Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ АНАЛОГОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Мельников Д.В. 1
1 Калужский филиал ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)»
В статье предложен метод синтеза нестационарных фильтров для аналоговой электроники. Для синтеза фильтров предлагается использовать аппарат матричных операторов, который хорошо зарекомендовал себя для решения задач управления для класса линейных стационарных и нестационарных систем. Алгоритм метода предполагает реализацию двух довольно трудоемких этапов: вычисление матричного оператора фильтра и восстановление дифференциального уравнения фильтра по найденному матричному оператору. При реализации первого этапа алгоритма используется такая же идеология, как и в разработанном авторами проекционно-матричном методе синтеза нелинейных систем управления – замена нелинейных элементов их эквивалентными матричными операторами с использованием методов математического программирования. На втором этапе решается следующая задача. Известен матричный оператор фильтра в классе стационарных или нестационарных линейных систем, необходимо построить дифференциальное уравнение, эквивалентное этому матричному оператору. Структура дифференциального уравнения регулятора выбирается из соображений аппаратной реализации, поэтому задача сводится к определению коэффициентов уравнения. Неизвестные коэффициенты вычисляются в виде разложений по ортонормированному базису. В работе показано, что алгоритм расчета этих коэффициентов сводится к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов Фурье. Алгоритм метода демонстрируется на примере построения оптимального фильтра электронного устройства. Предложенный подход к построению фильтров, основанный на методе матричных операторов, позволяет найти дифференциальные уравнения оптимальных фильтров, как для класса стационарных, так и нестационарных случайных процессов, причем нет ограничений и на стационарность объекта.
матричный оператор
ортонормированный базис
синтез
фильтр
случайный процесс
дисперсия
корреляционная функция
1. Аунг Ч.С., Макаренков А.М., Мьо П.С. Идентификация случайных параметров математической модели электрогидравлического следящего привода // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 2–2. – С. 231–235.
2. Мартьянов П.С. Синтез аналоговых фильтров на элементарных звеньях для радиотехнических систем: диссертация ... кандидата технических наук: – М., 2010. – 156 с.
3. Мельников Д.В., Егупов Н.Д., Мин Ч.Ту. Метод матричных операторов синтеза нестационарных фильтров // Вопросы радиоэлектроники. – 2013. – Т. 1, № 4. – С. 65–75.
4. Мельников Д.В., Корнюшин П.Ю., Мин Ч.Т., Чжо Т.А., Окар М. Проекционно–матричный подход к анализу и синтезу систем управления электроэнергетических систем // Научное обозрение. – 2015. – № 2. – С. 88–97.
5. Мельников Д.В., Корнюшин Ю.П., Мин Ч.Ту. Спектральный метод синтеза нелинейных радиоэлектронных систем управления // Вопросы радиоэлектроники. – 2013. – Т. 1, № 4. – С. 116–124.
6. Мельников Д.В., Мин Ч.Ту. Исследование радиотехнических устройств в стохастических режимах // Вопросы радиоэлектроники. – 2013. – Т. 1, № 4. – С. 76–88.
7. Мельников Д.В., Чжо Ту.А., Окар М. Алгоритм статистического анализа линейных нестационарных систем со случайными параметрами с использованием аппарата матричных операторов и теории чувствительности // Научное обозрение. – 2015. – № 20. – С. 185–190.
8. Мин Ч.Ту., Мельников Д.В., Алгоритм стохастического исследования нелинейных систем управления с использованием проекционно–матричного аппарата // Научное обозрение. – 2014. – № 10–1. – С. 87–93.
9. Мишин Г.Т. Современная аналоговая микроэлектроника: теория и практика. – М.: Издательство «Радиотехника», 2007. – 208 с.
10. Окар Мин, Мельников Д.В. Алгоритм расчета нелинейных систем управления проекционно-матричным методом // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2014 – № 12 (36). – С. 17; http://engjournal.ru/catalog/it/asu/1268.html.
11. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Колесников Л.В., Лукашенко Ю.Л., Мельников Д.В., В.М. Рыбин, Трофимов А.И. Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 664 с.
12. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Колесников Л.В., Мельников Д.В., Трофимов А.И. Высокоточные системы самонаведения. Расчет и проектирование. Вычислительный эксперимент / Под. ред. Пупкова К.А., Егупова Н.Д. – М.: Физматлит, 2011. – 512 с.
13. Чжо Ту Аунг, Мельников Д.В. Алгоритм исследования нелинейных систем автоматического управления в стохастических режимах // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2014. – № 4 (28). – С. 3; http://engjournal.ru/catalog/it/asu/1270.html.

В настоящее время в области анализа и проектирования устройств аналоговой электроники (устройства отображения информации, системы автоматического управления, аналоговые фильтры) наблюдаются попытки перехода на уровень выпуска системных микросхем, однако отсутствие единого общепризнанного математического аппарата решения задач анализа и синтеза сдерживают развитие данного направления. Выход из создавшегося положения наметился в работе [2], где за естественнонаучную базу аналоговой микроэлектроники принята математическая теория систем дифференциальных уравнений (ДУ) в обобщенной форме. Переход к естественнонаучным представлениям позволяет сформировать новый элементный базис. Необходимым шагом перехода на новую элементную базу является замена модели радиоэлектронного устройства в виде принципиальной электрической схемы на равноценную модель в виде структурной схемы, которая должна состоять только из элементарных звеньев предлагаемой элементной базы [2, 9]. Важным шагом перехода на предлагаемую элементную базу является обоснование процедуры синтеза электронного устройства: выбор структуры дифференциального уравнения; расчет его коэффициентов и сборка синтезируемого устройства. Всё это, вместе взятое, определяет новый подход к анализу и синтезу электронных устройств на элементарных звеньях. На основе вновь введенной элементной базы возможно сформировать как МАБИС (матричные аналоговые большие интегральные схемы), так и ПАИС (программируемые аналоговые интегральные схемы). Такая возможность обусловлена малочисленностью элементов в базе и позволяет спроектировать уникальный чип для данной МАБИС, или единый перепрограммируемый элемент для ПАИС [2].

Однако те большие возможности, которые открываются введением предлагаемой элементной базы, требуют обширной предварительной работы, связанной с исследованием особенностей проектирования различных типов аналоговых устройств. В настоящей статье предлагается алгоритм синтеза таких широко применяющихся устройств, как фильтры. Для синтеза фильтров предлагается использовать аппарат матричных операторов, который хорошо зарекомендовал себя для решения задач управления для класса линейных стационарных и нестационарных систем [1, 3, 7], а в последнее время нашел развитие и на класс нелинейных систем [4, 5, 6, 10, 13]. Рассмотрим алгоритм решения задачи синтеза оптимального фильтра на конкретном примере. Предположим, что система задана следующей структурной схемой (рис. 1).

melnik1.wmf

Рис. 1. Структурная схема системы

Динамика объекта описывается уравнением

mel01.wmf (1)

где

mel02.wmf

mel03.wmf mel04.wmf

mel05.wmf

На вход системы поступает аддитивная смесь центрированных не коррелированных сигналов m(t) (полезный сигнал) и n(t) (помеха) с известными корреляционными функциями

mel06.wmf (2)

Требуется синтезировать последовательное корректирующее устройство (фильтр), которое устранило бы влияние помехи на выходной процесс X(t) системы на промежутке mel07.wmf Решение поставленной задачи представим в виде последовательности этапов.

Этап 1. Выберем в качестве ортонормированного базиса (ОНБ) ортонормированные на промежутке [0, 6] полиномы Лежандра mel08.wmf

Этап 2. Проведем статистический анализ системы без фильтра. Структурная схема системы в операторной форме представлена на рис. 2 (mel09.wmf – спектральные характеристики входного сигнала, сигнала ошибки, управления и выходного сигнала соответственно; Аф, А0 – матричные операторы фильтра и объекта).

melnik2.wmf

Рис. 2. Структурная схема системы в операторном виде

Задав размер базиса l = 12, одним из способов, изложенных в [11, 12], найдем матричный оператор объекта А0 в выбранном базисе. Далее определяем матричный оператор всей системы без регулятора: mel10.wmf Применяя двумерное преобразование Фурье, рассчитываем спектральные характеристики корреляционных функций полезного сигнала и помехи:

mel11.wmf

mel12.wmf

По следующим зависимостям определяем спектральные характеристики корреляционной функции выходного сигнала, обусловленные действием: полезного сигнала и помехи – mel13.wmf полезного сигнала – mel14.wmf помехи – mel15.wmf.

При синтезе фильтра спектральную характеристику mel16.wmf (обусловленную действием только полезного сигнала) будем использовать в качестве желаемой (эталонной). По формуле

mel17.wmf

mel18.wmf

рассчитаем спектральную характеристику желаемой дисперсии выходного процесса.

Найдем автокорреляционные функции, дисперсии и среднеквадратическое отклонение (СКО) выходного сигнала, обусловленные действием:

– полезного сигнала и помехи

mel19.wmf

mel20.wmf

– полезного сигнала

mel21.wmf

mel22.wmf

– помехи mel23.wmf

mel24.wmf

Графики СКО выходного сигнала, обусловленные совместным действием полезного сигнала и помехи, а также действием отдельно помехи и полезного сигнала, представлены на рис. 3.

melnik3.wmf

Рис. 3. Графики СКО выходного сигнала системы без фильтра

Этап 3. Расчет оптимального матричного оператора фильтра. Вычислим матричный оператор фильтра относительно двух критериев: критерия близости корреляционных функций и критерия близости дисперсий. Матричный оператор системы с фильтром имеет вид

mel25.wmf. (3)

Оптимальные матричные операторы найдем из следующих зависимостей:

- критерий близости корреляционных функций:

mel26.wmf (4)

где

mel27.wmf

- критерий близости дисперсий:

mel28.wmf (5)

где

mel29a.wmf

mel29b.wmf

mel30.wmf

Выбрав евклидову норму матриц (4), (5), получим следующие целевые функции, подлежащие минимизации относительно элементов матрицы Аф:

mel31.wmf

mel32.wmf

Положив в качестве начального приближения Аф = I, (I – единичная матрица) методом Гаусса – Ньютона вычисляем оптимальные матричные операторы фильтра mel33.wmf, mel34.wmf, при этом mel35.wmf mel36.wmf

Этап 4. Построение математической модели оптимального фильтра в форме дифференциального уравнения по известным матричным операторам mel37.wmf mel38.wmf Имеется несколько подходов к решению этой задачи, один их них основан на использовании понятия порождающих функций [11]. В случае если порядок ДУ невысокий, можно предложить следующий способ. Зададим следующую структуру ДУ, описывающее динамику фильтра:

mel39.wmf (6)

Определим коэффициенты mel40.wmf mel41.wmf в виде разложения по ОНБ так, чтобы матричный оператор уравнения (6) Аф как можно точнее совпадал с mel42.wmf в одном случае и с mel43.wmf в другом. Матричные операторы правой mel44.wmf и левой mel45.wmf частей уравнения (6) можно представить следующим образом (см. переход о ДУ к соответствующему интегральному уравнению в [11]):

mel46.wmf

где mel47.wmf – спектральная характеристика mel48.wmf

mel49.wmf – спектральная характеристика mel50.wmf элементы матрицы mel51.wmf согласно вычисляются следующим образом:

mel52.wmf,

а ее структура имеет размер (12*122):

mel54.wmf

Тогда матричный оператор фильтра определяется следующим образом:

mel55.wmf (7)

Оптимальные параметры mel56.wmf найдем исходя из следующих зависимостей:

– критерий близости корреляционных функций:

mel57.wmf (8)

– критерий близости дисперсий:

mel58.wmf (9)

Задавшись евклидовой нормой для матриц (8), (9), получим следующие целевые функции, подлежащие минимизации:

mel59.wmf

mel60.wmf

где mel61.wmf – совокупность искомых параметров.

В результате минимизации целевых функций методом Гаусса – Ньютона были найдены: mel62.wmf – спектральные характеристики соответствующих коэффициентов фильтра, найденные по критерию (8); mel63.wmf – спектральные характеристики, найденные по критерию (9).

Целевые функции при оптимальных параметрах принимают следующие значения:

mel64.wmf mel65.wmf

mel66.wmf mel67.wmf

Этап 5. Анализ системы с найденными фильтрами. Матричные операторы всей системы:

mel68.wmf

mel69.wmf

Спектральные характеристики выходного сигнала, обусловленные воздействием полезного сигнала и помехи:

mel70.wmf

mel71.wmf

Автокорреляционные функции, дисперсии и СКО выходного сигнала, обусловленные действием полезного сигнала и помехи:

mel72.wmf

mel73.wmf

mel74.wmf

mel75.wmf

На рис. 4 представлены графики СКО выходного сигнала с фильтром, построенным на основе равенства корреляционных функций выходного и эталонного процессов (фильтр 1) и на основе равенства дисперсий выходного и эталонного процессов (фильтр 2). В случае получения результата с недостаточной точностью, необходимо на этапе 4 задать более сложную структуру фильтра.

melnik4.wmf

Рис. 4. Графики СКО выходного сигнала системы

Предложенный подход к построению фильтров, основанный на методе матричных операторов, позволяет найти ДУ оптимальных фильтров, как для класса стационарных, так и нестационарных случайных процессов, причем нет ограничений и на стационарность объекта. Все это позволяет широко использовать элементный базис аналоговой микроэлектроники для сборки синтезируемого устройства.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Калужской области (гранты № 14-48-03013, № 16-41-400701).


Библиографическая ссылка

Мельников Д.В. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ АНАЛОГОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 11-2. – С. 312-317;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40972 (дата обращения: 19.02.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074