Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Иванов Е.М.

Показано, что при действии на тело массы силы под любым углом при наличии трения и без него, будет совершена одна и та же работа A = F²t²/(2m).

Статья в формате PDF

224 KB

Если на тело массы , находящегося на гладкой горизонтальной поверхности, действует постоянная сила F, направленная под некоторым углом  к горизонту и при этом тело перемещается на некоторое расстояние S, то говорят, что сила F совершила работу A. Величину работы определяют по формуле [1,2,3]:

                                          (1)

Однако в природе идеально гладких поверхностей не бывает, и на поверхности контакта двух тел всегда возникают силы трения. Вот как об этом пишется в учебнике [1, Стр. 200]: «Работа силы трения покоя равна нулю, поскольку перемещение отсутствует. При скольжении твердых поверхностей сила трения направлена против перемещения. Ее работа отрицательна. Вследствие этого кинетическая энергия трущихся тел превращается во внутреннюю - трущиеся поверхности нагреваются».

Автором данной статьи было просмотрено множество школьных и вузовских учебников и задачников, но работа против сил трения рассматривалась только применительно к равномерному движению:

                                (2)

где μ - коэффициент трения скольжения.

Только в учебнике О.Д. Хвольсона [3, стр. 92] рассмотрен случай ускоренного движения при наличии сил трения: «Итак, следует отличать два случая производства работы: в первом сущность работы заключается в преодолевании внешнего сопротивления движению, которое совершается без увеличения скорости движения тела; во втором - работа обнаруживается увеличением скорости движения, к которому внешний мир относится индифферентно.

На деле мы обыкновенно имеем соединение обоих случаев: сила  преодолевает какие-либо сопротивления и в то же время меняет скорость движения тела.

                                             (*)

Работа r=fS состоит из двух частей: f´S тратится на преодолевание внешнего сопротивления, ρ  на увеличение скорости тела».

Представим это в современной интерпретации (рис. 1). На тело массы m действует сила тяги F_T, которая больше силы трения . Работу силы тяги в соответствии с формулой (*) можно записать так

       (3)

где  - сила, вызывающая ускоренное движение тела в соответствии со II законом Ньютона: . Работа силы трения отрицательна, но здесь и далее мы будем использовать силу трения и работу трения по модулю. Для дальнейших рассуждений необходим численный анализ. Примем следующие данные: m=10 кг; g=10 м/с²; F_T=100 Н; μ=0,5; t=10 с. Проводим следующие вычисления:  Н;  Н;  м/с²;  м/с;  кДж; м;  кДж;  кДж. Таким образом суммарная работа  кДж

А теперь рассчитаем работу силы тяги F_T  для случая, когда трение отсутствует (μ=0 ). Проводя аналогичные вычисления, получаем: a=10 м/с²; V=100м/с; K=5 кДж; S=500 м; A=50 кДж. В последнем случае за те же 10 с мы получили работу в два раза больше. Могут возразить, что и путь в два раза больше. Однако, что бы ни говорили, получается парадоксальная ситуация: мощности, развиваемой одной и той же силой, отличаются в два раза, хотя импульсы сил одинаковы  кН×с. Как писал М.В. Ломоносов еще в 1748 г.: «...но все изменения, совершающиеся в природе, происходят таким образом, что сколько к чему прибавилось столько же отнимется у другого...». Поэтому попробуем получить другое выражение для определения работы.

Запишем II закон Ньютона в дифференциальной форме:

                             (4)

и рассмотрим задачу о разгоне первоначально неподвижного тела (трение отсутствует). Интегрируя (4), получим: . Возведя в квадрат и разделив на 2m обе части равенства, получим:

           или      A=K          (5)

Таким образом, получили другое выражение для вычисления работы

                      (6)

где  - импульс силы. Это выражение не связано с путем S, пройденным телом за время t, т.е. оно может быть использовано для вычисления работы, совершаемой импульсом силы и в том случае, если тело остается неподвижным, хотя, как утверждают во всех курсах физики, в этом случае никакой работы не совершается.

Переходя к нашей задаче об ускоренном движении с трением, запишем сумму импульсов сил:

, где ; ; .

Возведя в квадрат сумму импульсов, получим:

Разделив все члены равенства на , получим:

         (7)

или

где - работа, затрачиваемая на ускорение; - работа, затрачиваемая на преодоление силы трения при равномерном движении, а - работа, затрачиваемая на преодоление силы трения при ускоренном движении. Численный расчет дает следующий результат:  кДж, т.е. мы получили ту же самую величину работы, которую совершает сила F_T при отсутствии трения.

Рассмотрим более общий случай движения тела с трением, когда на тело действует сила F, направленная под углом α к горизонту (рис. 2). Теперь сила тяги , а силу  - назовем силой левитации, она уменьшает силу тяжести , а в случае  тело не будет оказывать давления на опору, будет находиться в квазиневесомом состоянии (состоянии левитации). Сила трения . Силу тяги можно записать в виде , а из прямоугольного треугольника (рис. 2) получим: . Умножая последнее соотношение на t², получим баланс импульсов сил, а разделив на 2m, получим баланс энергий (работ):

(8)

Приведем численный расчет для силы F=100 Н и  при тех же условиях ( m=10 кг; μ=0,5; t=10 с.). Работа силы F будет равна , а формула (8) дает следующий результат (с точностью до третьего знака после запятой):

50=15,625+18,974-15,4-12,5+30,8+12,5 кДж.

Как показывают расчеты, сила F=100 Н, действуя на тело массы m=10 кг под любым углом α за 10 с совершает одну и ту же работу 50 кДж.

Последний член в формуле (8) представляет собой работу силы трения при равномерном движении тела по горизонтальной поверхности со скоростью

(9)

Таким образом, под каким бы углом не действовала данная сила F на данное тело массы , при наличии трения или без него, за время t будет совершена одна и та же работа (даже если тело неподвижно):

                           (10)

Рисунок 1.

Рисунок 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Матвеев А.Н. механика и теория относительности. Учеб.пособие для физ.спец.вузов. - М.: Высш.шк., 1986.
2. Стрелков С.П. Механика. Общий курс физики. Т. 1. - М.: ГИТТЛ, 1956.
3. Хвольсон О.Д. Курс физики. Т. 1. РСФСР Госуд.Изд-во, Берлин, 1923.

Библиографическая ссылка