Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

ПОСТРОЕНИЕ ОБРАТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РОБОТОВ МЕТОДАМИ СТРУКТУРНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ

Рыбак Л.А. 1 Гапоненко Е.В. 1 Чичварин А.В. 2
1 Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
2 Старооскольский технологический институт (филиал) МИСиС
В статье рассмотрена обратная модель динамики параллельного робота, позволяющая по заданным траектории движения, скоростям и ускорениям рабочего органа определить силы в приводных кинематических парах. Для получения обратной динамической модели такого робота выделено две подсистемы: подвижная платформа и опоры. Динамика подвижной платформы определяется как функция ее декартовых координат, а динамика опор определяется как функции их обобщенных координат. Для проецирования динамических характеристик платформы в пространство приводных кинематических пар использован транспонированный якобиан механизма, а для проецирования динамических характеристик опор в пространство приводных кинематических пар – якобиан, выражающий связь между этими пространствами. По результатам моделирования проведен расчет динамических характеристик. Построены графики координат x, y рабочего органа, полученные для заданных ускорений и усилий в шарнирах при траектории, рассчитанной с применением обратной динамической модели.
параллельный робот
обратная динамическая модель
кинематический якобиан
математическая модель
1. Магергут В.З. Подходы к построению дискретных моделей непрерывных технологических процессов для синтеза управляющих автоматов / В.З. Магергут, В.А. Игнатенко, А.Г. Бажанов, В.Г. Шаптала // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. – 2013. – № 2. – С. 100–102.
2. Ait-Ahmed M. Contribution a la modelisation geometrique et dynamique des robots paralleles // Ph.D. Thesis, Universit?e Paul Sabatier, 1993. – P. 192–194.
3. Angeles J. Fundamentals of Robotic Mechanical Systems // Springer-Verlag. – 2002. – Р. 445.
4. Bhattacharya S., Hatwal H., and Ghosh A. An on-line estimation scheme for generalized Stewart platform type parallel manipulators // Mechanism and Machine Theory. – 1997. – Vol. 1. – № 32. – Р. 79–89.
5. Merlet J.-P. Parallel Robots. – 2nd ed., – Springer Dordrecht, The Netherlands, 2006. – Р. 178.

Динамика играет важную роль в управлении роботами. Существуют два типа динамических моделей [5]:

– обратная задача динамики: по заданным траектории движения, скоростям и ускорениям X, W, rybak01.wmf рабочего органа определить силы в приводных кинематических парах τ. В общем виде обратная задача динамики формулируется как

rybak02.wmf

где M – положительно определенная матрица инерции; G – гравитационная составляющая; C – центробежная и кориолисова составляющая. Эта формула полностью аналогична формуле для последовательных роботов;

– прямая задача динамики: по заданным силам/моментам в приводных кинематических парах определить траекторию, скорости и ускорения рабочего органа.

Рассмотрим параллельный робот, основание и подвижная платформа которого соединены посредством 6 опор, присоединенных к основанию посредством универсальных шарниров, а к подвижной платформе – посредством сферических шарниров (рис. 1). Опоры приводятся в движение посредством призматических шарниров.

Для получения обратной динамической модели такого робота разобьем его на две подсистемы: подвижную платформу и опоры.

Динамика подвижной платформы определяется как функция ее декартовых координат (положения, скоростей и ускорений), а динамика опор определяется как функции их обобщенных координат rybak03.wmf. Усилия в приводных кинематических парах могут быть получены посредством проецирования этой динамической модели на оси приводных кинематических пар.

pic_50.wmf

Рис. 1. Схема параллельного робота

Для проецирования динамических характеристик платформы в пространство приводных кинематических пар умножим их на транспонированный якобиан механизма, а для проецирования динамических характеристик опор в пространство приводных кинематических пар используем якобиан, выражающий связь между этими пространствами. Тогда динамическая модель механизма параллельной структуры будет описываться следующим уравнением:

rybak04.wmf (1)

где Fp – вектор обобщенных сил и моментов, приложенных к платформе; Jp – якобиан механизма размерностью 6×n, выражающий зависимость поступательных и угловых скоростей платформы от скоростей движения приводных кинематических пар,

rybak05.wmf (2)

Hi – обратная динамическая модель опоры i, представленная в виде функции от rybak06.wmf. Она может быть получена в терминах положений, скоростей и ускорений платформы из обратной кинематической модели опор.

Если число степеней свободы механизма меньше 6, вектор Vp может быть редуцирован до вектора Vr, соответствующего n независимых степеней свободы механизма. Тогда Vp может быть выражен через Vr как

Vp = SVr, (3)

где

rybak07.wmf (4)

и выражение (3) может быть переписано в виде

rybak08.wmf (5)

где Jr – редуцированный кинематический якобиан механизма размерностью n×n. Заметим, что при n = 6 матрица S представляет собой единичную матрицу размерностью 6×6. Для вычисления Jr следует инвертировать rybak09.wmf.

В общем случае, когда платформа имеет 6 6 степеней свободы, Fp вычисляется посредством уравнения Ньютона ? Эйлера [2]:

rybak10.wmf (6)

где rybak11.wmf vp – линейные скорости центра системы координат XYZp, связанной с платформой; ωp – угловые скорости системы координат XYZp; rybak12.wmf – ускорение платформы, получаемое путем дифференцирования (5)

rybak13.wmf (7)

где g – ускорение свободного падения, разложенное по осям системы координат XYZp; Ip – матрица инерции платформы относительно центра системы координат XYZp; MSp – вектор начальных моментов платформы относительно системы координат XYZp:

rybak14.wmf (8)

Is – пространственная матрица инерции платформы:

rybak15.wmf (9)

Mp – масса платформы; E3 – единичная матрица размерностью 3×3; rybak16.wmf – кососимметричная матрица размерностью 3×3, соответствующая вектору MSp

rybak17.wmf (10)

Вычисление rybak18.wmf можно произвести по следующей формуле, вытекающей из параллельной структуры механизма:

rybak19.wmf (11)

где vi – вектор линейных скоростей, сообщаемых i-й опорой платформе.

Выражение (11) можно переписать как

rybak20.wmf (12)

где Ji – кинематический якобиан опоры i, соответствующий выражению

rybak21.wmf (13)

Методы вычисления Ji широко известны [2], Jvi определяет соотношение между vi и Vp,

rybak22.wmf (14)

В конечном итоге из (1) и (11) получаем следующую компактную форму обратной модели динамики механизма параллельной структуры:

rybak23.wmf

rybak24.wmf (15)

Для вычисления Hi можно использовать множество методов. Для уменьшения вычислительной сложности задачи целесообразным видится применение рекурсивного алгоритма Ньютона ? Эйлера [4].

С учетом (12) и того, что активные переменные независимы, выражение обратной модели динамики может быть записано в виде

rybak25.wmf (16)

где Ha – вектор приводных сил/моментов всех опор, соответствующий компонентам Hi, описывающим приводные шарниры (i = 1, ..., m); pi – номера столбцов, соответствующих силам/моментам пассивных шарниров опоры i; rybak26.wmf – вектор сил/моментов в пассивных шарнирах опоры i.

Теперь уравнение (16) может быть переписано в следующей форме:

Такая форма существенно упрощает модель, позволяя избежать излишних умножений активных сил/моментов на проективную матрицу rybak28.wmf. Кроме того, возникает преимущество в возможности расчета кинематики и динамики опор параллельно на m процессорах.

Расчет обратной динамической модели требует вычисления обратного якобиана опор и кинематического якобиана механизма.

В связи с этим разработан новый метод расчета обратного кинематического якобиана механизма с использованием обратных якобианов его опор.

Кинематический якобиан механизма представляет собой соотношение между скоростями приводных кинематических пар rybak29.wmf и пространственными скоростями платформы Vr

rybak27.wmf (17)

rybak30.wmf (18)

В общем случае Jr вычисляется путем инвертирования матрицы обратного якобиана rybak31.wmf, так как ее проще вычислить.

Для вычисления rybak32.wmf очевидным решением является использование соотношений между скоростями в кинематических парах и скоростями платформы через опору i с учетом перехода от неподвижной системы координат, связанной с основанием, к подвижной системе координат, связанной с платформой [3]:

rybak33.wmf (19)

где rybak34.wmf – вектор скоростей всех (включая пассивные) кинематических пар опоры i, от платформы к звену, соединенному с основанием; Jci – кинематический якобиан последовательного перехода от неподвижной системы координат, связанной с основанием, к системе координат, связанной с подвижной платформой, через опору i.

Решим (18) относительно скорости приводной кинематической пары опоры i:

rybak35.wmf (20)

Тогда обратный кинематический якобиан механизма может быть получен путем группировки Lci для всех опор:

rybak36.wmf (21)

В соотношении (18) используются данные о пассивных кинематических парах опоры i. С целью упрощения расчетов эти переменные можно исключить, воспользовавшись соотношением между выражениями для скорости в точке соединения опоры с подвижной платформой vi, выраженной, с одной стороны, в терминах Vr

rybak37.wmf (22)

и, с другой стороны, в терминах rybak38.wmf

rybak39.wmf (23)

где rybak40.wmf – вектор скоростей в кинематических парах опоры i без учета пассивной кинематической пары, соединяющей опору с основанием; Ji – кинематический якобиан опоры i от неподвижного основания к точке соединения с платформой; Jvi – якобиан, преобразующий скорость платформы в скорость в точке соединения ее опорой i, связанный исключительно с этой опорой.

Решение уравнения (23) для активной кинематической пары опоры i дает:

rybak41.wmf (24)

Затем, с помощью (22) и перегруппировки для всех опор, получаем

rybak42.wmf (25)

и, следовательно,

rybak43.wmf (26)

Для робота с шестью степенями подвижности (рис. 1) проведен расчет динамических характеристик [1], исходными данными для которого являются ускорения рабочего органа: γx = 1 см/с2, t ∈ [0, 2]; γx = –1 см/с2, t ∈ [2, 4]; γy = 5 см/с2, t ∈ [0, 4] другие компоненты вектора ускорений равны нулю.

Начальные линейные и угловые скорости рабочего органа равны нулю, начальное положение [0; 0; 53,3], начальная ориентация [0; 0; 0]. Координаты, x, y рабочего органа представлены на рис. 2, усилия в шарнирах – на рис 3.

pic_51.wmf

Рис. 2. Координаты x, y рабочего органа, полученные для заданных ускорений

pic_52.wmf

Рис. 3. Усилия в шарнирах при траектории, рассчитанной с применением обратной модели динамики

Предположим, что рабочий орган осуществляет вертикальное перемещение из начального положения. Обратная задача динамики показывает, что в этом случае все линейные приводы должны развивать одинаковое усилие, равное 1,65 65 Н. Однако ошибка в модели одного из приводов приводит к реальным усилиям

τ1 = 1,6665 Н; τi = 1,65 H;

∀i ∈ [2, 6].

Начальные линейные и угловые скорости примем равными нулю, начальное положение рабочего органа (0; 0; 53,3), все углы Эйлера равны нулю.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № № 14-01-00761.


Библиографическая ссылка

Рыбак Л.А., Гапоненко Е.В., Чичварин А.В. ПОСТРОЕНИЕ ОБРАТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ РОБОТОВ МЕТОДАМИ СТРУКТУРНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 11-7. – С. 1358-1362;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39838 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674