Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

INTEGRAL CHARACTERISTICS OF RIGIDITY OF COMPOSITE PLATES MADE OF MATERIALS WITH STRENGTH DIFFERENTIAL (SD) EFFECT

Krivchun N.A. 1 Umanskaya O.L. 1
1 Tyumen State Oil and Gas University
В современном строительстве широко используются составные пластины. В существующих многослойных конструкциях часто слои выполняют из разномодульных материалов. Значительной разномодульностью обладают конструкционные стали, специальные чугуны, графиты, оргстекло, естественные грунты, древесина, лед, бетон и т.д. Слои соединены упругоподатливыми связями, поперечные связи абсолютно жесткие. Решение задачи определения напряженно-деформированного состояния таких конструкций проводится с учетом жесткости межслойных связей и разномодульных свойств отдельных слоев. Существует необходимость создавать новые и совершенствовать уже имеющиеся методы расчета конструкций, выполненных из таких материалов. В данной статье рассматривается теория изгиба составных многослойных пластин, слои которых выполнены их разномодульных материалов. Разномодульность связана с положением главных площадок. Для определения интегральных характеристик жесткости в координатах X, Y переход от матрицы податливостей в координатах главных площадок осуществлен к матрице, записанной в декартовых координатах. Предлагается осуществить этот переход не через преобразование компонент напряжений, а через преобразование матрицы податливостей.
Composite plates are widely used in modern construction. Layers are often made of multimodulus materials in the already existing multi-layer constructions. Steel, special cast iron, graphite, plexiglas, natural soils, timber, ice, concrete and other materials possess multimodulus qualities. The layers are linked with elastic-compliance bonds; transverse bracing (cross section bracing) is absolutely rigid. It is vitally important to take into consideration the rigidity of interlayer connections and multimodulus qualities of separate layers to solve the task of defining the stress-strained state of such constructions. It is necessary to create new methods of calculation of constructions made of such materials and to enhance existing ones. The authors consider the bending theory of composite multi-layer plates whose layers are made of multimodulus materials. Multimodulus qualities are connected with the position of main platforms. To determine the integral rigidity characteristics in the X–Y coordinate system, the transition from the compliance matrix (flexibility matrix) in the coordinate system of the main platforms is accomplished through the transition to the matrix written in the Cartesian coordinate system. As being different from other authors, we suggest performing this transition not through the transformation of the stress component but through the transformation of the compliance matrix (flexibility matrix).
a multi-layer plate
multimodulus materials
integral characteristics of rigidity
compliance matrix (flexibility matrix)
strain (stress)
deformation
1. Alfutov N.A., Zinovev P.A., Popov B.G. Raschet mnogoslojnyh plastin iz kompozitnyh materialov. M.: Mashinostroenie, 1984. 264 s.
2. Ambarcumjan S.A. Raznomodulnaja teorija uprugosti. M.: Nauka, 1982. 320 р.
3. Ambarcumjan S.A. Teorija anizotropnyh plastin. M.: Nauka, 1987. 360р.
4. Krivchun N.A., Jakubovskij Ju.E., Babshanov M.T., Izgib sostavnoj plastiny iz raz-nomodulnyh materialov // Neft i gaz. Stroitelstvo i obustrojstvo promyslov. 1999. no. 3. рр. 78–86.
5. Krivchun N.A. Modelirovanie izgiba sostavnyh plastin iz raznosoprotivljajushhihsja materialov : dis. ... kand.tehnich, nauk. Tjumen.1999. рр. 39–40.
6. Lehnickij S.G. Teorija uprugosti anizotropnogo tela. M.: Nauka, 1977. 416 р.
7. Rzhanicyn A.R. Sostavnye sterzhni i plastinki. M.: Strojizdat, 1986. 316 р.

Снижение материалоемкости конструкций при сохранении прочности и надежности является важной задачей. В современном строительстве объектов нефтегазового комплекса широко и многофункционально используются многослойные пластины. Применение таких конструкций обусловлено их высокой прочностью и жесткостью при относительно малой массе, хорошими тепло- и звукоизоляционными свойствами. Слои пластин выполняют как из новых, так из традиционных материалов. Эти материалы характеризуются свойством разносопротивляемости в той или иной степени, то есть имеют различные модули упругости при растяжении и сжатии. Решение задачи напряженно-деформированного состояния многослойных пластин из разномодульных материалов с учетом жесткости межслойных связей является актуальной проблемой.

Цель исследования: получить формулы для определения интегральных характеристик жесткости i-го слоя составной многослойной пластины с учётом разномодульных свойств материала.

Материалы и методы исследования: в работе использовались теоретические и экспериментальные методы исследования, основанные на математическом моделировании.

Результаты исследований и их обсуждение

Теория изгиба рассматривается для составных многослойных пластин с учётом разномодульных свойств материалов слоев. Как и в [7], под составной пластиной понимаем две и более пластины. Каждую отдельную пластину рассматриваем как i-й слой, количество которых равно n + 1. Число промежутков между ними (швов) равно n. Нумерацию устанавливаем сверху. Слои в составной конструкции соединены между собой упругоподатливыми связями, допускающими сдвиг одного слоя по отношению к другому. Поперечные связи абсолютно жесткие. В соответствии с этим все слои имеют одинаковый прогиб W(x, y). Гипотеза Кирхгофа – Лява выполняется для отдельного слоя, но не для пакета в целом. Нагрузка на пакет направлена по нормали и распределяется на поверхности по произвольному закону. Решение задачи определения напряженно-деформированного состояния таких конструкций проводится с учетом жесткости межслойных связей и разномодульных свойств отдельных слоев.

В разномодульной теории упругости определяющим является знак главного напряжения [2, 3]. Точки или области тела, где все главные напряжения имеют одинаковые знаки (т.е. тело сжимается или растягивается по главным напряжениям), будем называть точками или областями первого рода и на них в данной работе останавливаться не будем. Те точки или области тела, где одно из главных напряжений имеет отличный от двух других знак, будем называть точками или областями второго рода. Физические соотношения, определяющие зависимость деформирования материала от величины напряжений, запишем только для области второго рода. Разномодульность связана с положением главных площадок [1].

В координатах, определяющих положение главных площадок, для плоского напряженного состояния матрица податливостей запишется в виде

krichun01.wmf (1)

где элементы aik зависят от напряженного состояния, например если σ1 > 0, σ2 < 0, то a11 = 1/E+; a22 = 1/E–; krichun02.wmf (E+, E– – модули упругости при растяжении и сжатии соответственно).

В данной работе переход от направлений главных площадок к координатам X, Y осуществляется через преобразование матрицы податливостей [4]. Это позволит записать интегральные характеристики жесткости, а следовательно, систему дифференциальных уравнений в координатах X, Y. Считаем, что оси координат совпадают со сторонами пластины.

В отличие от существующих моделей [6], чтобы перейти от координат главных площадок к матрице жесткостей в декартовых координатах, необходимо иметь полный набор характеристик жесткостей в главных координатах. В то же время при s1 > 0, s2 < 0 на двух ортогональных площадках имеем характеристики материала, соответствующие растяжению и сжатию, поэтому следует различать податливости на сдвиг 1/G+ и 1/G–.

Результирующая величина податливости на сдвиг a66 определялась путем осреднения величин, которые имелись в одной точке на двух площадках, ортогональных X, Y:

krichun03.wmf (2)

От матрицы податливости aik (1) в координатах главных площадок перейдем к матрице Aik в координатах X, Y:

krichun04.wmf

krichun05.wmf

krichun06.wmf

krichun07.wmf (3)

krichun08.wmf

krichun09.wmf

где φ – угол, определяющий положение главных площадок по отношению к координатам X, Y.

Соотношения между напряжениями и деформациями в координатах X, Y с учетом новой матрицы (3) запишутся как

krichun10.wmf

krichun11.wmf

krichun12.wmf (4)

Напряжения через компоненты деформаций запишем в форме [3]

krichun13.wmf

krichun14.wmf

krichun15.wmf (5)

где

krichun16.wmf

krichun17.wmf

krichun18.wmf

krichun19.wmf (6)

krichun20.wmf

krichun21.wmf

krichun22.wmf

Соотношения сводятся к (1), если направления главных площадок совпадают с координатами X, Y.

Запишем выражения для напряжений в слое, с учетом распределения по толщине i-го слоя, в рамках гипотезы прямых нормалей:

krichun23.wmf

krichun24.wmf (7)

krichun25.wmf

Здесь krichun26.wmf – характеристики жесткости в точке материала i-го слоя, определяются по (6); krichun27.wmf; krichun28.wmf, krichun29.wmf, krichun30.wmf – деформации в срединной поверхности i-го слоя.

В отличие от существующих выражений, в (4)–(7) появились слагаемые, учитывающие разномодульные свойства материала [5].

От напряжений в произвольной точке, интегрируя по толщине, переходим к записи погонных усилий krichun31.wmf и моментов krichun32.wmf, в i-м слое:

krichun33.wmf krichun34.wmf krichun35.wmf

krichun36.wmf krichun37.wmf krichun38.wmf (8)

где –h/2, h/2 – наибольшие расстояния от срединной поверхности до крайних волокон i-го слоя пластины.

Подставляя выражения для напряжений (7) в (8), после интегрирования (8) получим выражения для усилий и моментов в i-м слое:

krichun39.wmf

krichun40.wmf (9)

krichun41.wmf

krichun42.wmf

krichun43.wmf

krichun44.wmf

Здесь интегральные характеристики жесткости растяжения, сжатия, сдвига, изгиба и кручения определяются по следующим формулам:

krichun45.wmf

krichun46.wmf

krichun47.wmf (10)

где m, n = 1, 2, 6; krichun48.wmf – определяется из (6).

Аналогично (10) осуществляется интегрирование на площадке, ортогональной к оси Y. Выражения (9) позволяют в процессе изменения величины нагрузки во времени следить за изменением интегральных характеристик жесткости.

Появление krichun49.wmf связано с тем, что в материале, свойства которого на растяжение и сжатие различны, происходит смещение нейтральной поверхности по отношению к срединной. У большинства материалов отношение податливостей krichun50.wmf, поэтому смещение происходит в сторону сжатых волокон. При этом деформации на уровне срединной поверхности не равны нулю.

Заключение

В результате проведенных исследований в известных формулах появились коэффициенты, учитывающие свойства разномодульности материала слоев.