоящей статьи является восстановление сосредоточенных масс и коэффициентов жесткости пружин, сосредоточенных на тупиковых вершинах звездного струнного графа, по известному набору собственных частот колебаний этого графа. Дифференциальные операторы на графах часто возникают в естествознании и технике [11]. Прямые спектральные задачи решались в работах [6, 8, 15], так же решались обратные спектральные задачи (см., например, [9, 12, 14]), в том числе на графах [13]. Однако существенным отличием этих работ от данной является то, что коэффициенты дифференциальных уравнений и краевых условий восстанавливаются не по части спектра, а по нескольким спектрам и (или) по некоторым другим спектральным характеристикам. К тому же основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях. Идентификации краевых условий спектральных задач по собственным значениям в механических и электронных системах посвящена работа [3], однако рассмотренная нами задача там не изучалась. В [5] восстанавливались коэффициенты граничных условий оператора Штурма – Лиувилля по всему спектру (а не по конечному набору собственных частот). Близкая задача рассматривалась в работе [10], но для электрических систем. Это задача идентификации условий заземления через последовательно сосредоточенные самоиндукцию и емкости конденсатора. Восстанавливаются 6 параметров краевых условий по 6 собственным значениям, однако в этом случае получаются лишние решения, которых не будет, если известно большее число собственных значений задачи. В работах [1, 2, 3] восстанавливались только сосредоточенные массы или только жесткости пружинок на концах струнного графа, а не все параметры одновременно.

В данной работе рассматривается задача идентификации сосредоточенных масс и коэффициентов жесткости пружин, сосредоточенных на тупиковых вершинах звездного струнного графа по известному набору собственных частот. Из-за общности уравнений для электрических колебаний в проводе [4, 7] и механических колебаний струны результаты, представленные в данной работе для механической системы, справедливы и для подобной электрической системы. Для электрической сети сосредоточенным массам на концах струнного графа соответствуют индуктивности, а обратные величины коэффициентов упругости (жесткостей) пружин, закрепляющего концы графа, соответствуют емкостям.

Результаты, полученные в данной работе, позволяют получать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, сохраняющие приборы от ударного воздействия, проводить диагностику таких систем, а также диагностировать условия заземления электрических сетей на участках, труднодоступных для визуального осмотра.

Постановка обратной задачи. Рассмотрим граф G в виде звезды из n ребер-струн с одним общим концом в нуле. Длина i-й струны равна li. Тупиковые концы струн упруго закреплены, причем каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости hi. В местах упругого закрепления подвешены-сосредоточены массы mi. Требуется определить сосредоточенные массы mi и коэффициенты жесткости пружин hi струнного графа по собственным частотам колебаний графа. Ниже для наглядности изложения этот метод решения приводится для случая n = 3.

Спектральная задача для каждого ребра колеблющегося графа имеет вид

0 ≤ xi ≤ li, i = 1, 2, 3, (1)

где xi – расстояние от общего узла по оси OXi; y(xi) – вертикальные смещения c выходом из плоскости начального расположения струнного графа, а – спектральный параметр.

Точка O (xi = 0) является свободной (подвижной). Условия в точке О имеют вид [3]

(2)

(3)

Краевые условия на тупиковых вершинах таковы:

i = 1, 2, 3. (4)

Формулы (2) выражают условия непрерывности, а (3) – баланс сил, действующих на общую вершину графа (точку О – узел) со стороны каждого из примыкающих к узлу ребер, условия (4) – условия упругого закрепления ребер (струн) с сосредоточенными массами.

Математически в терминах введенных обозначений сформулируем постановку задачи.

Постановка задачи: Пусть li = 1 (i = 1, 2, 3). Требуется найти hi и mi по известному набору собственных значений sk задачи (1)–(4).

Метод введения дополнительных неизвестных. Перед решением этой обратной задачи напомним, как решается прямая задача нахождения собственных значений.

Решением уравнения (1) является следующая функция:

(5)

где ci1 и ci2 – произвольные константы. Подставляя функции (5) в (2)–(4) соответственно, получим, что собственные значения sk задачи (1)–(4) находятся из частотного уравнения

i = 1, 2, 3. (6)

Изложим теперь метод решения обратной задачи. Система уравнений (6) при s = sk (k = 1, 2, ...,) является нелинейной относительно неизвестных hi (i = 1, 2, 3) и mi (i = 1, 2, 3). И если для определения 6 неизвестных hi и mi использовать также 6 собственных значений, то, как правило, помимо диагностируемых данных окажутся и другие лишние решения. Система может иметь 6! = 720 наборов решений, из которых достаточно трудоемко исключить лишние решения. Но при решении вышеуказанной задачи машина зависает при расчете, поскольку нужно выдать 720 вариантов наборов 6 параметров. Поэтому для решения этой задачи предложен следующий численный метод – метод введения дополнительных неизвестных. С помощью введения дополнительных неизвестных приведем уравнение (6) к линейному виду:

(7)

где

(8)

(9)

Функции f0(s), f1(s), f2(s), f3(s), f4(s), f5(s), f6(s), f7(s), f8(s), f9(s) являются линейно независимыми функциями аргумента s (по определению линейной независимости функций).

Пусть s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9 – собственные значения задачи (1)–(4) подставим их в (7). В результате получим систему девяти линейных уравнений от девяти неизвестных {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9}:

, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (10)

Из правил Крамера следует, что если определитель матрицы

(11)

системы уравнений (10) отличен от нуля, то неизвестные {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9} находятся единственным образом по формулам (j = 1, 2, ..., 9), где Dj – определитель матрицы, получаемый заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если s1, s2, ..., s9 являются точными собственными значениями краевой задачи (1)–(4), D ≠ 0, то система (10) имеет единственное решение {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9}, определяемое по формулам Крамера (j = 1, 2, ..., 9), а значения коэффициентов жесткости пружинок h1, h2, h3 и сосредоточенных масс m1, m2, m3 находятся с точностью до перестановок закреплений на тупиковых концах механической системы местами по формулам (8).

Пример. Пусть

s1 = 0.5351947856; s2 = 0.7209194738;

s3 = 1.7077687399; s4 = 3.2007784617;

s5 = 4.7562882600; s6 = 6.312233015;

s7 = 7.8802149625; s8 = 9.4440741650;

s9 = 11.0142910657

являются собственными значениями краевой задачи L и длины струн l1 = l2 = l3 = 1. Требуется найти h1, h2, h3, m1, m2, m3.

Решая систему линейных уравнений (7), получим

x1 = 6.00012454515180; x2 = 11.0002292716576; x3 = 6.00012584636183;

x4 = 15.0002729440572; x5 = 74.0013465243788; x6 = 120.002183553839;

x7 = 58.0011800634226; x8 = 51.0010534591865; x9 = 138.002713340072.

Подставляя {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9} в (8), получим 36 наборов решений, из которых только 6 наборов являются искомыми:

1. {h1 = 3.00027942412555, h2 = 1.00001056019994, h3 = 1.99983456082631,

m1 = 6.00196131492730, m2 = 4.00058303446869, m3 = 4.99772859466121};

2. {h1 = 1.99983456082631, h2 = 1.00001056019994, h3 = 3.00027942412555,

m1 = 4.99772859466121, m2 = 4.00058303446869, m3 = 6.00196131492730};

3. {h1 = 3.00027942412555, h2 = 1.99983456082631, h3 = 1.00001056019994,

m1 = 6.00196131492730, m2 = 4.99772859466121, m3 = 4.00058303446869};

4. {h1 = 1.00001056019994, h2 = 1.99983456082631, h3 = 3.00027942412555,

m1 = 4.00058303446869, m2 = 4.99772859466121, m3 = 6.00196131492730};

5. {h1 = 1.99983456082631, h2 = 3.00027942412555, h3 = 1.00001056019994,

m1 = 4.99772859466121, m2 = 6.00196131492730, m3 = 4.00058303446869};

6. {h1 = 1.00001056019994, h2 = 3.00027942412555, h3 = 1.99983456082631,

m1 = 4.00058303446869, m2 = 6.00196131492730, m3 = 4.99772859466121}.

Итак, закрепления на тупиковых концах механической системы мы можем восстановить с точностью до перестановок их местами по 9 собственным значениям, используя новый метод – метод введения дополнительных неизвестных. В то время как если рассматривать граф из трех струн и восстанавливать одновременно и сосредоточенные массы и коэффициенты жесткости пружинок (6 параметров) на концах струнного графа по 6 собственным значениям, то получим 6! или 720 наборов решений, из которых достаточно трудоемко исключить лишние решения. И при решении задачи машина зависает при расчете, поскольку нужно выдать 720 вариантов наборов 6 параметров.

Рецензенты:

Спивак С.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования, ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», г. Уфа;

Султанаев Я.Т., д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник лаборатории «Механика твердого тела», ФГБУН «Институт механики им. Р.Р. Мавлютова» Уфимского научного центра Российской академии наук, г. Уфа.

Библиографическая ссылка