Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ХАТЧИНСОНА-РАЙТА

Брызгалов Е. В.
Попытки моделирования динамики популяций при ограниченных ресурсах предпринимались с середины 19 века. Впервые эффект запаздывания был учтён почти 100 лет спустя Хатчинсоном. Он модифицировал «классическое» уравнение Ферхюльста, а именно сомножитель, учитывающий наличие верхней границы популяции, вычисляется в некоторый предшествующий данному момент времени:

Уравнение, получившие название уравнения Хатчинсона-Райта имеет 2 равновесных состояния: 0 и K. Можно доказать, что первое состояние равновесия линейно неустойчиво, а второе линейно устойчиво при и неустойчиво в противном случае. В частности, при T=0 уравнение (1) превращается в уравнение Ферхюльста, где K - устойчивое равновесное состояние.

Следующим шагом становится введение автором в модель параметрически изменяющегося биотического потенциала. Действительно, в природе большое влияние на процесс размножения оказывают сезонные факторы и пр. То есть мы можем записывать в модели биотический потенциал не как константу, а как функцию от времени:

Выбирая в качестве неизвестной функции гармоническую и учитывая, что изменение биотического потенциала не влияет на коэффициент внутривидовой конкуренции (m=r/K), получим:

,

где

Очевидно, что исследование данной модели возможно лишь численно.

Следует отметить, что большинство современных математических пакетов (Maple и пр.) не позволяет непосредственно осуществлять исследование систем на основе уравнений с запаздывающим аргументом. Для изучения поведения данной системы была использована разработанная автором моделирующая среда «Model Designer», позволяющая описывать и исследовать широкий класс динамических систем, в том числе и с использованием отклоняющегося аргумента.

Решение полученного уравнения осуществлялось средой с использованием схемы Штермера 5-го порядка, в качестве начального условия было принято  для .

Для определения и идентификации динамического режима известно достаточно большое число способов. «Model Designer» поддерживает возможности построения фазовых плоскостей и спектров Фурье. С их помощью можно достаточно легко разбить режимы на периодические, квазипериодические (сумма нескольких периодических движений, которая, вообще говоря, не является периодической) и апериодические.

Исследование модели затрудняется наличием большого числа параметров (биотический потенциал, время запаздывания, емкость среды, амплитуда и период колебаний биотического потенциала). Соответственно, в работе не везде выделены области того или иного режима, а только приведены найденные режимы. Часть режимов обнаруживаются в рамках модели Хатчинсона-Райта (A=0).

Полагая время запаздывания равным нулю, мы получаем логистическую кривую. Увеличивая запаздывание, мы приходим к первой бифуркации - смене режима монотонного возрастания (затухания) на режим затухающих колебаний. Время этого запаздывания обратно пропорционально биотическому потенциалу: (0.45, 0.5). При дальнейшем нарастании T, колебания становятся более явными. Частота их пропорциональна биотическому потенциалу и постоянна при постоянном наборе параметров, что подтверждает спектр. При rT=p/2 согласно теории наступает смена затухающих колебаний нарастающими, которые становятся более выраженными при увеличении T. Неустойчивость состояния N=K подтверждается спектром.

Вторая серия численного эксперимента связана с изменением амплитуды колебаний биотического потенциала при отсутствии запаздывания. (T=0). В данном случае вне зависимости от A, в итоге получаются периодические колебания. Незначительное отличие состоит только в поведении системы до выхода на предельные циклы.

Наиболее интересные результаты даёт комбинирование предыдущих двух серий. Примером может служить бипериодическое движение (его бипериодичность подтверждает спектр), получить которое невозможно в рамках первых двух серий, или биения.

Но в любом случае, в рамках данной модифицированной модели мы можем получить только квазипериодические движения, так как фактически у нас два источника возникновения периодичности: запаздывание и изменение биотического потенциала. Кроме того, необходимо учитывать, что первый источник порождает нестабильные (затухающие или нарастающие) колебания, а второй стабильные. Следовательно при малых rT (строго говоря, при любом rT<p/2) произойдет исчезновение первого источника и достаточно продолжительное наблюдение даст результаты, аналогичные результатам второй серии, при больших rT постоянные колебания второго источника будут поглощены.


Библиографическая ссылка

Брызгалов Е. В. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ХАТЧИНСОНА-РАЙТА // Фундаментальные исследования. – 2004. – № 6. – С. 110-111;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=6425 (дата обращения: 22.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074