Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

О ПОЛУТЕЛАХ ОБОБЩЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

Петухова Я.В. 1
1 ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»
В работе определяются и изучаются полутела обобщенных треугольных матриц. Полутелом называется алгебраическая структура с двумя бинарными операциями сложения и умножения, являющаяся группой по умножению и коммутативной полугруппой по сложению, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Приведены основные понятия теории полутел, а также важнейшие примеры полутел обобщенных треугольных матриц. Более подробно рассмотрен частный случай матричных полутел – полутело верхних треугольных матриц n-го порядка с действительными коэффициентами. Сформулированы исходные свойства полутел обобщенных треугольных матриц. Представлен вид ядра матричного полутела, порожденного элементом 2. Получен критерий ограниченности полутела обобщенных треугольных матриц. Дана теорема о центре полутела обобщенных треугольных матриц. Как ее следствие получен критерий коммутативности полутела обобщенных треугольных матриц.
полутело
конгруэнция
ядро
кольцо разностей
обобщенная треугольная матрица
полутело обобщенных матриц
1. Вечтомов Е.М., Черанева А.В. Полутела и их свойства // Фундаментальная и прикладная математика. – 2008. – Т. 14. – № 5. – С. 3–54.
2. Черанева А.В. Кольцо разностей полутела // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Математика, информатика, язык. – 2007. – № 4. – С. 205–207.
3. Вечтомов Е.М., Петухова Я.В. Полутела обобщенных матриц // Современные проблемы математики и ее приложений: тезисы международной (45-я Всероссийская) молодежной школы-конференции (Екатеринбург, 2–8 февраля 2014 г.)
4. Вечтомов Е.М., Петухова Я.В. Полутела треугольных матриц // Алгебра и логика: теория и применение: тез. докл. междунар. конф. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2010. – С. 17–18.
5. Кочкина М.А., Петухова Я.В. Конгруэнции полуполей нильмногочленов и полутел треугольных матриц // Международная молодёжная Интеллектуальная Ассамблея: сборник научно-исследовательских работ / отв. ред. М.В. Волкова – Чебоксары: НИИ педагогики и психологии, 2010. – С. 113–116.

Полутелом называется алгебраическая структура S с бинарными операциями сложения (+) и умножения (·) такая, что ⟨S, ·⟩ − группа, ⟨S, +⟩ − коммутативная полугруппа и умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Полутело с коммутативным умножением называется полуполем. Основные понятия теории полутел можно найти в [1].

Кольцом разностей полутела S называется пара ⟨R, f⟩, где R − кольцо и f : S → R − полукольцевой гомоморфизм, удовлетворяющий условию универсальности: для любого гомоморфизма g: S → T, где T − кольцо, существует единственный кольцевой гомоморфизм h: R → T, такой, что h ◦f = g. Любое полутело S имеет кольцо разностей, однозначно определенное с точностью до изоморфизма над S. Заметим, что кольцо R = {0} − нулевое в том и только в том случае, когда полутело S − зероидное, то есть a + b = a для некоторых a, b ∈ S [2].

Полутело с аддитивным сокращением a + c = b + c ⇒ a = b называется сократимым полутелом. Кольцом разностей сократимого полутела S является кольцо R(S), содержащее S в качестве подполукольца, для которого R(S) = S − S (здесь f − тождественное вложение S в R(S)).

Конгруэнцией на полутеле S называется любое отношение эквивалентности ρ на S, согласованное с операциями:

aρb, cρd ⇒ (a + c)ρ(b + d), (ac)ρ(bd) (∀a, b, c, d ∈ S).

Ядром полутела называется класс единицы 1 произвольной конгруэнции на нем. Нетривиальное полутело называется ограниченным, если оно как ядро порождается элементом 2 = 1 + 1.

Множество Con S всех ядер полутела S замкнуто относительно операций умножения и пересечения и образует полную модулярную алгебраическую решетку, которая изоморфна решетке всех конгруэнций полутела S по отношению включения.

Центром полутела S называется множество его элементов, коммутирующих с любым элементом из S. Легко видеть, что центр полутела S является подполутелом в S.

Пусть ⟨J, ≤⟩ – некоторое локально конечное упорядоченное множество, S – произвольное полутело и ⟨R, f⟩ – кольцо разностей для S.

Определим матричное полутело TJ(S) следующим образом. Множество TJ(S) состоит из всех таких обобщенных матриц A = (aij)J×J, что aij ∈ R для любых i ≠ j из J, aii ∈ S при i ∈ J и aij = 0, если неверно, что i ≤ j. [3]

Сложение матриц производится поэлементно. Для матриц (aij)J×J и (bij)J×J их произведение имеет вид (cij)J×J, где petyhl01.wmf при i ≤ j и cij = 0 в противном случае. При этом aiibik ∈ S для k = i и aiibik = f(aii)bik ∈ R для k > i.

Теорема 1. ⟨TJ(S), +, ⋅⟩ – полутело, которое будет сократимым тогда и только тогда, когда S сократимо.

Примеры.

1. Если J = {1 < 2 < … < n} – n-элементная цепь, то TJ(R+) = Vn(R+) – полутело верхних треугольных матриц размерности n×n c действительными коэффициентами, все диагональные элементы которого положительны [4, 5].

Кольцо Mn(R+) всех верхних треугольных матриц n-го порядка с действительными элементами с обычными операциями сложения и умножения матриц является кольцом разностей сократимого полутела Vn(R+).

2. TN(R+) – полутело бесконечных верхних треугольных матриц с действительными коэффициентами.

3. Если J – антицепь, то TJ(S) – полутело обобщенных диагональных матриц, изоморфное степени полутела S:TJ(S) ≅ SJ.

Рассмотрим основные свойства полутела верхних треугольных матриц.

Теорема 2. TJ(R+) = Vn(R+) – ограниченное полутело.

Доказательство. Рассмотрим элемент

petyhl02.wmf

Покажем, что в главном ядре (2) содержится любой элемент из полутела Vn(R+), то есть любая верхняя треугольная матрица вида

petyhl03.wmf

при ri > 0. Существует такое натуральное m, что petyhl04.wmf Имеем Am = 2m ∈ (2) и A–m = 2m ∈ (2). Тогда

petyhl05.wmf

и

petyhl06.wmf

A-m+(X -A-m)=X иX+(Am -X)=Am

Значит, A-m ≤ X ≤ Am и, по свойству порядковой выпуклости ядер [1], любая матрица X  Vn(R+) включена в ядро (2). Получили, что Vn(R+) = (2) - ограниченное полутело. Теорема доказана.

На полуполе R+ существует ровно два ядра. Этими ядрами являются {1} и само R+. Действительно, рассмотрим произвольное ядро K в R+, K ≠ {1}. Пусть a ≠ 1, a > 1, a  K. Возьмем c  R+. $n  N такой, что a-n < c < an, при этом a-n, an  K. Тогда по свойству порядковой выпуклости ядер c  K. И поэтому R+  K и K = R+.

Значит, полуполе R+ имеет ровно два ядра: {1} и R+.Предложение 1. На полутеле верхних треугольных матриц второго порядка V2(R+) существует ровно пять ядер.

Доказательство.

Имеем

 petyhl07.wmf

Его ядрами являются

petyhl08.wmf

petyhl09.wmf

petyhl10.wmf

petyhl11.wmf

Пусть K произвольное ядро на полутеле V2(R+). Покажем, что оно совпадает с одним из пяти указанных ядер.

Пусть petyhl12.wmf. Докажем, что тогда K = V2(R+).

petyhl13.wmf

petyhl14.wmf

petyhl15.wmf

petyhl16.wmf

Существует l ∈ N al > 2.

Существует m ∈ N (c′)m > 2.

Тогда

petyhl17.wmf

Пусть petyhl18.wmf Тогда найдется n ∈ N, для которого petyhl19.wmf и petyhl20.wmf. Поэтому C–n < X < Cn ⇒ X ∈ K, но Cn – X ∈ V2(R+) и X – C–n ∈ V2(R+). Поскольку C–n, Cn ∈ K, то по свойству порядковой выпуклости ядер X ∈ K. Значит, K = V2(R+).

K ⊆ K1.

Если

petyhl22.wmf

где c ≠ 1 или c = 1 ∧ b ≠ 0.

Если K ⊆ K3, но K ≠ K0 то K = K3.

Покажем, что вместо b могут быть любые действительные числа. Пусть даны матрицы

petyhl23.wmf petyhl24.wmf

И пусть

petyhl25.wmf

и

petyhl26.wmf

petyhl27.wmf

и

petyhl28.wmf

Если K ⊆ K3 ∧ b = 0, то K = K0.

Если K ≠ K0, то K = K1.

Пусть petyhl29.wmf. Покажем, что вместо с будет любое положительное действительное число. То есть ∀r ∈ R+, α + β = 1, то x < r < y и

petyhl30.wmf

Существует

petyhl31.wmf

Значит, возводя A–1 и A в степень, мы получим любые матрицы вида petyhl32.wmf То есть

petyhl33.wmf

Случай K ⊆ K2 вполне аналогичен случаю K ⊆ K1. К найденным ранее четырем ядрам добавляется еще одно – K2. Предложение доказано.

Для ограниченного полутела S существует естественная связь между его ядрами K и идеалами I кольца разностей Mn(R+):

pic_27.wmf

pic_28.wmf

Обозначим через An множество пар (i, j) по всем натуральным числам 1  i  j  n. Множество An имеет (n2 +n )/2 элементов. Каждому идеалу I кольца Mn(R+) сопоставляется вполне определенное подмножество A(I) в An, задающее общий вид матриц из I: если (i, j)  A(I), то элемент aij матриц из I может принимать любое числовое значение; если же (i, j)  A(I), то aij = 0 для всех матриц из I. Множество A(I) назовем конфигурацией идеала I. Например, A(Mn+)) = An, конфигурацией нулевого идеала является пустое множество, а одноэлементное множество {(1, n)} служит конфигурацией наименьшего ненулевого идеала кольца Mn(R+).

Решетка идеалов кольца Mn(R+) изоморфна решетке конфигураций A(I). Решетка Con Vn(R+) изоморфна решетке конфигураций множества An.

Предложение 2. Mn(R+) - кольцо разностей полутела Vn(R+).

Доказательство. Пусть n - натуральное число и Mn(R+) - кольцо всех верхних треугольных матриц n-го порядка с действительными элементами, рассматриваемое с обычными операциями сложения и умножения матриц. Тогда Vn(R+) есть множество всех матриц из Mn с положительными элементами на главной диагонали. Кольцо Mn(R+) = Vn(R+) - Vn(R+) является кольцом разностей полутела Vn(R+). Любой элемент из кольца Mn(R+) может быть представлен в виде разности элементов полутела Vn(R+). Элементы кольца разностей - любые действительные числа, которые могут быть получены из элементов полутела Vn(R+), путем вычитания.При n = 1 имеем M1(R+) = R - это поле действительных чисел, а V1(R+) = R+- полуполе положительных действительных чисел. При n ³ 2 полутело Vn(R+) неком- мутативно.Теорема 3. Для любого натурального числа n все ядра полутела Vn(R+) главные, решетка Con Vn(R+) дистрибутивна, имеет единственный атом и число ее элементов равно (n + 1)-му числу Каталана.Доказательство. Нам понадобятся так называемые числа Каталана [1]. Если n - неотрицательное целое число, то n-е число Каталана Cn находится как число сочетаний из 2n по n, деленное на n + 1: Cn = 2n(2n - 1)...(n + 2)/n!.

Для доказательства этого утверждения можно рассмотреть и подсчитать идеалы кольца Mn(R+), соответствующие ядрам полутела Vn(R+). Для первых значений n = 1, 2, 3, 4 утверждение проверено в [5]. Индукцией по порядку n матриц устанавливается, что кольцо Mn(R+) имеет ровно Cn+1 идеалов. Поле R = M1 имеет 2 = C2 идеала. Предполагаем, что утверждение доказано для всех натуральных чисел m < n. Далее, опираясь на индуктивное предположение, вид конфигураций и рекуррентную формулу Сn = С0Сn-1 + С1Сn-2 + ... + Сn-1С0, подсчитывается общее число идеалов кольца Mn(R+) (n ≥ 2).

Заметим, что если полутело S имеет только конечное число ядер, то решетка Con S дистрибутивна [1]. На любом полутеле S следующее бинарное отношение: a  b  a = b или $с  S a + c = b, ‒ является отношением порядка, превращающим S в упорядоченное полутело.Предложение 3. В полутеле TJ(S) ядро, порожденное элементом 2, имеет вид

(2) = {(aij) ∈ TJ(S): ∃n ∈ N ∀i ∈ J 2–n ≤ aii ≤ 2n}.

Теорема 4. Полутело TJ(S) является ограниченным тогда и только тогда, когда S ограничено и J конечно.

Теорема 5. Для любого сократимого полутела S центр матричного полутела TJ(S) совпадает с множеством диагональных матриц (aij) с равными элементами aii, принадлежащими центру полутела S.

Предложение 4. Полутело TJ(S) является полуполем тогда и только тогда, когда S – полуполе и J – антицепь.

Рецензенты:

Вечтомов Е.М., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров;

Чермных В.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров.

Работа поступила в редакцию 07.05.2014.


Библиографическая ссылка

Петухова Я.В. О ПОЛУТЕЛАХ ОБОБЩЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-7. – С. 1375-1379;
URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34344 (дата обращения: 12.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074