Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ОДНОМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА ТВЭЛОВ И НЕАКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Симонова О.С. 1 Логинов В.С. 1
1 ГОУ ВПО «Томский политехнический университет»
Сформулирована математическая модель нестационарного температурного режима тепловыделяющей системы, состоящей из произвольного числа тепловыделяющих элементов (твэлов) с диэлектрическими слоями или из охлаждающих каналов. Рассмотрены три способа проверки модели: первый – на основе физических размерностей всех величин; второй – число N одномерных дифференциальных уравнений в частных производных должно содержать 3N краевых условий однозначности; третий – если внутренние источники постоянны или равны нулю, то решение исходной краевой задачи совпадает с известным решением в литературе. Приведен пример расчета стационарного температурного поля в полом цилиндрическом тепловыделяющем элементе с оболочками. Рассмотрены два случая: в первом – функция тепловыделения зависит от радиуса; во втором – тепловыделение – постоянная величина.
пластина
цилиндр
шар
нестационарный режим
коэффициент теплообмена
термическое сопротивление
теплопроводность
тепловыделяющий элемент
1. Дорохов А.Р., Заворин А.С., Казанов А.М., Логинов В.С. Моделирование тепловыделяющих систем: учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2000. – 234 с.
2. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 328 с.
3. Соколов Е.Я. Теплофикация и тепловые сети: учебник для вузов. – 7-е изд. – М.: Изд-во МЭИ, 2001. – 472 с.
4. Залесский А.М., Кукеков Г.А. Тепловые расчеты электрических машин. – Л.: Энергия, ЛО, 1967. – 369 с.
5. Логинов В.С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. – М.: Физматлит, 2000. – 272 с.

В учебной литературе [1–4 и др.] по тепломассообмену для студентов энергетического и электротехнического направления рассмотрены задачи стационарной теплопроводности, при решении которых приводится обоснование коэффициента теплопередачи, термического сопротивления стенки и эффективного коэффициента теплообмена. Представляет методический и практический интерес в обобщенной постановке нестационарной задачи теплопроводности с неравномерно распределенными внутренними источниками теплоты.

Постановка задачи

Пусть тепловыделяющая система состоит из произвольного числа тепловыделяющих, диэлектрических элементов (или наряду с ними каналов для прохождения охлаждающих сред или теплоносителей) с геометрическими размерами ξ1, ξ2, ξ3, ..., ξi+1, ξm+1. Коэффициенты теплопроводности материалов и сред являются известными и постоянными величинами. О переменности их свойств – от времени, координат, температуры, структуры конкретного материала будем учитывать через эффективные значения – λi. Внутри твэлов действуют внутренние источники теплоты – qVj(ξ, τ). Они являются функциями, по крайней мере, непрерывными, дифференцируемыми и интегрируемыми в пределах линейного размера элемента j (1, 2, 3, ..., i, ..., m). Имеют место ограниченные величины qVj(ξ, τ) ≤ Mj. Принимается, что температурное поле в тепловыделяющем элементе (твэле) и канале симметрично плоскости ξ = 0.

В диэлектрических слоях (или в охлаждающих каналах) внутренние источники теплоты зачастую принимаются равными нулю, но может иметь место при наличии химических реакций теплоперенос с фазовыми превращениями (кипение теплоносителя, конденсация паров, плавление, кристаллизация и т.п.). Заданы постоянные во времени коэффициенты теплообмена – α1, α2, т.е. теплообмен с внутренней и внешней поверхности тепловыделяющей системы осуществляется по закону Ньютона. Физически это означает, что температурное поле в системе твердых тел не зависит от закона распределения температур в средах – Tж1, Tж2. Существование изотермических поверхностей или отсутствие теплоты по другим направлениям (кроме ξ) говорит о его одномерном изменении. На границах контакта элементов существует идеальный контакт.

Система уравнений, описывающая нестационарный процесс теплопроводности в тепловыделяющей системе, имеет вид

simon01.wmf (1)

где N – общее число элементов.

Начальные условия

Tj(ξ, τ = 0) = THj(ξ),

граничные условия

simon02.wmf

simon03.wmf

simon04.wmf

simon05.wmf

Здесь ξ – обобщенная координата; τ – текущее время; ξi – координата на границе соприкосновения слоев; n = 0, ξ = x – неограниченная пластина; n = 1, ξ = r – цилиндр; n = 2, ξ = r – шар; Tj(ξ, τ), Tж1, Tж2, qVj(ξ, τ) – соответственно температуры твэла, окружающих сред и функции тепловыделения; cpj, ρj, λj, λi – соответственно удельная массовая изобарная теплоемкость, плотность, коэффициенты теплопроводности конкретного элемента.

Проверка математической модели. Необходимость в проверке вызвана тем, что в литературе имеют место некорректно сформулированные математические модели.

Первый способ проверки. Будем исходить из физических размерностей всех величин. Пусть, например, n = 2 – шар, j = 1, 2. Дифференциальное уравнение теплопроводности в левой и правой части имеют размерность Вт/м3:

simon07.wmf

simon08.wmf

Таким образом, по размерности физических величин система уравнений записана верно.

Второй способ проверки. Число дифференциальных уравнений в частных производных – N после их решения будет в общем решении содержать 3N констант интегрирования. Докажем это. Пусть j = 1,2; N = 2, т.е. рассматриваются всего два элемента. Для этого случая необходимо задать 6 краевых условий. В этом можно легко убедиться.

Третий способ проверки. Для стационарного режима simon09.wmf Если внутренние источники теплоты – постоянные величины или равны нулю, то получим известные в литературе решения. Наличие переменного по координате источника теплоты приводит к сложному аналитическому решению [5], но для реализации на ЭВМ они не представляют трудностей.

Пример 1. В стационарном режиме в тепловыделяющей сборке (рисунок) с геометрическими размерами r0 = 0,02 м, r1 = 0,01 м, r2 = 0,0105 м, r3 = 0,029 м, r4 = 0,0295 м. Тепловыделение изменяется по зависимости:

qv = qv0∙(1 + b∙r2),

где

qv0 = 5,19∙105 Вт/м3, simon10.wmf;

r = 0,0275 м, α1 = 40000 Вт/(м2∙K);

α1 = 10 Вт/(м2∙K), Tж1 = 573,15 K;

Tж2 = 293,15K, λ1 = λ3 = 23 Вт/(м∙К);

λ2 = 15 Вт/(мК).

Найти максимальную температуру в тепловыделяющей сборке.

pic_8.tif

Схема задачи: 1,3 – оболочки; 2 – полый цилиндрический тепловыделяющий элемент

Решение. Определим термические сопротивления оболочек

simon11.wmf

Введем безразмерные числа. Число Био

simon12.wmf

Функция Померанцева

simon13.wmf

Окончательное решение задачи (1) для стационарного режима имеет вид

simon14.wmf (2)

где

simon15.wmf

Для нашего примера, согласно (2),

simon16.wmf

Тогда максимальная температура в тепловыделяющей сборке будет равна

simon17.wmf

Tстац(r0 = 0,0275) =

= Tж1 + θстац(R = 2,619) (Tж1 – Tж2) = 322,7 °С.

Пример 2. Определите распределение температуры по радиусу в полом цилиндрическом тепловыделяющем элементе с оболочками, если принять постоянное по радиусу тепловыделение qV(r) = qV0. Какова максимальная погрешность расчета при такой замене тепловыделения в полом цилиндрическом твэле?

Решение:

Схема задачи приведена на рисунке. Окончательное решение задачи (1) для данного случая имеет вид

simon18.wmf

Здесь

simon19.wmf (3)

Подставляя исходные данные qV0 = 5,19∙105 Вт/м3, находим значения C1 = 134,694 Вт/м, RЦЗ = 3,463 мК/Вт.

Погрешность расчета распределения температур по радиусу относительно точных температур

r, 10–3 м

T2(r), K

Расчет по (1)

ε, %

10,5

12,0

14,0

16,0

20,0

22,0

r0 = 23,0

26,0

29,0

573,617

574,524

575,458

576,138

576,897

577,026

577,036

576,865

576,418

0,254

0,761

1,328

1,797

2,503

2,758

3,07

3,08

3,15

Погрешность расчета в сравнении с расчетом по формуле (2)

simon20.wmf

где T(r) – точное значение, К.

Координата максимальной температуры

simon21.wmf

Как показывает анализ проведенного расчета максимальная погрешность распределения по радиусу температур не превышает 3,3 %, а по определению координаты максимальной температуры r0 ≈ 16,4 %

Вывод

Приведен пример расчета стационарного температурного поля в полом цилиндрическом тепловыделяющем элементе с оболочками. Показано, что погрешность расчета по сравнению с точным сложным решением не превышает 3,3 %.

Рецензенты:

Архипов В.А., д.ф.-м.н., профессор, заведующий отделом газовой динамики и физики взрыва НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета, г. Томск;

Борисов Б.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры теоретической и промышленной теплотехники Томского политехнического университета, г. Томск.

Работа поступила в редакцию 18.03.2014.


Библиографическая ссылка

Симонова О.С., Логинов В.С. ОДНОМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА ТВЭЛОВ И НЕАКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 5-3. – С. 503-506;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=33905 (дата обращения: 19.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074