Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

STUDY ON KINETICS OF TWO-DEGREE-OF-FREEDOM HINGED ARMS MATERIAL SYSTEM

Smirnov D.A. 1 Tezhikova N.P. 1
1 Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R. E. Alekseev
Разработана математическая модель динамики движения незамкнутой кинематической цепи двух шарнирно-соединенных стержней, обладающая двумя степенями свободы. В качестве основы для разработки математической модели служат уравнения Лагранжа второго рода. Полученная математическая модель использована для решения частной задачи при заданных начальных условиях. Решение системы дифференциальных уравнений осуществлено численным методом Рунге‒Кутта четвертого порядка. Определен закон движения системы в обобщенных координатах, представлены графики зависимостей углов поворота и угловых скоростей от времени. На основе анализа результатов расчета сделан вывод о наличии двух этапов в движении системы. На этапе установившегося движения стержни образуют практически прямую линию. При этом относительное движение второго стержня носит характер затухающих колебаний. Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики движения незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы.
A mathematical model for kinetics of two-degree-of-freedom hinged arms material system is set up. Lagrange’s equations of the second kind are taken as the basis for the mathematical model. The resulted mathematical model is used to solve a specific problem under given initial conditions. The simultaneous equations are solved by using Runge-Kutta method of the forth kind. The motion law for the system in generalized coordinates is defined. Diagrams for the arms rotary angle and rate versus time relationships are presented. The analysis of the calculation data shows the presence of two stages of the system motion. The arms form a practically direct line at the stable motion stage. Here the relative motion of the second arm is characterized by convergent oscillations. The results of the present research can be used to develop mathematical models for kinetics of open kinematic chains with finite number of degrees of freedom.
kinetics of material systems
relative motion
Lagrange’s equations of the second kind
1. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov GM. Numerical Methods. Moscow, BINOM. Laboratoriya Znaniy, 2006. 636 p.
2. Lure A.I. Analytical Mechanics. Moscow, GIFML, 1961. 824 p.
3. Marchuk G.I. Methods of Computing Mathematics. Moscow, Nauka, 1989. 608 p.
4. Panov Yu.L., Panov A.Yu. Relative Motion in Mechanics. Engineering Tasks. NGTU n. a. R.E. Alekseev, Nizhny Novgorod, 2008. 144 p.
5. Popov E.P., Vereschagin A.F., Zenkevich S.L. Manipulator Robots: Dynamics and Algorithms. Moscow, Nauka, 1978. 400 p.
6. Yablonskiy A.A., Nikiforova V.M. A Course in the Theory of Mechanics. Moscow, KnoRus, 2011. 608 p.

Изучение динамики незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей для различных областей науки и техники, например, исследования динамики механических манипуляторов [5].

Целью данной работы является развитие методов исследования динамики незамкнутых кинематических цепей, а также разработка математической модели динамики механической системы шарнирно-соединенных стержней (рис. 1) с двумя степенями свободы. В работе решается частная задача по определению закона движения системы в обобщенных координатах.

Материалы и методы исследования

Рассматривается механическая система, состоящая из двух абсолютно твердых стержней, длины которых обозначим l1, l2. Стрежни соединены между собой шарниром O1. Стержень 1 закреплен при помощи неподвижного цилиндрического шарнира O. На стержень 1 действует момент активных сил M.

Задача решается при следующих предположениях:

– все шарниры являются идеальными (силы трения и их моменты отсутствуют);

– движение происходит в горизонтальной плоскости (силы тяжести не совершают работы);

– момент активных сил является постоянным M = const.

 

pic_51.tif

Рис. 1. Кинематическая схема: 1, 2 – абсолютно твердые стержни; O1, O2, – идеальные шарниры; φ1, φ2 – углы поворота стержней; M – момент активных сил

Для решения задачи об определении закона движения механической системы используется метод уравнений Лагранжа II рода [2, 4]. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней φ1, φ2. Таким образом, уравнения Лагранжа II рода можно записать в виде

smirn01.wmf (1)

где φi – обобщенные координаты системы; smirn02.wmf – обобщенные скорости; smirn03.wmf – обобщенные силы; T – кинетическая энергия системы.

Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий двух стержней по формуле

T = T1 + T2, (2)

где T1 – кинетическая энергия стержня 1, T2 – кинетическая энергия стержня 2.

Кинетическая энергия стержня 1 определяется по формуле [6]

smirn04.wmf (3)

где smirn05.wmf – момент инерции стержня 1 относительно точки O.

Кинетическую энергию стержня 2 определим по формуле [6]

smirn06.wmf (4)

где mk – масса k-й точки стержня 2; smirn08.wmf – вектор скорости k-й точки стержня 2.

Скорость smirn09.wmf определяется теоремой сложения скоростей

smirn10.wmf (5)

где smirn11.wmf – вектор скорости k-й точки стержня 2 от переносного движения (вектор скорости полюса – точки O1); smirn12.wmf – вектор относительной скорости k-й точки стержня 2 от его вращения вокруг полюса O1.

Подставляя (5) в выражение (4), получим

smirn13.wmf (6)

где (ϕ2 – ϕ1) – угол между вектором скорости переносного движения smirn14.wmf и вектором относительной скорости smirn12.wmf.

Запишем выражения для переносной скорости smirn16.wmf и относительной скорости smirn17.wmf

smirn18.wmf; smirn19.wmf,

где rk – радиус вектор k-й точки стержня 2 в относительном вращении вокруг полюса O1.

Подставляя эти выражения в формулу (6) для кинетической энергии стержня 2, получим

smirn20.wmf

Раскрывая скобки, получим

smirn21.wmf (7)

Учитывая, что smirn22.wmf – масса стержня 2, smirn23.wmf – статический момент стержня 2 относительно точки O1, smirn24.wmf – момент инерции стержня 2 относительно точки O1, окончательно для кинетической энергии стержня 2 получим

smirn25.wmf (8)

Запишем выражение для кинетической энергии системы

smirn26.wmf

smirn27.wmf (9)

Определим производные от кинетической энергии системы, необходимые для составления левых частей уравнений Лагранжа.

smirn28.wmf (10)

smirn29.wmf (11)

smirn30.wmf

smirn31.wmf (12)

smirn32.wmf

smirn33.wmf (13)

Правые части уравнений Лагранжа представляют собой обобщенные силы, определяемые выражением

smirn34.wmf,

где smirn35.wmf – сумма работ активных сил, действующих на систему на ее возможном перемещении.

Учитывая, что на систему действует только момент активных сил M, получим

Q1 = M; Q2 = 0. (14)

Подставляя выражения (10), (11), (12), (13) и (14) в уравнения Лагранжа (1), получим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат ϕ1 и ϕ2

smirn36.wmf (15)

smirn37.wmf (16)

Введем обозначения:

smirn38.wmf smirn39.wmf

smirn40.wmf

Уравнения (15) и (16) принимают вид

smirn41.wmf (17)

smirn42.wmf (18)

Введя обозначения

smirn43.wmf smirn44.wmf

smirn45.wmf smirn46.wmf

и smirn47.wmf получим

smirn48.wmf; (19)

smirn49.wmf (20)

Выразим вторые производные по времени smirn50.wmf и smirn51.wmf

smirn52.wmf

smirn53.wmf

Решение этой системы уравнений может быть осуществлено различными численными методами [1, 3].

Результаты исследований и их обсуждение

Рассмотрим результаты решения, полученные при реализации метода Рунге‒Кутта четвертого порядка. На рис. 2 представлены зависимости углов поворота стержней φ1 и φ2 от времени t, а на рис. 3 показаны зависимости угловых скоростей smirn54.wmf и smirn55.wmf от времени. Представленные зависимости получены при следующих исходных данных и начальных условиях:

m1 = m2 = 1 (кг), l1 = l2 = 1 (м),

M = 5 (Н∙м), t = 0,

smirn56.wmf, smirn57.wmf,

smirn58.wmf, smirn59.wmf.

Анализ результатов решения показывает, что движение системы можно разделить на два этапа. Первый этап неустановившегося движения, когда стержни 1 и 2 вращаются в противоположных направлениях (рис. 2a и 3a). Через небольшой промежуток времени после начала движения начинается второй этап, на котором стержни 1 и 2 начинают вращаться в одном направлении (рис. 3б), причем стержень 2 как бы догоняет стержень 1. Можно говорить о начале установившегося движения. Стержни при этом располагаются практически в прямую линию.

pic_52.tif

а

pic_53.tif

б

Рис. 2. Зависимость углов поворота стержней от времени: а – зависимость углов поворота стержней от времени на этапе неустановившегося движения; б – зависимость углов поворота стержней от времени на этапе установившегося движения

pic_54.tif

а

pic_55.tif

б

Рис. 3. Зависимость угловых скоростей от времени: а – зависимость угловых скоростей от времени на этапе неустановившегося движения; б – зависимость угловых скоростей от времени на этапе установившегося движения

Заключение

Анализ графиков угловых скоростей показывает, что движение стержня 2 обладает признаками периодичности. Угловая скорость стержня 2 периодически меняется относительно угловой скорости стержня 1 (рис. 3). Рассматривая движение стержня 2 как сложное, состоящее из переносного движения стержня 1 и относительного движения стержня 2 по отношению к вращающейся точке O1, сделаем вывод, что относительное движение стержня 2 можно рассматривать как затухающее колебание.

Результаты решения, полученные при других исходных данных и начальных условиях, позволяют сделать следующие выводы:

– длительность неустановившегося движения зависит от момента активных сил М, при увеличении момента активных сил время неустановившегося движения уменьшается;

– минимальное значение угла поворота второго стержня φ2 не зависит от величины момента активных сил, а зависит только от начальных условий.

Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики незамкнутых кинематических цепей.

Рецензенты:

Панов А.Ю., д.т.н., заведующий кафед­рой «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород;

Иванов А.А., д.т.н., профессор кафед­ры «Автоматизации машиностроения», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород.

Работа поступила в редакцию 05.12.2013.